No trabalho publicado em Li & Milenkovic [1995b], são apresentados dois modelos de compactação de leiautes. Um deles é baseado na simulação da aplicação de forças sobre os itens, havendo deslocamentos dos mesmos em intervalos de tempo. Neste processo, o modelo de simulação de movimentos é construído de modo a identificar um conjunto de velocidades, uma para cada item, que podem ser aplicadas aos itens em um intervalo de tempo, sem que haja ocorrência de sobreposição. O processo é repetido até que não seja possível aplicar novos deslocamentos que reduzam o comprimento do leiaute. Como limitação, o trabalho daqueles autores tem sua aplicação restrita a polígonos em forma de estrela. Esses polígonos caracterizam-se por possuir pelo menos um ponto em seu interior, tal que deste ponto haja um segmento de reta para qualquer outro ponto do in- terior do polígono, de modo que este segmento de reta esteja completamente no interior do polígono. Outros modelos de compactação são apresentados por outros autores, com modificações que possibilitam evitar a restrição de polígonos em forma de estrela.
Um desses modelos é descrito em Gomes & Oliveira [2006]. Neste modelo, o objetivo é reduzir o comprimento do leiaute para elevar a eficiência do posicionamento. Usando as definições apresentadas nas equações 2.2 a 2.9, além da adequação ao sistema de coordenadas adotado no presente trabalho, que usa um eixo de valores x colinear à base do objeto receptor e um eixo y colinear à lateral esquerda do objeto receptor, o modelo de compactação apresentado naquele trabalho pode ser adaptado como descrito na figura 2.10. Para este modelo, é necessário definir novas constantes. O par de constantes X˚
i e
Yi˚ é responsável por reter as coordenadas da posição inicial do item pi. A localização
do ponto de referência ri do item pi é usada como a posição inicial do item. É definido
um par de constantes (X˚
i, Yi˚) para cada pi P P. As constantes W0 e H0 são definidas,
respectivamente, como a largura do objeto receptor e o comprimento, ou altura, do leiaute inicial. Um outro grupo de constantes, DISTANCEi, sendo uma para cada pi P P, destina-
se a limitar o deslocamento dos itens. Segundo aqueles autores, a função deste limite de deslocamentos é tornar a compactação mais suave. Vale frisar aqui a inclusão da resolução deste modelo de compactação em um procedimento iterativo. Ou seja, a solução deste modelo indica novas posições para os itens, e a diferença entre as posições anteriores e as novas constituem os deslocamentos dos itens. Ao término de um reposicionamento dos itens, um novo modelo de compactação é construído e novas posições são definidas.
Este processo é encerrado quando a resolução do modelo de compactação não fornece modificações nas posições dos itens. Segundo Gomes [2005], que apresenta um modelo de compactação no qual usa uma constante para cada componente x e outra para cada componente y de cada item, a restrição da amplitude dos deslocamentos e o processo iterativo tornam o método mais eficaz.
min z (2.23) sujeito a: (2.24) zě yi` Li i“ 1, ..., N (2.25) xi´ Xi˚ď DISTANCEi i“ 1, ..., N (2.26) yi´ Yi˚ď DISTANCEi i“ 1, ..., N (2.27) ´xi` Xi˚ď DISTANCEi i“ 1, ..., N (2.28) ´yi` Yi˚ď DISTANCEi i“ 1, ..., N (2.29) xi ě 0 ` righti i“ 1, ..., N (2.30) yi ě 0 ` bottomi i“ 1, ..., N (2.31) xi ě W0´ lefti i“ 1, ..., N (2.32) yi ě H0´ topi i“ 1, ..., N (2.33) fpxj ´ xi, yj´ yiq ď 0 i, j “ 1, ..., N; i ‰ j (2.34) xi, yi, zě 0 i“ 1, ..., N (2.35)
Figura 2.10. Modelo matemático de compactação adaptado de Gomes & Oliveira [2006].
O conjunto de inequações 2.25 define a variável z como o comprimento do leiaute. Os conjuntos de inequações de 2.26 a 2.29 fazem a limitação da amplitude dos desloca- mentos dos itens. Os conjuntos de inequações de 2.30 a 2.33 garantem que todo item pi
será posicionado no interior do respectivo IFRi. O conjunto de inequações 2.34, sendo
uma inequação para cada par de itens pi e pj, são responsáveis por garantir a não so-
breposição dos itens. A função fpxj ´ xi, yj ´ yiq refere-se à penetração do item pj no
interior do NFPi,j, sendo caracterizada uma sobreposição na ocorrência de valor positivo.
As inequações do conjunto 2.35 formam as restrições de integralidade das variáveis do modelo.
É importante destacar a composição da função f. Para cada par de itens pi e pj,
será selecionada uma aresta do NFPi,j que tenha o ponto de referência rj à sua esquerda,
se os vértices do NFPi,j estiverem em sentido horário, ou à sua direita, caso contrário. Se
sua reta suporte mais distante do ponto rj será selecionada. A função f deve garantir que
os deslocamentos dos itens pi e pj preservem rj do mesmo lado da reta suporte da aresta
selecionada do NFPi,j. Isto pode ser feito usando uma inequação que defina a distância
de rj à reta suporte da aresta selecionada do invólucro de posicionamento, em função do
posicionamento do item pi.
Segundo Gomes & Oliveira [2006], três situações distintas são derivadas desta de- cisão de seleção de aresta. Uma delas é a situação trivial, na qual uma aresta pertence a uma sequência convexa do invólucro de posicionamento e não há empates com outras arestas na distância para rj. As outras duas situações são casos que merecem atenção
especial. Uma ocorre quando rj coincide com um vértice do NFPi,j. Neste caso, duas
arestas do invólucro de posicionamento estarão a distância zero de rj. Gomes [2005]
determina que a escolha favoreça a aresta que seja menos restritiva à compactação, ou seja, deve-se optar pela reta cuja inclinação seja mais próxima da inclinação da lateral do objeto receptor. A outra situação especial ocorre quando a aresta selecionada do NFPi,j
pertence a uma sequência de arestas côncavas. Neste caso, deve ser incluído no modelo uma inequação para cada aresta da sequência que forma a concavidade.
Este modelo de compactaçao permite reorganizar os itens, possilitando a redução do comprimento do leiaute. Deve-se observar ainda que, a cada passo do processo itera- tivo descrito, as posições relativas entre cada par de itens não são alteradas. Isto ocorre em decorrência da ação das restrições de não-sobreposição. As reconstruções do modelo, a cada iteração, permitem que essas posições relativas sejam reavaliadas, o que favorece a obtenção de novas melhorias a cada passo. Por ser um modelo de programação linear sem variáveis binárias ou inteiras, sua resolução é simples. Isto torna este método atra- tivo para aplicação em ferramentas de resolução do problema de C&P, podendo levar as abordagens a níveis mais competitivos.