1.1 Cadre et notation générale sur un corps global
Soient K un corps global et VKl’ensemble de ses places. Soient X, Y des K-schémas projectifs et L, M des faisceaux inversibles amples respectivement sur X, Y. On considère les K-algèbres graduées de
type fini A :=M d ≥0 Γ(X,L⊗d), B :=M d ≥0 Γ(Y,M⊗d).
Les K-schémas X et Y s’identifient canoniquement aux spectres homogènes des K-algèbres graduées A et B. Si le faisceau inversible L (resp. M) est de plus engendré par ses sections globales, il s’identifie au faisceau inversibleOX(1) (resp.OY(1)) associé au A-module gradué A(1) (resp. au B-module gra-dué B(1)).
Soitϕ : B → A un homomorphisme de K-algèbres homogène de degré D > 0, c’est-à-dire, tel que pour tout nombre entier d ≥ 0 on ait ϕ(Bd) ⊂ Ad D. L’homomorphismeϕ induit un morphisme de K-schémas f : U → Y, où U est l’ouvert complémentaire du sous-schéma fermé de X définit par l’idéal homogèneϕ(B+) · A.
Le morphisme f ainsi défini est affine : en effet, pour tout élément homogène b ∈ B, son image ϕ(b) ∈ A est un élément homogène et l’image réciproque par f de l’ouvert affine D+(b) = SpecB(b)est l’ouvert affine D+(ϕ(b)) = SpecA(ϕ(b)),
f−1D+(b) = D+(ϕ(b))
(ici B(b) et A(ϕ(b)) désignent la composante de degré 0 respectivement des K-algèbres graduées Bb
et Aϕ(b)).
Pour tout nombre entier d ≥ 1 assez grand (plus précisément tel que M⊗det L⊗dDsoient engendrés par leurs sections globales) l’homomorphisme de K-espaces vectoriels induit parϕ,
Γ(Y,M⊗d) −→ Γ(X,L⊗dD)
induit un isomorphisme de faisceaux inversibles sur U,ϕd D: f∗M⊗d → L|⊗dDU . Cet isomorphisme est compatible aux puissances tensorielles. En particulier, si d ≥ 1 est un nombre entier assez grand, l’isomorphisme de faisceaux inversibles sur U,
ϕD= ϕ(d +1)D⊗ ϕ∨d D: f∗M −→ L|⊗DU ne dépend pas du nombre entier d choisi et on note
f [M] : V(L|⊗DU ) −→ V(M) le morphisme de K-schémas qui s’en déduit.
On suppose que le morphisme f soit surjectif : le morphisme f [M] est alors également surjectif. Dans ce cas on dit que f est une projection (nom qui évoque les exemples des projections linéaires et de la projection sur le quotient), qu’un point dans U est f -projetable et qu’un point dans X − U est
non f -projetable.
1.2 Rappels des résultats locaux
On revient aux notations générales introduites à la section précédente 1.1. Soient v une place du corps K et uL,v: V(L)anv → R+une norme géométrique continue sur le faisceau inversible L. En vertu de la Proposition II.1.14 la fonction des minima sur les fibres de f [M],
f [M]↓uL⊗D,v: V(M) //R+
t // inf
est une norme géométrique sur le faisceau inversible M. En termes de métriques sur les sections de M, pour tout point y ∈ Yanv et toute section t ∈ y∗M, on a
kt kM,v(y) := sup
f (x)=yk f∗t kL⊗D,v.
Dans ce cadre on introduit la notion de mesure de non-projetabilité. Pour tout point x ∈ Xanv on fait la définition suivante :
– si x est un point f -projetable et s ∈ V(L⊗D)anv est un point non nul au-dessus de x, on note t :=
f [M](s) et on pose :
µv(x) := 1 Dlog
f [M]↓uL⊗D(t )
uL⊗D(s) . La définition ne dépend pas du représentant non nul s choisi. – si par contre x est non f -projetable, on poseµv(x) = −∞.
L’application ainsi définieµv: Xan→ [−∞, 0] est appelée mesure de non-projetabilité en la place v (par rapport au morphime f , au faisceau inversible L et à la norme géométrique uL). En termes de métriques sur les sections des faisceaux inversibles L, M la définition de mesure de non-projetabilité se reformule de la manière suivante : si x est un point f -projetable, y := f (x) sa projection dans Y et t ∈ y∗M est une section non nulle, alors
µv(x) := 1
Dlogf (x0inf)=f (x)
k f∗t kL⊗D,v(x) k f∗t kL⊗D,v(x0).
1.3 Application aux hauteurs
Soient K un corps global et VKl’ensemble de ses places.
Définition 1.1. Soient X un K-schéma propre,L = (L,u) un faisceau inversible adélique sur X et hL
la hauteur sur X par rapport àL . Pour toute partie constructible Z ⊂ X on pose
hmin(Z,L ) = inf©hL(x) : x ∈ Z point ferméª .
Si Z ⊂ Z0sont des parties constructibles emboîtées de X, on a clairement hmin(Z0,L ) ≤ hmin(Z,L ). Si le faisceau inversible L a un point base stable x ∈ X, c’est-à-dire, pour tout nombre entier d ≥ 1 et pour toute section globale s du faisceau inversible L⊗don a x∗s = 0, alors pour toute partie
construc-tible Z ⊂ X contenant x on a
hmin(Z,L ) = −∞.
D’autre part si une partie constructible Z ⊂ X ne contient aucun point base stable de L (relative-ment aux sections globales sur X), alors
hmin(Z,L ) ∈ R.
On revient aux notations générales introduites à la section 1.1. On suppose que le faisceaux inver-sible L soit muni d’une famille adélique de normes géométriques uLet on noteL = (L,u) le faisceau inversible adélique associé. Pour toute place v, on considère la norme géométrique sur M des minima sur les fibres de f ,
uM,v:= f [M]↓uL⊗D,v
En général, la famille adélique de normes géométriques sur le faisceau inverisible M,
n’est pas adélique. En fait, les normes géométriques uM,vne sont à priori pas continues : le Corollaire II.1.10 donne une condition necéssaire et suffisante pour qu’elles le soient. En outre, la construction de la norme géométrique des minima sur les fibres n’est pas à priori compatible à la construction des normes géométriques provenants d’un modèle entier : cela est vrai si par exemple le morphisme f est surjectif et plat au niveau des modèles entiers ; dans le cas de la projection sur le quotient c’est le Corollaire II.2.21.
Scholie 1.2. Soient X, Y des K-schémas projectifs et L, M des faisceaux inversibles amples respective-ment sur X, Y. On considère les K-algèbres graduées de type fini
A :=M d ≥0 Γ(X,L⊗d), B :=M d ≥0 Γ(Y,M⊗d).
Soitϕ : B → A un homomorphisme de K-algèbres graduées homogène de degrè D ≥ 1. Soient U l’ouvert complémentaire du sous-schéma fermé définit par l’idéal homogèneϕ(B+) · A et f : U → Y le morphisme de K-schémas induit parϕ.
On suppose que le morphisme f soit surjectif et que le faisceau inversible L soit muni d’une struc-ture de faisceau adéliqueL = (L,uL).
Si la famille de normes géométriques uM, formée des normes géométriques des minima sur les fibres de f en toute place, est adélique, alors :
i. pour tout point fermé f -projetable x on a : 1 DhM( f (x)) = hL(x) + 1 [K(x) : K] X v∈VK(x) deg(v)µv(x). ii. l’inégalité suivante est vérifiée :
hmin(U,L ) ≥ 1
Dhmin(Y,M ) > −∞.
1.4 Exemple : projections linéaires
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-K-espace vectoriel de E. On reprend l’exemple des projections linéaires étudié dans la section II.1.5. L’inclusion F ⊂ E induit un homomor-phisme injectif de K-algèbres graduées
ϕ : B := SymKF −→ A := SymKE et un morphisme surjectif de K-schémas
f : U := P(E) − P(E/F) −→ P(F)
dit projection de centre E/F. L’homomorphisme de K-algèbre graduéeϕ induit un isomorphisme de faisceaux inversibles sur U,
ϕ1: f∗OF(1) −→ OE(1)|U
qui, à son tour, définit un morphisme surjectif de K-schémas f1:= f [OF(1)] : V(OE(1)|U) → V(OF(1)). On suppose que le K-espace vectoriel E soit munit d’une famille adélique de normes géomé-triques p et noteE = (E,p) le faisceau adélique localement libré associé. On muni le sous-K-espace vectoriel F de la restriction p|Fde la famille de normes géométriques p à F, c’est-à-dire, pour toute
place v on considère la norme géométrique p|F,vinduite par p à travers le morphisme surjectif de Kv -espaces analytiques
b
f : V(E)anv −→ V(F)anv .
La famille de normes géométriques p|Fest adélique et on noteF = (F,p|F) le faisceau adélique associé. Pour toute place v on munit le faisceau inversibleOE(1) de la norme géométrique associée à la norme géométrique pvsur E, i.e., de l’application composée
up,v: V(OE(1))anv θE //V(E)an
v
pv //R+
On désigne par hE la hauteur sur P(E) associée. D’après les résultats du cas local (section II.1.5), la norme géométrique f1↓up,vdes minima sur les fibres de f est la norme géométrique surOF(1) induite par la restriction de la norme géométrique pvau sous-espace F, c’est-à-dire l’application composée
up|F,v: V(OF(1))anv θF //V(F)an
v
p|F,v //R+.
La hauteur hOF(1)sur P(F) associée coïncide alors à la hauteur hF sur P(F) associée au faisceau adé-liqueF .
Soient s, pr1, pr2: V(E)anv × V(E)anv → V(E)anv respectivement le morphisme de Kv-espaces analy-tiques induit par l’opération de soustraction de E et les deux projections. Pour toutes parties X1, X2⊂ V(E)anv on pose
dv(X1, X2) := inf©pv(s(x)) : pri(x) ∈ Xi pour i = 1,2ª .
On noteµvla mesure d’instabilité sur P(E) en la place v (par rapport au morphisme f , au faisceau inversibleOE(1) et à la norme géométrique up,v). Pour tout point non nul x ∈ V(E)anv , on a alors
µv([x]) = logdv ¡ b f−1¡ b f (x)¢ ,V(E/F)an v ¢ pv(x) ,
où [x] ∈ P(E)anest le point défini par x.
En conclusion, pour tout point fermé f -projetable x ∈ P(E), i.e., appartenant à P(E) − P(E/F), et tout représentant non nulx ∈ V(E) (de même corps résiduel de x) on ab
hF( f (x)) = hE(x) + 1 [K(x) : K] X v∈VK deg(v) logdv ¡ b f−1¡ b f (x)b¢ ,V(E/F)an v ¢ pv(x)b