Le retour en soi de l’être-pour-soi permet l’Aufhebung du face-à-face fini/mauvais infini, on l’a rappelé. Plus précisément il produit les moments de l’Un et du Multiple qui sont constitutifs du nombre : voyons le détail du procès. Le moment de l’être-pour-soi, comme relation du négatif à lui-même, est d’abord pour-soi, l’un au sens de l’unité d’une totalité « organique ». La différenciation du négatif par rapport à lui-même consiste, pour lui, à se poser lui-même dans de nombreux uns, une peu comme une multiplicité de rayons partant d’un même centre : c’est le moment de la répulsion, puisque chaque un n’est aucun des autre uns. Néanmoins, chaque un est en soi indifférencié par rapport aux autres uns : tous ces uns sont le même, la multiplicité fait jaillir, si l’on peut dire, une unité d’essence. La répulsion des uns se résout donc en leur attraction mutuelle, figure de l’unité initiale du pour-soi : le passage de la qualité à la quantité, assuré par ces moments du pour-soi, est concrètement assuré par le fait que l’être-pour-soi, intériorisant cette opposition répulsion/attraction, se pose alors leur unité, unité de la multiplicité des uns et de l’unité de ces multiples uns comme identiques2.
Ce qui importe ici, c’est l’antinomie dialectique3
des moments que ces répulsion et attraction induisent, dans le registre de la quantité : ce sont ceux de la continuité et de la
discrétion. La continuité, dans la grandeur comme « être-pour-soi sursumé »4 c’est le moment de l’unité par l’extériorité-réciproque d’une multiplicité indifférenciée :
« [1…] La continuité est ce moment de l’égalité-à-soi-même de l’être-en-extériorité réciproque.
2. C’est immédiatement, par conséquent, que la grandeur a dans la continuité le moment de la
discrétion. La continuité est égalité-à-soi-même, mais [égalité-à-soi-même] du multiple…
3. La grandeur, comme l’unité de ces moments, la continuité et la discrétion, peut être nommée quantité »5
On verra plus loin le sens mathématique de cette détermination logique de la continuité. Ce qui importe pour l’instant de ces trois étapes, c’est qu’elles permettent de déterminer le nombre à partir du principe que toute quantité contient les moments du discret et du continu6 :
1 Cf. le résumé de Hegel 1830, § 102 p. 154-6. 2
Hegel 1812a p. 134 et suiv. L’unité des moments de l’attraction et de la répulsion est au centre de la critique consécutive du concept kantien de matière, critique dont on verra dans la section « Quel Anti-Newton ? » les attendus spéculatifs.
3
La longue Remarque 2, Hegel 1812a p. 173-83 porte sur la seconde antinomie kantienne (quantité) sur la divisibilité de la matière et invite à un tel dépassement de l’opposition discret-continu, tout en affirmant que Kant est resté en-deçà de ce qu’a réussi Zénon par le fait de l’exposition de ses « apories ». Cf. également la référence à Zénon en Hegel 1822 p. 7, et en Hegel 1830, § 104, Note p. 157.
4 Hegel 1812a p. 167. 5
Hegel 1812a p. 168-9.
6 « Cette continuité dans le discret consiste en ce que les Uns sont ce qui est mutuellement égal, ou ce qu’ils ont
plus précisément, le nombre de l’arithmétique est le produit de la compréhension du moment de la discrétion, et le continuum géométrique, celui de la compréhension du moment de la continuité : dans les deux cas, il y a insistance sur un moment au dépends de l’autre1. Le problème sera pour Hegel de montrer qu’une telle insistance, unilatérale, est fortement problématique, puisqu’elle fait l’impasse sur la nécessité de leur unité : mais cette unité, c’est sur le plan qualitatif de la théorie de la mesure qu’elle pourra être mise en évidence. La
quantité réelle, pour l’instant, est cette unité immédiate déterminée (un être-là) obtenue par
position d’une différence dans la quantité en général (qui est ici l’être par opposition à cet être-là) : cela institue le quantum.
Le nombre a donc un double statut. Il est d’abord la forme la plus pure du quantum déterminé, son incarnation logique. Mais il est aussi le schème, pour reprendre le terme kantien, de constitution arithmétique de tout quantum singulier. Ainsi le nombre (Zahl), c’est la quantité initialement abstraite, extérieure et variable, pure possibilité de détermination de
l’être qu’il nombre : tout quantum déterminé est alors unité dialectique de l’unité (Einheit) et
du nombre-nombré (Anzahl), de unité de l’unité et de la multiplicité, puisqu’il est constitué par l’itération de l’addition à soi de l’unité2
. La reprise dialectique des catégories kantiennes (en particulier celui du nombre comme schème de la quantité se résolvant en la possibilité d’effectuer le +1) consiste à penser l’auto-qualification du quantum en degré, dont l’unité produit un analogue de l’infini du devoir-être dans la quantité : l’infinité quantitative sous sa forme représentative de mauvaise infinité du progrès. En effet, l’itération de l’ajout à soi de l’unité implique est par principe indéfiniment répétable : on peut toujours effectuer +1. Cela ouvre bien à une forme d’infinité, mais une forme d’infinité déceptive, celui d’un possible qui ne s’arrête jamais, qui n’aboutit à rien. Si en arithmétique (ou en algèbre) cela, finalement, pose peu de problèmes pour Hegel, c’est au sens où cette discipline est moins porteuse conceptuellement : l’antinomie fini/infini, face-à-face nécessairement aporétique dans le
registre de la seule quantité, va cependant être la source des contradictions structurelles du calcul infinitésimal, dont le ressort consiste à appliquer à l’infini les procédures propres au fini. Mais c’est de ces Contradictions structurelles que le mouvement du concept fera surgir
l’infini cette fois qualitatif : celui-ci assurera d’une part la sursomption du couple quantité- qualité (dans la mesure), et d’autre part permettra de rendre raison de ces contradictions en proposant un concept mathématique adéquat de l’infiniment petit. Ce qui est d’emblée à noter ici, c’est que Hegel va régler implicitement le sort de l’infini mathématique au sens de l’infiniment grand comme il va traiter explicitement celui de l’infiniment petit : en en produisant un concept qualitatif, (c'est-à-dire en le faisant reposer sur les relations mutuelles entretenues par les éléments du quotient différentiel). Voyons cependant maintenant ce qu’il faut mathématique retenir de cette approche hégélienne du nombre.
Du statut du nombre à la déficiente analyticité de l’arithmétique 1. Conception finitiste et cardinale du nombre
Si cette arithmétique traite de l'extériorité et de la séparabilité du discret (par définition), d'un ensemble de nombres, Hegel ici n'examine pas en soi le problème des divers types de nombres. La conception rigoureuse de ce qu'est un élément de ¥ , de ¤ ou ¡ , s'élaborera à partir de Frege, Dedekind et Cantor et ne trouvera sa « solution » qu'avec l'axiomatisation de la théorie des ensembles et la clarification définitive de la distinction dénombrable/non- dénombrable. L’approche hégélienne, cependant, de l'engendrement des naturels, de la succession, et par là, de leur considération en tant qu'ensembles, au sens de Menge (ce sera le
1 C’est la même chose pour l’antinomie entre divisibilité à l’infini ou indivisibilité de l’espace.
2 Cette homogénéité quantitative du nombre laissera surgir de son intérieur une différence qualitative, la
singularité de chaque nombre : cette contradiction amène cette extensivité à retourner en soi et se faire degré,
c'est-à-dire intensivité qualitative. Cf. le résumé du procès en Hegel 1830, § 102 p. 154-6. La troisième détermination de relation quantitative, sous la forme essentielle de la relation-de-puissance (exponentiation : multiplication réitérée du nombre par lui-même), est la plus riche conceptuellement, mais c’est au cours de l’examen de la Remarque sur le concept de l'infini mathématique que l’on en verra les attendus.
terme utilisé par Cantor), lui permet de distinguer quantum déterminé fini et infini quantitatif, les deux relevant de la même catégorie du dénombrable.
Par ailleurs, si le nombre est une totalité analytique1 d'abord perçue dans sa cardinalité, au- delà du rôle constitutif du Un (le nombre résulte de l'itération de l'unité selon le nombre- nombré, l'unité d'une multiplicité d'unités) dans son second aspect, le nombre apparaît comme un instantané, désignation de la valeur d'une grandeur fluente : de ce fait c'est son ordinalité que ce second temps introduit. A la variation de la grandeur2 correspond la succession de ses valeurs, donc des nombres qui les dénotent. La succession ordonnée est succession ordinale des nombres entre eux. Ce aspect est bel et bien second : pour être unité arithmétique de nombres nombrés, il faut bien que ces nombres-nombrés soient engendrés, et cela par le fait que tout nombre est unité d'unités discrètes. L'être de l'objet arithmétique est ainsi réduit par Hegel à ce qu'une arithmétique « finitiste » (au sens où il rejette tout infini arithmétique
actuel) en un sens informel3 des opérations élémentaires (bien que la théorie des nombres, comme il le sait, contienne des domaines plus riches).
Le nombre s'engendre dans la dialectique du quantum et comme tel précède tout
formalisme et tout calcul4 : c'est le quantum dans sa déterminité fixe et réduite à elle-même,
résultat de la division de la continuité en unités discrètes qui fait passer de la quantité au quantum. L'Un est le principe de la constitution de la division d'un tout en unités discrètes, de la succession de l'acte d'adjonction qui permet de constituer des suites (d'entiers ou de rationnels), et des opérations supplémentaires qui peuvent se ramener à cette répétitivité opératoire. Cette conception hégélienne est donc affine aux théories non actualistes des cardinaux, le cardinal étant la spécificité de l'Anzahl, instrument du décompte des éléments d'un ensemble fini ou dénombrable5.
2. Le continu
L’opposition discret / continu ne semble donc pas faire mathématiquement problème pour Hegel : leur articulation s’opère, comme étape logique, avant l’engendrement des nombres, et par là, ne peut se traduire dans les termes de la construction du continu numérique. Pourtant, de même que Bolzano à la même époque, il est conscient des « Paradoxes de l'infini », c'est-à- dire du fossé existant entre le discret arithmétique et le continu géométrico-analytique, indiquant une très vraisemblable différence de statut que la distinction dénombrable/non dénombrable a justement aidé à formaliser par la suite. On peut cependant traduire mathématiquement le moment de la continuité (antérieur à celle du nombre proprement dit) :
« Pour la représentation dépourvue-de-concept, la continuité devient aisément
composition, savoir un rapport extérieur des Uns les uns aux autres, où le Un demeure dans sa
rigidité et son exclusion absolues… C’est à cette extériorité de la continuité que reste accrochée l’atomistique. »6
Or on a là le cœur du concept implicite du continu des Eléments, et plus généralement, de cela seul que le régime discursif de l’entendement est arrivé à maîtriser réellement aujourd’hui7
. En effet, si l'Un est le principe de la constitution (additive ou multiplicative) autant que de division d'un tout en unités discrètes, dans la succession de l'acte d'adjonction qui permet de constituer des suites (d'entiers principalement), il reste également celui de la
1 Hegel 1812 c p. 341. 2
Cf. Hegel 1812a p. 166, « Habituellement, on définit une grandeur comme quelque chose que l’on peut
augmenter ou diminuer », mais cette définition présuppose la grandeur elle-même.
3 C’est-à-dire en un sens non technique du terme – à la rigueur celle de Peano, parce que cette arithmétique dont
traite Hegel se permet des raisonnements maîtrisant l’infini par un schéma de récurrence que l’axiome d’induction complète formalise adéquatement. Mais PA est déjà une présentation axiomatique de l’arithmétique, ce à quoi Hegel ne pensait certainement pas.
4 Et là, en revanche, on pourrait voir une affinité avec Brouwer.
5 Doz-Dubarle 1972 p. 27, note 40. Salanskis 1997 insiste à juste titre sur le ton constructiviste de cette
conception générative des nombres à partir des entiers naturels.
6 Hegel 1812a p. 170.
7 Puisque la cardinalité 1 du continu est définie à partir de l’hypothèse indépendante du continu 0
1 2
continuité pensée comme la réunification en une suite ainsi à la fois dénombrable et dense
d'unités distinctes. Or c’est la dénombrabilité dense plutôt que la continuité non-dénombrable
des réels qui caractérise le continu euclidien dans l’implicite du concept mobilisé, c'est-à-dire dans ce qui est de fait exigé pour que les démonstrations des Eléments soient possibles pour l’essentiel. On notera la proximité de cette caractérisation avec celle des coupures chez Dedekind, et au fond, aussi celle de Cantor, dans la mesure où dans les cas, le continu des réels est construit à partir de la dénombrabilité dense des rationnels1 : cette « réunification » que je prête ici à Hegel n’est en effet pas du tout techniquement déterminée dans son propos, même si conceptuellement parlant les propriétés essentielles de ce continu sont les mêmes.
D’autres éléments sur ce sujet viendront dans la section III sur la géométrie : pour l’instant, ce qu’il faut retenir, c’est que la spatialité relevant de la géométrie subit la même sentence que l'arithmétique : elle est la réalisation d'un univers d'éléments appréhendés selon la forme et le mode de l’extériorité. Cependant, comme on le verra plus bas, le passage au connaître synthétique en fin de Doctrine du Concept d’une part, et surtout la mise au jour des déterminations qualitatives de l’espace dans la Philosophie de la Nature, montreront que l’infinité quantitative de cette densité n’épuise pas ce qui est dicible du continu spatial, tout
simplement parce que l’espace n’est pas un ensemble de points comme unités de type arithmétique : le point géométrique, pris comme moment, sera au contraire l’occasion d’un
nouveau surgissement de l’infini qualitatif, c'est-à-dire du moment de l’être-pour-soi. Mais alors, ce qui sera dicible du continu le sera au-delà du quantitatif, et donc de façon non mathématique du point de vue même de Hegel, non métrique mais plus proche d’un registre
topologique (registre inexistant avant la seconde moitié du 19ème siècle) dans nos termes actuels. En tous cas, la non-dénombrabilité des réels, qui est encore aujourd’hui la forme
mathématique majoritairement retenue de détermination de la continuité mathématique, par
principe, n’est pas pensable dans son dispositif. 3. L’analyticité de l’arithmétique
Les propres mots de Hegel résumeront parfaitement sa perspective générale :
« On sait que l’arithmétique et les sciences plus universelles de la grandeur discrète se trouvent nommées par excellence science analytique et analyse. Le type de connaissance de cette [science] est en fait analytique de la façon la plus analytique qui soit… Le matériau arithmétique et algébrique… est quelque chose de déjà fait de façon toute abstraite et indéterminée, en quoi toute caractéristique de relation est supprimée, à quoi donc maintenant toute détermination et liaison est quelque chose d’extérieur. »2
Plus particulièrement, la question que Hegel souhaite affronter est la suivante : en quoi 7 + 5 = 12 peut-il être un jugement synthétique a priori ?3 D’après Kant, le propre du schématisme transcendantal est d’assurer la construction des concepts mathématiques et physiques. Le caractère synthétique vient de l'acte de construction, le caractère a priori de son effectuation dans l'intuition pure, pour la quantité, via le nombre4. Le schème transcendantal qu’est le nombre pour la quantité, est représentation d’un procédé opératoire,
d’une règle de construction, rendant applicable le concept à l’objet en le temporalisant,
c'est-à-dire en lui faisant rencontrer la forme temporelle. Le nombre présuppose l’homogénéité du divers où l’on opère la construction, et est synthèse figurée d’une grandeur
1
Chez Cantor, un irrationnel (tout réel au sens large par extension) est le représentant d’une classe d’équivalence de suites de Cauchy de rationnels.
2 Hegel 1812c p. 324. 3
Je résume ici la discussion du « Connaître analytique » de Hegel 1812c, III-2-A-a p. 319-28, et sa discussion de la position kantienne.
4 Cette construction s’effectue dans une intuition non empirique (elle ne tire aucun modèle d'une expérience
quelconque), mais qui considère, comme intuition, l’objet singulier (ainsi une figure empirique tracée ou imaginée dans l'intuition pure) comme lieu d’expression, pour la représentation d’une validité universelle (pour toute intuition possible). Dans cette intuition empirique considérée, n’est regardée que l'acte de construction du
concept, autrement dit, ce n'est pas le produit fini, mais ce qui, de normatif et d'universel, est enveloppé dans
reposant sur l’addition successive de l’unité à l’unité (procédé opératoire), liée au temps (succession comme condition de la genèse additive) et à l’imagination (qui opère la liaison du divers de l’intuition dans le sens interne). Les propriétés du Zahl et de l’Anzahl évoqués ci-dessus sont ici également caractéristiques : ce n’est pas l’aprioricité, mais la
synthéticité que Hegel récuse1.
« Concrètement : Dans le trois se trouvent rassemblés le deux et l'un, mais l'un et le deux sont cependant rassemblés ici d'une manière totalement extérieure ; par contre, la nature de l'idée est précisément l'unité inséparable, intime, et elle est dégradée au plus haut point par cette manière d'utiliser les éléments sensibles [comme des figures géométriques, par exemple le cercle pour symboliser par analogie extérieure l'éternité] »2
La synthèse opératoire qu'est l'addition (la multiplication pouvant se résoudre en elle) n'ajoute rien au concept du nombre particulier qui est le résultat de cette somme additive, réduction de l'inégal à l'égal, de l’inconnu au connu. L’extériorité mutuelle des nombres agrégés est rappelée de façon limpide, pour Hegel, dans la nature de la preuve que 7 + 5 = 12. Cette preuve n’est qu’un théorème analytique qui n’a que l’apparence de la non-trivialité, sous la forme de l’apparence de la différence des deux membres égalisés :
« Kant a certes qualifié la proposition 5 + 7 = 12 de proposition synthétique, parce que d’un côté c’est la même chose, dans la forme de termes pluraux, de 5 et 7, d’un côté, de l’autre côte dans la forme de Un, de 12, qui est présentée. Seulement, si l’analytique ne doit pas signifier le 12 = 12 tout abstraitement identique et tautologique et [doit] être en général un progrès dans ce même [12 = 12], il faut que soit présente une différence quelconque, cependant… 5 + 7 et 12 sont tout à fait le même contenu… Le 12 est donc un résultat de 5 et 7 et d’une opération qui [est] déjà posée, [et qui] selon sa nature, est également un faire extérieur, dépourvu-de-pensée, en sort qu’une machine peut par conséquent aussi en avoir raison. Ici il n’y a pas le moins du monde de passage à
un autre ; c’est un simple acte-de-poursuivre, c'est-à-dire [un] acte-de-répéter la même opération [que celle] par quoi 5 et 7 ont surgi ».3
C’est ainsi conceptuellement parlant une tautologie, c'est-à-dire un énoncé de pure explicitation. La preuve du calcul, c’est le calcul lui-même, prouver que 7 + 5 = 12, c’est ajouter des unités : la synthéticité n’est que de surface. Parler de preuve autre que l’énoncé de la solution même est une « armature hautement superflue », parce que l’immanence des éléments à la solution (tout se réduit à ajouter des nombres) est ce qui témoigne, et le paradoxe n’est qu’apparent, de l’absence d’intériorité (il n’y a aucun mouvement de soi vers un autre que soi ou vers soi-même par auto-différenciation) :
« Si le problème est que l’on doit additionner plusieurs nombres, la solution est : on les additionne ; la preuve montre que la solution est juste pour la raison qu’il était prescrit d’additionner et [que] l’on a additionné… Si le problème contient des déterminations et opérations plus complexes, par exemple de multiplier des nombres décimaux, et [que] la solution n’indique que le procédé mécanique, une preuve devient bien nécessaire ; mais celle-ci ne peut être rien de plus que l’analyse de ces déterminations et de l’opération d’où la solution ressort de soi. »4
L'essentiel pour Hegel est que la perspective arithmétique fait du nombre une entité inerte, traitée en pure extériorité, que l'unité qui préside à son être n'est pas conceptuelle mais l'unité