Les premières et dernières raisons

Il est intéressant de voir qu’une partie des critiques que Hegel adresse au Newton mécanicien est assez impersonnelle (même si ce n’est pas le cas pour le rejet de son formalisme): « Tout le monde répète… », « Il est admis que… », « Dans la prétendue

explication du mouvement accéléré… », « On présuppose », etc.2 Il est vraisemblable que ces critiques sont dans ce cas autant dirigées contre ses continuateurs. Mais lorsqu’il parle du Newton mathématicien, pour évaluer positivement ou négativement les méthodes qu’il déploie, il se réfère précisément à trois reprises aux Principia.

Rappelons que les méthodes mathématiques distinctes que Newton a élaborées sont d’abord parties d’une reprise de la conception infinitésimale de Barrow et Wallis en instituant le moment, accroissement ou quantité infiniment petite o. La Méthode des fluxions et des

suites infinies (1671, publié en 1736), considère le o comme intervalle de temps infiniment

petit, et développe l’accroissement d’une fonction f(x) en f(x+o) en ajoutant o à x. Il applique ensuite à la fonction la formule du binôme (sans considération explicite de convergence) et développe cette fonction en série infinie. C’est dans cette œuvre que Newton considère les quantités mathématiques, les grandeurs, comme engendrées par une augmentation continuelle analogue à l’espace parcouru par un corps en mouvement. Ici l’ancrage cinématique (mécanique) est central et le guide, par cette analogie, mais aussi par l’introduction du temps comme paramètre de variation. Il considère tout particulièrement les vitesses de ces

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C’est à ce stade là, Hegel introduit le concept de « ligne nodale de relations-de-mesure », qui est une suite de seuils (« points qualifiants ») : ce concept permet de penser comment un accroissement quantitatif très faible, quoiqu'encore indifférent, occasionne une rupture qualitative productrice d'un « saut » dans la nature. On assiste déjà là à l'émergence du fondement de l'irréductibilité des discontinuités qualitatives à toute physicalisation continuiste, qui correspondent aux différenciations des formes naturelles. La catégorie de l'autonomie est ici évocatrice : elle relève non de la mécanique mais de la chimie, où le tout n'est plus la somme résultant de la composition externe des parties, mais la totalité complexe constituée par une solidarité immanente de ses membres, caractéristique des totalités relationnelles que sont les organismes vivants, où chaque organe (atome) est l'organisme (molécule) par la médiation interne de tous les autres (c'est-à-dire où le même se développe conjointement à lui-même via sa propre négation, par la médiation par d’une altérité). L'enchaînement graduel des formes naturelles possède autant la dimension d’une série d'éléments homogènes que celle d'une altération radicale des types de réalités les uns par rapport aux autres (permettant une classification selon des critères rigoureux et qualitatifs). La nature est un « système-de-niveaux » naissant objectivement les uns des autres, mais l'altération qualitative qui les accompagne empêche toute interprétation strictement évolutionniste de la thèse hégélienne selon laquelle les êtres s'engendreraient de façon homogène.

mouvements engendrant les grandeurs : ces grandeurs sont les fluentes (ce seront les « naissantes » ou « évanouissantes »), x, y, etc., ces vitesses engendrées sont les fluxions x, , y

etc. Si o est un tel intervalle infinitésimal de temps, xo, oy sont les accroissements infiniment petits de x et y. Le problème général, qui rappelle le caractère inverse de la dérivation et de l’intégration est, étant données le rapport des fluentes, trouver celle entre les fluxions, et réciproquement. Il y donc une quasi-identité entre dérivée et fluxion (en tant que vitesses engendrées), mais newton ne prendra pas le temps d’expliciter cela : ce qui contribuera à aboutir aux querelles avec Leibniz sur la paternité du calculus. Cette méthode est évoquée rapidement dans les Principia en 16871. Mais ceux-ci, en fait, mobilisent la méthode telle qu’elle est développée dans Quadratura curvarum (1676, publié en 1704) caractérisée par le rejet des infinitésimaux et la méthode des premières et dernières raisons, celle qui retient en premier lieu l’attention de Hegel.

Concernant les « déterminations les plus importantes qui ont été données par les mathématiciens sur cet infini [l’infiniment petit]… La pensée ne peut être déterminée plus avant qu’en la manière où Newton l’a donnée. »

Hegel précise cet éloge en se référant au texte majeur, le Scholie du Lemme 11 du Livre I des Principia2, où Newton précise les conditions de validité de cette méthode exposée dans les lemmes précédents. Hegel sait gré à newton d’avoir tenté d’appréhender la relation (« raison ») qu’entretiennent deux grandeurs finies et déterminées (des « divisibles évanouissants », qui en rien ne sont des « indivisibles » suspects : la divisibilité est exigée pour la quantification mathématique), non pas avant qu’elles ne s’évanouissent (ou ne naissent, pour les premières raisons), ni après, mais pendant. La dernière raison, est celle reliant deux grandeurs à la limite. Ne considérant pas le rapport de parties déterminées, mais la limite de ce rapport, il évite le recours aux infinitésimaux : « les relations dernières ne sont pas des relations de grandeurs dernières, mais des limites dont les relations des grandeurs décroissant sans limite sont plus proches que ne l’est toute différence donnée, c’est-à-dire finie, sans que pourtant elle franchissent cette limite, en sorte qu’elle deviendraient néant. » On s’occupe moins ici du devenir des grandeurs que des conditions de la mesure, en tant que celle-ci exige l’établissement d’un rapport entre deux quantités dont l’une joue le rôle de l’unité. Pour Hegel, qui suit précisément le texte newtonien ici, l’innovation mathématique de

celui-ci fait partie des plus profondes et des plus conscientes d’elles-mêmes, ce qui n’est pas le cas, bien au contraire, de tous les protagonistes de l’histoire du calcul infinitésimal.

Cette méthode des raisons institue cependant le « mauvais infini » de l’ajout/ou du retrait successif indéfini de quantités à une quantité donnée :

« Pourtant on n’aurait eu besoin du décroître sans limite dans lequel Newton engage le quantitatif et qui exprime seulement le progrès à l’infini, ni de la détermination de la divisibilité qui n’a plus ici aucune signification immédiate, si le concept requis s’était perfectionné jusqu’au concept d’une détermination-de-grandeur qui n’est purement que moment de la relation ».

Autrement dit cette méthode garde la limitation propre à la pensée d’entendement qui n’accède pas au concept rationnel de la chose. Mais cette méthode reçoit quand même une place de choix : dire que le concept newtonien n’est pas assez « perfectionné », c’est implicitement dire qu’il est déjà très élaboré.

Hegel rappelle ensuite la finesse et la profondeur de la présentation de ces procédés en termes de fluxions et de fluentes (il semble que la méthode des fluxions proprement dite corresponde à celle des premières et dernières raisons associée à la considération explicite du mouvement3): la fluente, grandeur engendrée, est finie, et les incréments transitoires de ces fluentes sont déterminées à partir des moments. Ces incréments sont en fait les « principes en

1_{. Newton 1687-1713a , p. 647, § 1. Cf. infra note 47.}

2_{. Ibid., p. 440-443. Newton 1687-1713b, Livre I, Section I, Lemme XI et Scholie, p. 60-66, étudie par Hegel en}

Hegel 1812a p. 257-60. Cf. Boyer 1949, ch. VI et début du ch. VII, p. 225-229 notamment, ainsi que Edwards 1979.

devenir ou commencement de grandeurs finies » : à ce titre, le quantum se différencie, en tant que résultat, le produit, et surtout en tant que ce qu’il est « dans son devenir, son commencement et principe, c’est-à-dire tel qu’il est dans son concept, ou ce qui est ici la même-chose, dans sa détermination qualitative ; dans cette dernière, les différences qualitatives, les incréments ou décréments infinies ne sont que moments, et ces différences

établies par Newton, « il faut que la philosophie du concept de l’infini mathématique les reconnaisse ».

Quel éloge pour l’anti-newtonien délirant que l’on est censé connaître ! Newton appréhendant la nature qualitative des objets transitoires assurant le procédé calculatoire, voilà ce qui s’appelle s’élever au concept. Ce qui reste faible chez les mathématiciens, c’est la représentation des infiniment petits en tant que tels : les procédés conduisant à en négliger certains ne peuvent donc qu’être arbitraires. Quant aux « négligentes » stratégies calculatoires qu’utilise Newton en d’autres lieux, on a déjà vu plus haut en ce chapitre les raisons de la critique qu’en opère Hegel. Hegel n’est anti-newtonien que parce qu’il est aussi pro-

newtonien : la critique épistémologique est ici celle d’une pensée qui se confronte sans

concession, pas d’une instrumentalisation éloignée. 3. La Preuve

On a évoqué à plusieurs reprises l’idée que Hegel souhaite déduire conceptuellement, a priori, c’est-à-dire à partir du concept de corps matériel, les lois de la mécanique, sans se limiter à « l'induction démonstrative » de Galilée et surtout de Newton. Cette ambition déductive rappelle le thème aristotélicien de la « science mixte », faisant cohabiter l’empirique et le conceptuel1

. Cette cohabitation est pensée par Hegel dans sa nécessité, et celle-ci provient de ce qui est essentiel dans la matière et le mouvement en tant qu’ils expriment solidairement et de façon complémentaire l'identité en devenir de l'espace et du temps (c’est-à-dire l'identité de l'identité et de la différence). Hegel rappelle à plusieurs reprises les trois étapes nécessaires à la preuve des lois, lois dont il affirme la valeur gnoséologique et philosophique – contrairement à la thèse de certains Naturphilosophen selon laquelle elle ne seraient que formulations abstraites mutilant la dynamique propre de la nature.2 Hegel distingue trois types de scientificité, et fonde la critique épistémologique de la seconde sur les exigences propres à la troisième.

(1) L’élément premier, systématiquement présupposé, est celui des données empiriques, en l’occurrence les longues tables de mesures et d’observations (des positions des planètes par rapport au soleil) établies par Tycho Brahé. Cette étape est « présupposée » (Voraussetzung) par toute entreprise scientifique.

(2) La seconde étape est celle du dépassement de ces singularités empiriques sous la forme de leur universalisation légale : Kepler et Galilée on procédé, et c’est leurs « mérites immortels » à l’exposition d’une « forme générale de déterminations quantitatives ». « Les lois qu’ils ont découvertes, ils les ont prouvées en montrant que le champ total des données singulières de la perception leur correspond ». Newton lui n’a fourni qu’une « transformation

de l’expression » et la méthode analytique hypothético-déductive – laquelle, en tant que

méthode d’exposition a fait ses preuves, mais qui ne sert pas à autre chose qu’à la reformulation de ces découvertes.3 Mais ces lois restent des lois empiriques et ne fournissent qu’une nécessité factuelle, une simple légalité, dans la mesure où cette première forme de

1

N. Février, dans Février 2000, va jusqu’à dire que le recours à la catégorie de causalité finale, c’est-à-dire de téléologie par-delà l’approche mécaniste, dans cette déduction, est le nerf de la spéculation hégélienne, et montre cette orientation aristotélicienne. Cf. également sur ce point, R. Pozzo, « Analysis, Synthesis and Dialectics : Hegel’s Answer to Aristotle, Newton, and Kant », in Petry 1993, p. 17-26.

2 _{Hegel 1832b, p. 44-45. Hegel 1830, § 270.} 3

Cf. Paragraphe ci-dessous sur les lois de Kepler. Notons qu’a été tentée par J. Dorling une formalisation du schéma général de la preuve constituant cette « induction démonstrative » en logique des prédicats du premier ordre : cf. J. W. Garrison « Métaphysics and Scientific Proof : Newton and Hegel », Petry 1993, p. 3-16.

l'universalité, reste abstraite et quantitative, et n’exprime pas la nécessité des connexions entre les « cotés » de la relation.

(3) La troisième phase de la preuve alors donc la suivante :

« Mais on doit exiger encore une plus haute preuve de ces lois, ne consistant en rien d’autre qu’à dériver leurs déterminations quantitatives des qualités ou concepts déterminés mis en relation (par exemple, temps et espace). De cette sorte de preuve il n’y a encore, dans lesdits principes mathématiques de la philosophie naturelle ni dans les travaux ultérieurs, aucune trace… la tentative de conduire de telles preuves de façon proprement mathématique, c’est-à-dire ni à partir de l’expérience ni à partir du concept, est une entreprise absurde »1

.

Quoique le propos soit clair, et réaffirme ici encore une fois la double abstraction affectant le travail de l’entendement scientifique, le fait que cette plus haute preuve « ne consiste en rien d’autre » qu’en une dérivation conceptuelle est loin d’être une évidence. Hegel procède de façon inégalement claire dans ces déductions, mais systématiquement mobilise ce qu’il a dégagé, dans la Science de la logique, de son analyse des fonctions de grandeurs variables, à savoir que leur détermination constitutive essentielle apparaît dans le « rapport de puissances à l’intérieur du qualitatif »2

. Quelles sont les déterminations qualitatives que la relation-de- puissance exprime selon la nécessité du concept ? « La preuve rationnelle des déterminations quantitatives du mouvement libre, peut seulement se trouver dans les déterminations conceptuelles de l’espace et du temps, de ces deux moments dont le rapport intrinsèque est le mouvement » (§ 270). Exposons d’abord cette entreprise sur un exemple relevant de la mécanique finie, portant sur le mouvement relativement libre dans la loi de la chute de Galilée (§ 267-268).

a. Mécanique finie : la chute libre

Pour démontrer la proportionnalité de l’espace parcouru par un corps en chute libre au carré du temps mis à le parcourir, il faut faire fond sur la nature du phénomène de la chute libre dans la sphère terrestre : mouvement libre, il doit manifester un rapport entre l’espace et le temps en tant qu’expression de la nécessité du concept – c’est-à-dire de l’Idée dans son altérité, la nature, comme subjectivité – qu’il faut déployer à partir du fait que la matière est déterminée qualitativement. Pourquoi cette déduction prend-elle initialement place dans la

Théorie de la mesure ? Parce que la mesure est unité de la qualité et de la quantité3 : l’unité qualitative de ces deux quantités que sont d’abord le temps et l’espace dans la loi cinématique de Galilée, donne lieu, dans l’expression algébrique de la loi, à un rapport quantitatif entre elles deux comme qualités : cette loi est « rapport des deux côtés comme qualités »4. Le § 257 de l’Encyclopédie révélait l’indifférence mutuelle de la négativité temporelle et de l’être-hors- de-soi spatial – au terme du processus (§ 256) par lequel l’espace, surgi de la « surface englobante » engendrée par le mouvement du plan, lui-même engendré par le mouvement de la ligne, et celle-ci du point, se niait en temps. La chute libre supprime cette indifférence, cette extériorité mutuelle.

Les paragraphes 260 et 261 précisent que le lieu est expression du fait que (1) le temps se pose comme espace singulier, comme point exclusif. Comme la chute est mouvement, passage d’un lieu en un autre lieu, elle exprime le fait que (2) l’espace en tant que ce lieu ponctuel singulier, en tant que « maintenant spatial », se pose à son tour comme temps, lequel est donc principe de leur synthèse, « principe d’unité »5 dans le mouvement (3)6. C’est donc du temps,

1 _{Hegel 1832b, p. 45.} 2

Ibid. p. 40.

3

Cf. les longs commentaires d’A. doz, Hegel 1832b, p. 141-142, ainsi que S. Büttner, « Hegel on Galilei’s Law of Fall », in Petry 1993, p. 331-339.

4 _{Hegel 1832b, II-c, p. 39 et suivantes.} 5 _{Hegel 1830, Remarque p. 267.} 6

« Cet acte par lequel l’espace dans le temps et le temps dans l’espace périssent et se ré-engendrent de telle manière que le temps se pose comme spatialement comme lieu, mais que cette spatialité indifférente soit posée de façon tout aussi immédiatement temporelle, est le mouvement », Ibid., § 261, p. 251.

et non de l’extériorité de l’espace, que procède la détermination qualitative de la chute. Il n’y a plus d’indifférence du temps à l’égard de l’espace : le temps est d’abord sorti de lui-même pour se poser comme espace (1), mais finalement retourne en soi-même (2) par cette non- indifférence aboutissant à/manifestée lors de la chute (3). Il n’est en aucun cas « paramètre indépendant » : on n’est plus dans le cas du mouvement inertiel qui au contraire manifeste cette indifférence. La chute est donc l’unité temporelle sortie de soi puis retournée en soi, unité : 2

t , par la médiation de la négation de l’indifférence entre espace et temps. Le lieu,

d’abord identité de l’espace et du temps, l’est en devenir, et de ce fait est également leur

contradiction. L’unité temporelle est au principe de sa détermination spatiale – son autre –,

mais revient en elle-même, retourne à soi, ce qui correspond à l’effectivité de la subjectivité, c’est-à-dire ici, au « passage de l’idéalité dans la réalité » par la matière, unité présente de l’espace et du temps en tant que sursomption immédiate du devenir qu’est le mouvement.

En résumé, la grandeur de l’espace est déterminée par l’unité négative qu’est le temps, mais celle-ci, tout en sortant d’elle-même, n’excède pas sa propre détermination et s’élève au carré. Le coefficient a, lui, en tant qu’égal au rapport de l’espace sur le carré du temps (dans la formulation d at2), est toujours déterminé selon une source empirique dont on ne peut faire l’économie : mais cette instance empirique (le coefficient a dépend de l’intensité concrète de la pesanteur, et n’a de sens qu’à l’intérieur de la formule) exige son dépassement dans la connexion qualitative de l’espace et du temps. On voit ici que la déduction est

concrète au double sens où elle se déploie à partir de l’empirique, et du conceptuel1 : le temps est négation de l’espace, et sa grandeur est l’unité, mais non indifférents l’un à l’autre, ils sont unis par une détermination une. « Telle est la démonstration de la loi de la chute à partir du

concept de la res. Le rapport-de-puissances est essentiellement un rapport qualitatif et il est

seulement le rapport qui appartient au concept »2.

La formule mathématique ici épouse et traduit la détermination conceptuelle de la loi, donc concourt à l’œuvre dialectique de la raison, ce que l’on aurait difficilement imaginé à la

simple lecture de la Doctrine de l’Etre.

b. Mécanique absolue : les lois de Kepler3

On reste ici dans le cadre du mouvement relativement libre, c’est-à-dire conditionné, dans la mesure où cette chute présuppose un éloignement artificiel à l’égard du centre, lequel seul rend la pesanteur efficace. Dans la mécanique absolue au contraire, sphère infinie, le mouvement des corps célestes est totalement délié d’un tel conditionnement extérieur aux déterminations essentielles de la matière et du mouvement. La description du système solaire4 occupe le § 270 comme réalisation effective et unitaire du concept de corps matériel. Il importe de rappeler deux éléments ici : on a évoqué au début de la première section la conséquence du formalisme newtonien concernant le traitement de la forme elliptique de la trajectoire des corps célestes, c’est-à-dire la contingence et l’arbitraire affectant la « particularisation » du dispositif mathématique de la théorie des coniques : au lieu de partir de la loi des aires et de la trajectoire elliptique, qui sont indissociables réellement, Newton les dissocie et les relie sans justification. Le second élément est l’analyse, en partie basée sur une

1 _{Cf. Hegel 1832b p. 47-50, Hegel 1830, § 267, Remarque, p. 259-260.} 2

Ibid., p. 260.

3 _{Cf. Le long texte où M. J. Petry étudie la lecture hégélienne, discutable ponctuellement selon lui, du sens et du}

contexte théorique de découverte par Kepler de ces trois lois, dans Petry 1993, « The Significance of Kepler’s Laws », p. 439-513.

4

N. février présente ce § 270 comme la réalisation du concept dans la sphère matérielle, à ce titre, analogue structurellement à la singularité conceptuelle dans le syllogisme. Il étudie en Février 2000, p. 107 et suivantes, ce syllogisme dialectique de la mécanique absolue, comme subsomption du singulier (sphère planétaire) sous l’universel (sphère solaire) via la médiation du particulier (sphère cométaire et lunaire), prenant les trois formes enchaînées (USP, SPU, PUS) du syllogisme qualitatif appliquées au corps matériel. Cet enchaînement serait pour Hegel la justification logique (c’est-à-dire dialectique) du système solaire comme un un rationnel, un être-pour-