1- Concepts et notions

La didactique des mathématiques possède selon Vergnaud (1986, p. 21) « une identité propre » qu’il étaye en développant les quatre points suivants.

La « conception interactive de la formation des connaissances » en constitue le premier (Vergnaud, 1986, p. 22). Pour l’auteur, l’élève apprend quand il est confronté à un

« problème » qu’il définit comme « toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse et de vérification, pour produire une solution ». Il ne suffit pas de proposer aux élèves des définitions et/ou de leur signifier qu’ils ont commis une erreur. Le maître propose des situations qui leur permettront de « déconstruire pour reconstruire » (Vergnaud, 1999, p. 51). Autrement dit, il propose aux élèves une situation qui les obligera à reconsidérer une procédure qu’ils jugeaient correcte avant d’y être confrontés. C’est, selon Vergnaud (1986, p. 26) « le seul moyen d’amener les élèves à analyser les choses avec plus de profondeur et à réviser ou élargir leurs conceptions ».

Le deuxième point développé par Vergnaud (1986, p. 28) est « une approche développementale ». Selon l’auteur, « la lenteur du développement des connaissances est dangereusement mésestimée par les enseignants, les parents et les programmes ». Il préconise donc de revenir d’une année sur l’autre sur les notions et concepts mathématiques déjà abordés, en complexifiant les situations afin d’appréhender petit à petit les différents aspects du concept, voire de recourir à un nouveau concept si les élèves y sont prêts.

Les « concepts de théorème-en-acte et de champ conceptuel » constituent le troisième point (Vergnaud, 1986, pp. 29-33). L’auteur donne un exemple de théorème-en-acte : « si on compte une collection A puis une collection B on obtient le même résultat que si on compte la collection B puis la collection A ». Au fur et à mesure de ses apprentissages, les élèves découvrent différents théorèmes qui d’ailleurs ne sont pas toujours « exprimés sous une forme mathématique, ni même parfois sous une autre forme ». Non formalisés mais opératoires, ces théorèmes-en-acte permettent à l’enseignant de faire le point sur les connaissances de l’élève.

S’agissant du champ conceptuel, Vergnaud le définit « comme un ensemble de situations, dont la maîtrise requiert une variété de concepts, de procédures et de représentations symboliques en étroite connexion ». L’enseignant analyse non seulement les situations et les procédures utilisées par les élèves mais aussi ce qu’ils en disent. A travers la verbalisation des procédures, l’enseignant vérifie que « la représentation symbolique » que s’en fait l’élève est juste. Dans le cas contraire « elle peut aussi donner lieu à de graves erreurs d’interprétations ».

Le quatrième point enfin concerne « la représentation et les rapports entre signifiés et signifiants ». Selon Vergnaud (1986, p. 37), les élèves ont parfois du mal « à représenter

leur est enseigné ne permet pas de symboliser tous les problèmes proposés ou encore

« certains systèmes symboliques véhiculent des significations qui sont éloignées des significations mathématiques standard ».

Par conséquent, afin de comprendre le « cheminement » des élèves, « il faut analyser dans le détail les conduites des élèves en situation, leurs formulations, leurs procédures, les écarts entre les exigences du maître et les démarches des élèves » (Vergnaud, 1986, p. 39).

Charnay et Mante (1995, pp. 6-8), s’inspirant des travaux de Vergnaud, se réfèrent à une

« analyse systémique », le système étant constitué des trois pôles du « triangle didactique » (élève, savoir et enseignant) :

« L’interaction élève/savoir : la notion de conception » : les élèves possèdent comme tout un chacun des « représentations ou conceptions », qui vont évoluer en situation d’apprentissage. Aussi, cette notion permet-elle de « comprendre les productions des élèves et en particulier leurs erreurs et difficultés ».

« L’interaction élève/enseignant : la notion de contrat didactique » : le contrat didactique détermine, le plus souvent implicitement, ce que chacun aura « à charge de gérer et dont il sera, d’une manière ou d’une autre, comptable devant l’autre » (Brousseau, 1986, cité par Charnay & Mante, 1995, p. 7). Nous y reviendrons plus longuement ultérieurement.

« Le pôle savoir : les notions de transposition didactique et de champ conceptuel » : les auteurs s’appuient ici sur la définition du champ conceptuel donné par Vergnaud (nous l’avons vu plus tôt). S’agissant de la transposition didactique, elle consiste en une adaptation des notions mathématiques, soit du « savoir savant », en « savoir enseigné » (Chevallard, cité par Charnay & Mante, 1995, p. 8).

« Le pôle élève : l’approche socio-constructiviste de l’apprentissage » : les didacticiens « privilégient le modèle socio-constructiviste, qui s’appuie sur des travaux en psychologie génétique (J. Piaget), en épistémologie (G. Bachelard) et en psychologie sociale (Doise, Mugny, Perret-Clermont) ». La situation-problème (que nous définirons plus tard) est représentative de cette approche.

Revenons sur la notion de « contrat didactique » attachée à un concept incontournable s’agissant de la didactique des mathématiques, le « concept de dévolution ». Ainsi, selon Vergnaud (2008, p. 185), la principale fonction didactique dans l’activité d’un enseignant est

« ce que Guy Brousseau appelle la dévolution du problème ». Brousseau (1990, p. 325) la définit ainsi :

« La dévolution est l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage (a-didactique) ou d’un problème et accepte lui-même les conséquences de ce transfert. »

Par « milieu a-didactique », Brousseau (1990, pp. 324-325) entend qu’il est « dénué d’intentions et de présupposés didactiques ». L’enseignant n’a donc pas pour projet de donner la bonne réponse à l’élève, il attend de lui qu’il la trouve. Pour ce faire, l’élève « accepte la responsabilité de chercher à résoudre des problèmes ou des exercices dont il ignore la réponse ». Aussi, l’auteur souligne le paradoxe de la dévolution :

« Le maître veut que l’élève ne tienne la réponse que de lui-même mais en même temps il veut, il a le devoir social de vouloir, que l’élève donne la bonne réponse. Il doit donc communiquer ce savoir sans avoir à le dévoiler, ce qui est incompatible avec une relation contractuelle. »

Le maître propose une activité à l’élève qui va lui permettre d’apprendre. L’élève, confiant, s’engage dans la tâche et persévère devant l’obstacle. Le « contrat didactique » a donc pour forme une « relation didactique » (Brousseau, 1990, p. 322). Pour Marchive (2005, pp. 190-191), l’enseignant fait alors preuve d’« autorité didactique » puisque la situation implique

« des conduites de soumission » de la part de l’élève. Cette autorité peut soit générer « des difficultés » chez l’élève, soit au contraire créer « les conditions de réelles situations d’apprentissage ».

Les règles du contrat didactique étant implicites, l’élève peut, en fonction de son expérience scolaire, se dire qu’elles revêtent les formes suivantes :

« Tout problème que l’enseignant donne à une solution.

Pour résoudre un problème, il faut utiliser toutes les données de l’énoncé.

Pour résoudre un problème, il faut faire des opérations.

Pour résoudre un problème, il faut utiliser les dernières notions étudiées… » (Charnay

& Mante, 1995, p. 66)

Ces règles peuvent alors être source de difficultés, voire l’amener à proposer une solution à des problèmes insolubles.