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V(F) est appelé fibré vectoriel associé à F

Proposition 7.5 (Compatibilité aux changements de base). Soient X0un schéma et f : X0→ X un

mor-phisme de schémas. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules. Le morphisme naturel de X0 -schémas

V( fF) −→ V(F) ×XX0 est un isomorphisme.

7.1.3. Schéma des morphismes linéaires. — Soit X un schéma. Pour tous faisceaux desOX-modules

E, F, on considère le foncteur HomX(F, E) : ½ X-espaces localement annelés ¾ // © groupes abéliens ª (Y, f )  // Hom OY-mod( fF, fE)

Proposition 7.6. Soient E un faisceau deOX-modules localement libre de rang fini et F un faisceau

quasi-cohérent deOX-modules.

Le foncteur HomX(F, E) est représente par le X-schéma HomX(F, E) := V(E⊗ F).

Proposition 7.7. Soit E un faisceau deOXlocalement libre de rang r . Le foncteur en groupes

GL(E) : ½ X-espaces localement annelés ¾ // © groupes ª (Y, f )  // Aut OY-mod( fE, fE) est représenté par un X-schéma en groupes GL(E).

7.1.4. Fibrés projectifs et grassmaniennes. — Soit X un schéma. Pour tout faisceau deOX-modules F

et tout nombre entier r ≥ 0, on considère le foncteur Grassr(F) : ½ X-espaces localement annelés ¾ // © ensembles ª (Y, f )  //½ (E,ϕ)¯¯ ¯

E localement libre de rang r , ϕ : fF → E epimorphisme

¾ .

Proposition 7.8. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules et r un nombre entier positif.

Le foncteur Grassr(F) est représentable par un X-schéma Grassr(F), dit grassmanienne d’indice r

de F.

Démonstration. La question étant locale sur X, on peut supposer que le faisceau quasi-cohérent F

est engendré par une famille de sections {si}i ∈I. Pour tout X-espace localement annelé (Y, f ) et toute partie H ⊂ I à n éléments, on considère l’homomorphisme défini par les siavec i ∈ H,

ϕH,Y:On

Pour chacune de ces parties H de I, on définit une partie GrassH(F)(Y) de Grassr(F)(Y) par la condi-tion suivante : GrassH(F)(Y) est formée des quotients E de fF localement libres de rang n, tels que l’homomorphisme composé

On

Y

ϕH,Y// fF //E

soit surjectif, et donc un isomorphisme. La partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’ensemble des homomor-phismesψ : fF → OYntels queψ ◦ ϕH,Y= idf∗F. En d’autres termes, si on définit les applications

HomOY-mod( fF,On Y) //HomO Y-mod(On Y,On Y) αH:ψ //ψ ◦ ϕ H,Y β : ψ //id

la partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’égalisateur des applicationsαH,β. D’après la Proposition 7.6, le foncteur GrassH(F) est représentable (dans ce cadre plus général) par l’égalisateur GrassH(F) des mor-phismes de X-schémas

αH,β : Hom(F,On

X) −→ Hom(OXn,On

X) induits parαH,β. Le reste de la preuve suit sans changements.

Proposition 7.9 (Compatibilité aux changements de base). Soient X0un schéma et f : X0→ X un

mor-phisme de schémas. Soient F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules et r ≥ 0 un nombre entier. Le morphisme naturel de X0-schémas

Grassr( fF) −→ Grassr(F) ×XX0 est un isomorphisme.

Proposition 7.10. Soient F, F0des faisceaux quasi-cohérents deOX-modules. Le morphisme de Segre

σF,F0: P(F) ×XP(F0) −→ P(F ⊗ F0) est une immersion fermée.

Proposition 7.11. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules et r ≥ 0 un nombre entier. Le

morphisme de Plücker

$F: Grassr(F) −→ P¡VrF¢ est une immersion fermée.

7.2 Géométrie analytique

Soient k un corps complet pour une valeur absolue et X un k-espace analytique. Pour toute exten-sion analytique K du corps k, on désigne par XKle K-espace analytique déduit de X par extension des scalaires et par

$K: XK−→ X le morphisme d’extension des scalaires.

Définition 7.12. Un espace analytique sur X est un triplet (K, Y, f ) formé d’une extension analytique K du corps k, d’un K-espace analytique Y et d’un morphisme f : Y → XKde K-espaces analytiques.

Soient (K, Y, f ) et (K0, Y0, f0) des K-espaces analytiques. Un morphisme d’espaces analytiques sur X, (ε,g) : (K0, Y0, f0) −→ (K,Y, f )

est un couple formé d’une injection isométriqueε : K → K0 de k-algèbres de Banach et d’un mor-phisme de K0-espaces analytiques g : Y0→ YK0tel que le diagramme

Y0 g // f0  YK0 f0 K0  XK0 XK0 soit commutatif.

7.2.1. Fibrés vectoriels. — Soient X un k-espace analytique. Pour tout faisceau deOX-modules F, on

considère le foncteur :

V(F) : © espaces analytiques sur X ª // © k-espaces vectoriels ª

(K, Y, f )  // Hom

OY-mod( f$ KF,OY)

Proposition 7.13. Soit F un faisceau deOX-modules de présentation finie. Le foncteur V(F) est

repré-sentable par un k-espace analytique sur X, V(F), dit fibré vectoriel associé à F.

Démonstration. En suivant [Gro61d, Proposition 1.1], on suppose d’abord que F soit le faisceau de

OX-modulesOn

X. Dans ce cas, on a les bijections fonctorielles en Y, Hom(On

Y,OY) −→ Hom(OY,OY)n−→ Γ(Y, OY)n.

Pour (K, Y) variable dans la catégorie des espaces analytiques sur k, le foncteur exprimé par le terme à droite est représentable par l’espace Ank; donc, pour (K, Y, f ) variable dans la catégorie des espaces analytiques sur X, ce même foncteur est représentable par le k-espace analytique sur X,

AnX:= Ank× X.

On revient au cas d’un faisceau quelconque deOX-modules de présentation finie F. La question étant locale sur le k-espace analytique X, on peut supposer qu’il existe une suite extacte

Om

X

ϕ //On

X

ψ //F

où m, n ≥ 0 sont des nombres entiers. Pour tout espace analytique sur X, (K,X, f ), on en déduit une suite exacte 0 //HomO Y-mod( f$ KF,OY) //HomO Y-mod(On Y,OY) //HomO Y-mod(Om Y ,OY) . Cela montre que le foncteur V(F) est représentable par le produit fibré

Ank×Am k X //  X e  Ank f //Am k

Proposition 7.14 (Compatibilité aux changements de base). Soient (K, Y, f ) un espace analytique sur X et F un faisceau deOX-modules de présentation finie. Le morphisme naturel de K-espaces analy-tiques

V( f$

KF) −→ V(F)K×XKY est un isomorphisme.

Corollaire 7.15 (Compatibilité à l’extension des scalaires). Soient K une extension analytique du corps

k et F un faisceau deOX-modules de présentation finie. Le morphisme naturel de K-espaces analy-tiques

V($

KF) −→ V(F)K est un isomorphisme.

Corollaire 7.16 (Compatibilité à la construction des fibres). Soient X un k-espace analytique et K une extension analytique du corps k. Pour tout faisceau F deOX-modules de présentation finie, le mor-phisme naturel de K-espaces analytiques

V(xF) → V(F)x

est un isomorphisme.

Proposition 7.17 (Compatibilité à l’analytification). Soient X un k-schéma localement de type fini et F un faisceau cohérent deOX-modules. Le morphisme naturel de k-espaces analytiques

V(Fan) −→ V(F)an. est un isomorphisme.

7.2.2. Espace analytique des morphismes linéaires. — Soit X un k-espace analytique. Pour tous fais-ceaux deOX-modules E, F, on considère le foncteur

HomX(F, E) : © espaces analytiques sur X ª // © groupes abéliens ª

(K, Y, f )  // Hom

OY-mod( f$ KF, f$

KE)

Proposition 7.18. Soient E un faisceau deOX-modules localement libre de rang fini et F un faisceau

deOX-modules de présentation finie.

Le foncteur HomX(F, E) est représenté par le k-espace analytique V(E⊗ F).

Proposition 7.19. Soit E un faisceau deOXlocalement libre de rang r . Le foncteur en groupes

GL(E) : © espaces analytiques sur X ª // © groupes ª

(K, Y, f )  // Aut

OY-mod( f$ KE, f$

KE) est représenté par le k-espace analytique sur X en groupes GL(E).

7.2.3. Fibrés projectifs et grassmaniennes. — Soit X un k-espace analytique. Pour tout faisceau de OX-modules F et tout nombre entier r ≥ 0, on considère le foncteur

Grassr(F) : © espaces analytiques sur X ª //© ensembles ª

(K, Y, f )  //½ (E,ϕ)¯¯

¯

E localement libre de rang r , ϕ : f$

KF → E epimorphisme ¾

. ∼

Proposition 7.20. Soit F un faisceau deOX-modules de présentation finie et r un nombre entier posi-tif.

Le foncteur Grassr(F) est représentable par un k-espace analytique sur X, Grassr(F), dit

grassma-nienne d’indice r de F.

Démonstration. La question étant locale sur X, on peut supposer que le faisceau deOX-modules F est engendré par une famille de sections {si}i ∈I. Pour tout espace analytique sur X, (K, Y, f ), et toute partie H ⊂ I à n éléments, on considère l’homomorphisme défini par les siavec i ∈ H,

ϕH,Y:On

Y −→ f$ KF.

Pour chacune de ces parties H de I, on définit une partie GrassH(F)(Y) de Grassr(F)(Y) par la condi-tion suivante : GrassH(F)(Y) est formée des quotients E de fF localement libres de rang r , tels que l’homomorphisme composé

On

Y

ϕH,Y // fF //E

soit surjectif, et donc un isomorphisme. La partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’ensemble des homomor-phismesψ : fF → OYntels queψ ◦ ϕH,Y= idf∗F. En d’autres termes, si on définit les applications

HomOY-mod( fF,On Y) //HomO Y-mod(On Y,On Y) αH:ψ //ψ ◦ ϕ H,Y β : ψ //id

la partie GrassH(F)(Y) s’identifie à l’égalisateur des applicationsαH,β. D’après la Proposition 7.6, le foncteur GrassH(F) est représentable (dans ce cadre plus général) par l’égalisateur GrassH(F) des mor-phismes de k-espaces analytiques sur X,

αH,β : Hom(F,On

X) −→ Hom(OXn,On

X)

induits parαH,β. Par des arguments standard de recollement, on se ramène à démontrer les deux faits suivants :

– Soit (K, Y, f ) un espace analytique sur X. Étant donné un quotient localement libre de rang r de

f$

KF, l’ensemble des points y ∈ Y tel que l’homomorphismebκ(y)r

→ xF déduit de l’homo-morphisme composé

On

Y −→ f$ KF −→ E

soit surjectif, est ouvert, et égal à T seulement si le-dit composé lui-même est surjectif. – Avec les notations précédentes, la réunion des UHest Y.

Le premier est une conséquence du lemme de Nakayama ; le deuxième est vrai car les sections {si} engendrent f$

KF. Cela achève la preuve.

Proposition 7.21. Soient F, F0des faisceaux deOX-modules de présentation finie. Le morphisme de

Segre

σF,F0: P(F) ×XP(F0) −→ P(F ⊗ F0) est une immersion fermée.

Proposition 7.22. Soient F un faisceauOX-modules de présentation finie et r un nombre entier

posi-tif. Le morphisme de Plücker

πF: Grassr(F) −→ P¡VrF¢ est une immersion fermée.

Proposition 7.23 (Compatibilité aux changements de base). Soit (K, X0, f ) un espace analytique sur X. Soient F un faisceau deOX-modules de présentation finie et r un nombre entier positif. Le morphisme naturel de K-espaces analytique sur X,

Grassr( fF) −→ Grassr(F) ×XX0, est un isomorphisme.