Proposition 7.5 (Compatibilité aux changements de base). Soient X0un schéma et f : X0→ X un
mor-phisme de schémas. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules. Le morphisme naturel de X0 -schémas
V( f∗F) −→ V(F) ×XX0 est un isomorphisme.
7.1.3. Schéma des morphismes linéaires. — Soit X un schéma. Pour tous faisceaux desOX-modules
E, F, on considère le foncteur HomX(F, E) : ½ X-espaces localement annelés ¾ // © groupes abéliens ª (Y, f ) // Hom OY-mod( f∗F, f∗E)
Proposition 7.6. Soient E un faisceau deOX-modules localement libre de rang fini et F un faisceau
quasi-cohérent deOX-modules.
Le foncteur HomX(F, E) est représente par le X-schéma HomX(F, E) := V(E∨⊗ F).
Proposition 7.7. Soit E un faisceau deOXlocalement libre de rang r . Le foncteur en groupes
GL(E) : ½ X-espaces localement annelés ¾ // © groupes ª (Y, f ) // Aut OY-mod( f∗E, f∗E) est représenté par un X-schéma en groupes GL(E).
7.1.4. Fibrés projectifs et grassmaniennes. — Soit X un schéma. Pour tout faisceau deOX-modules F
et tout nombre entier r ≥ 0, on considère le foncteur Grassr(F) : ½ X-espaces localement annelés ¾ // © ensembles ª (Y, f ) //½ (E,ϕ)¯¯ ¯
E localement libre de rang r , ϕ : f∗F → E epimorphisme
¾ .
∼
Proposition 7.8. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules et r un nombre entier positif.
Le foncteur Grassr(F) est représentable par un X-schéma Grassr(F), dit grassmanienne d’indice r
de F.
Démonstration. La question étant locale sur X, on peut supposer que le faisceau quasi-cohérent F
est engendré par une famille de sections {si}i ∈I. Pour tout X-espace localement annelé (Y, f ) et toute partie H ⊂ I à n éléments, on considère l’homomorphisme défini par les siavec i ∈ H,
ϕH,Y:On
Pour chacune de ces parties H de I, on définit une partie GrassH(F)(Y) de Grassr(F)(Y) par la condi-tion suivante : GrassH(F)(Y) est formée des quotients E de f∗F localement libres de rang n, tels que l’homomorphisme composé
On
Y
ϕH,Y// f∗F //E
soit surjectif, et donc un isomorphisme. La partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’ensemble des homomor-phismesψ : f∗F → OYntels queψ ◦ ϕH,Y= idf∗F. En d’autres termes, si on définit les applications
HomOY-mod( f∗F,On Y) //HomO Y-mod(On Y,On Y) αH:ψ //ψ ◦ ϕ H,Y β : ψ //id
la partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’égalisateur des applicationsαH,β. D’après la Proposition 7.6, le foncteur GrassH(F) est représentable (dans ce cadre plus général) par l’égalisateur GrassH(F) des mor-phismes de X-schémas
αH,β : Hom(F,On
X) −→ Hom(OXn,On
X) induits parαH,β. Le reste de la preuve suit sans changements.
Proposition 7.9 (Compatibilité aux changements de base). Soient X0un schéma et f : X0→ X un
mor-phisme de schémas. Soient F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules et r ≥ 0 un nombre entier. Le morphisme naturel de X0-schémas
Grassr( f∗F) −→ Grassr(F) ×XX0 est un isomorphisme.
Proposition 7.10. Soient F, F0des faisceaux quasi-cohérents deOX-modules. Le morphisme de Segre
σF,F0: P(F) ×XP(F0) −→ P(F ⊗ F0) est une immersion fermée.
Proposition 7.11. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules et r ≥ 0 un nombre entier. Le
morphisme de Plücker
$F: Grassr(F) −→ P¡VrF¢ est une immersion fermée.
7.2 Géométrie analytique
Soient k un corps complet pour une valeur absolue et X un k-espace analytique. Pour toute exten-sion analytique K du corps k, on désigne par XKle K-espace analytique déduit de X par extension des scalaires et par
$K: XK−→ X le morphisme d’extension des scalaires.
Définition 7.12. Un espace analytique sur X est un triplet (K, Y, f ) formé d’une extension analytique K du corps k, d’un K-espace analytique Y et d’un morphisme f : Y → XKde K-espaces analytiques.
Soient (K, Y, f ) et (K0, Y0, f0) des K-espaces analytiques. Un morphisme d’espaces analytiques sur X, (ε,g) : (K0, Y0, f0) −→ (K,Y, f )
est un couple formé d’une injection isométriqueε : K → K0 de k-algèbres de Banach et d’un mor-phisme de K0-espaces analytiques g : Y0→ YK0tel que le diagramme
Y0 g // f0 YK0 f0 K0 XK0 XK0 soit commutatif.
7.2.1. Fibrés vectoriels. — Soient X un k-espace analytique. Pour tout faisceau deOX-modules F, on
considère le foncteur :
V(F) : © espaces analytiques sur X ª // © k-espaces vectoriels ª
(K, Y, f ) // Hom
OY-mod( f∗$∗ KF,OY)
Proposition 7.13. Soit F un faisceau deOX-modules de présentation finie. Le foncteur V(F) est
repré-sentable par un k-espace analytique sur X, V(F), dit fibré vectoriel associé à F.
Démonstration. En suivant [Gro61d, Proposition 1.1], on suppose d’abord que F soit le faisceau de
OX-modulesOn
X. Dans ce cas, on a les bijections fonctorielles en Y, Hom(On
Y,OY) −→ Hom(OY,OY)n−→ Γ(Y, OY)n.
Pour (K, Y) variable dans la catégorie des espaces analytiques sur k, le foncteur exprimé par le terme à droite est représentable par l’espace Ank; donc, pour (K, Y, f ) variable dans la catégorie des espaces analytiques sur X, ce même foncteur est représentable par le k-espace analytique sur X,
AnX:= Ank× X.
On revient au cas d’un faisceau quelconque deOX-modules de présentation finie F. La question étant locale sur le k-espace analytique X, on peut supposer qu’il existe une suite extacte
Om
X
ϕ //On
X
ψ //F
où m, n ≥ 0 sont des nombres entiers. Pour tout espace analytique sur X, (K,X, f ), on en déduit une suite exacte 0 //HomO Y-mod( f∗$∗ KF,OY) //HomO Y-mod(On Y,OY) //HomO Y-mod(Om Y ,OY) . Cela montre que le foncteur V(F) est représentable par le produit fibré
Ank×Am k X // X e Ank f //Am k
Proposition 7.14 (Compatibilité aux changements de base). Soient (K, Y, f ) un espace analytique sur X et F un faisceau deOX-modules de présentation finie. Le morphisme naturel de K-espaces analy-tiques
V( f∗$∗
KF) −→ V(F)K×XKY est un isomorphisme.
Corollaire 7.15 (Compatibilité à l’extension des scalaires). Soient K une extension analytique du corps
k et F un faisceau deOX-modules de présentation finie. Le morphisme naturel de K-espaces analy-tiques
V($∗
KF) −→ V(F)K est un isomorphisme.
Corollaire 7.16 (Compatibilité à la construction des fibres). Soient X un k-espace analytique et K une extension analytique du corps k. Pour tout faisceau F deOX-modules de présentation finie, le mor-phisme naturel de K-espaces analytiques
V(x∗F) → V(F)x
est un isomorphisme.
Proposition 7.17 (Compatibilité à l’analytification). Soient X un k-schéma localement de type fini et F un faisceau cohérent deOX-modules. Le morphisme naturel de k-espaces analytiques
V(Fan) −→ V(F)an. est un isomorphisme.
7.2.2. Espace analytique des morphismes linéaires. — Soit X un k-espace analytique. Pour tous fais-ceaux deOX-modules E, F, on considère le foncteur
HomX(F, E) : © espaces analytiques sur X ª // © groupes abéliens ª
(K, Y, f ) // Hom
OY-mod( f∗$∗ KF, f∗$∗
KE)
Proposition 7.18. Soient E un faisceau deOX-modules localement libre de rang fini et F un faisceau
deOX-modules de présentation finie.
Le foncteur HomX(F, E) est représenté par le k-espace analytique V(E∨⊗ F).
Proposition 7.19. Soit E un faisceau deOXlocalement libre de rang r . Le foncteur en groupes
GL(E) : © espaces analytiques sur X ª // © groupes ª
(K, Y, f ) // Aut
OY-mod( f∗$∗ KE, f∗$∗
KE) est représenté par le k-espace analytique sur X en groupes GL(E).
7.2.3. Fibrés projectifs et grassmaniennes. — Soit X un k-espace analytique. Pour tout faisceau de OX-modules F et tout nombre entier r ≥ 0, on considère le foncteur
Grassr(F) : © espaces analytiques sur X ª //© ensembles ª
(K, Y, f ) //½ (E,ϕ)¯¯
¯
E localement libre de rang r , ϕ : f∗$∗
KF → E epimorphisme ¾
. ∼
Proposition 7.20. Soit F un faisceau deOX-modules de présentation finie et r un nombre entier posi-tif.
Le foncteur Grassr(F) est représentable par un k-espace analytique sur X, Grassr(F), dit
grassma-nienne d’indice r de F.
Démonstration. La question étant locale sur X, on peut supposer que le faisceau deOX-modules F est engendré par une famille de sections {si}i ∈I. Pour tout espace analytique sur X, (K, Y, f ), et toute partie H ⊂ I à n éléments, on considère l’homomorphisme défini par les siavec i ∈ H,
ϕH,Y:On
Y −→ f∗$∗ KF.
Pour chacune de ces parties H de I, on définit une partie GrassH(F)(Y) de Grassr(F)(Y) par la condi-tion suivante : GrassH(F)(Y) est formée des quotients E de f∗F localement libres de rang r , tels que l’homomorphisme composé
On
Y
ϕH,Y // f∗F //E
soit surjectif, et donc un isomorphisme. La partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’ensemble des homomor-phismesψ : f∗F → OYntels queψ ◦ ϕH,Y= idf∗F. En d’autres termes, si on définit les applications
HomOY-mod( f∗F,On Y) //HomO Y-mod(On Y,On Y) αH:ψ //ψ ◦ ϕ H,Y β : ψ //id
la partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’égalisateur des applicationsαH,β. D’après la Proposition 7.6, le foncteur GrassH(F) est représentable (dans ce cadre plus général) par l’égalisateur GrassH(F) des mor-phismes de k-espaces analytiques sur X,
αH,β : Hom(F,On
X) −→ Hom(OXn,On
X)
induits parαH,β. Par des arguments standard de recollement, on se ramène à démontrer les deux faits suivants :
– Soit (K, Y, f ) un espace analytique sur X. Étant donné un quotient localement libre de rang r de
f∗$∗
KF, l’ensemble des points y ∈ Y tel que l’homomorphismebκ(y)r
→ x∗F déduit de l’homo-morphisme composé
On
Y −→ f∗$∗ KF −→ E
soit surjectif, est ouvert, et égal à T seulement si le-dit composé lui-même est surjectif. – Avec les notations précédentes, la réunion des UHest Y.
Le premier est une conséquence du lemme de Nakayama ; le deuxième est vrai car les sections {si} engendrent f∗$∗
KF. Cela achève la preuve.
Proposition 7.21. Soient F, F0des faisceaux deOX-modules de présentation finie. Le morphisme de
Segre
σF,F0: P(F) ×XP(F0) −→ P(F ⊗ F0) est une immersion fermée.
Proposition 7.22. Soient F un faisceauOX-modules de présentation finie et r un nombre entier
posi-tif. Le morphisme de Plücker
πF: Grassr(F) −→ P¡VrF¢ est une immersion fermée.
Proposition 7.23 (Compatibilité aux changements de base). Soit (K, X0, f ) un espace analytique sur X. Soient F un faisceau deOX-modules de présentation finie et r un nombre entier positif. Le morphisme naturel de K-espaces analytique sur X,
Grassr( f∗F) −→ Grassr(F) ×XX0, est un isomorphisme.