La norme géométrique quotient sur F est l’application composée

V(F) ε //_V(E) u //_R+

Si la norme géométrique u est continue, la norme géométrique u l’est aussi.

8.8.8. Dual. — Soient X un k-espace analytique et E un faisceau deOX-modules localement libre de

rang fini muni d’une norme géométrique u_E. Pour tout x ∈ X, l’application composée

x^∗u_E: V(x^∗E) //_V(E) uE //_R+

est une norme géométrique. On considère la norme géométrique duale sur le_bκ(x)-espace vectoriel

x∗E∨,

x^∗u_E∨: V(x^∗E^∨) −→ R+.

Puisque, pour tout point x ∈ X, la fibre en x de V(E^∨) s’identifie naturellement à V(x^∗E^∨), la collection des normes géométriques x∗u_E∨définit une norme géométrique u_E∨sur E∨.

Proposition 8.49. Si la norme géométrique uEsur E est continue, la norme géométrique u_E∨ sur E^∨

l’est aussi.

Démonstration. On va appliquer la Proposition 8.44. Étant construite fibre à fibre, la norme

géomé-trique duale est compatible aux changements de base. On se ramène ainsi à montrer que pour tout X-morphisme s : X → V(E^∨), i.e., pour toute section globale s ∈ Γ(X,E), l’application

s^∗u_E∨: X −→ R+ est continue. Par définition, pour tout point x ∈ X, on a

s^∗u_E(x) = sup 06=t∈V(x∗E)

|s(t )|

uE(t )^.

Les fonctions |s|, uEsont continues et homogènes sur V(E) : leur rapport descend donc en une fonc-tion continue |s|/uEsur P(E). Siπ : P(E) → X désigne le morphisme structural, la fonction s∗u_E∨est l’application des maxima de |s|/uEle long les fibres deπ, c’est-à-dire que pour tout x ∈ X on a

s^∗u_E∨x = π_↑(|s|/uE)(x) := sup π(t)=x

|s|

u_E^{(t ).}

Le morphismeπ induit une application propre au sens topologique entre les espaces topologiques sous-jacents. Comme ils sont localement compacts,π est alors une application fermée et on achève la preuve en vertu du Lemme 8.33.

8.8.9. Sous-espaces. — Soient X un k-espace analytique et E un faisceau deOX-modules localement libre de rang fini muni d’une norme géométrique u_E. Soit F un sous-faisceau deOX-modules de E lo-calement libre (de rang fini). Pour tout point x ∈ X l’application naturelle qui s’en déduit de l’inclusion de F dans E,

x^∗F −→ x^∗E,

est injective et elle identifie x^∗F avec un sous-_bκ(x)-espace vectoriel de dimension finie de x∗E. On considère pour tout x ∈ X la norme géométrique uF,xqui s’obtient par restriction à x^∗F de la norme géométrique x^∗u_Esur le_bκ(x)-espace vectoriel x∗E. La collection de normes géométriques uF,xdéfinit une norme géométrique uFsur F qu’on appelle la restriction de uEà F.

La norme géométrique duale u_F∨ est la norme géométrique quotient de u_E∨, i.e., l’application composée

u_F∨: V(F∨) //_V(E∨) ^uE∨ //_R+.

Il en découle que si la norme géométrique u_Eest continue, la norme géométrique u_Fl’est aussi. 8.8.10. Constructions. — On suppose que la valeur absolue de k soit archimédienne (resp. non archi-médienne). Les constructions présentées dans la section 8.2 (resp. section 8.3) (somme directe, pro-duit tensoriel, ...) se généralisent aux métriques sur les faisceaux cohérents en les construisant « fibre à fibre », c’est-à-dire grâce à l’isomorphisme canonique

V(x^∗F) = V(F)x

pour tout x ∈ X. Par exemple, soient E,F des faisceaux cohérents de OX-modules munis respective-ment de métriques hermitiennes (resp. non archimédiennes) u_Eet u_F. Pour tout x ∈ X, on considère les normes géométriques

ux∗E: V(x^∗E) //_V(E) u_E //_R+

u_x∗F: V(x∗F) //V(F) ^uF //R₊

On munit le_bκ(x)-espace vectoriel x∗(E ⊗ F) de la norme géométrique hermitienne (resp. non archi-médienne) u_x∗E⊗x∗Fobtenue par produit tensoriel des normes géométriques hermitiennes (resp. non archimédiennes) u_x∗E, u_x∗F.

Il est clair par définition que si la norme géométrique déduite par somme directe de normes géo-métriques continues est continue.

Proposition 8.50. Soient E, F des faisceaux deOX-modules localement libres de rang fini muni

res-pectivement de norme géométrique continues u_E, u_F. Si la valeur absolue est archimédienne (resp. non archimédienne) on suppose que les normes géométrique u_E, u_Fsoient hermitiennes (resp. non archimédiennes).

Alors, la norme géométrique u_E⊗Fdéduite fibre à fibre par produit tensoriel des normes géomé-triques u_E, u_Fest continue.

En particulier, les normes géométriques déduites par puissance extérieure et puissance symé-trique de normes géomésymé-triques continues sont continues.

Démonstration. Si valeur absolue de k est archimédienne, on peut supposer k = C. Dans ce cas, la

norme géométrique u_E⊗Fest définie par la forme sesquilinéaire qui associe pour tout point x ∈ X, pour tous s, s⁰∈ V(x^∗E) et pour tous t , t⁰∈ V(x^∗F) le nombre complexe

La forme sesquilinéaire h_E⊗Fest ainsi continue et donc la norme géométrique u_E⊗Fl’est.

On suppose que la valeur absolue de k soit non archimédienne. On va appliquer la Proposition 8.44. Étant construite fibre à fibre, la norme géométrique déduite par produit tensoriel des normes géométriques u_E, u_Fest compatible aux changements de base. On se ramène ainsi à montrer que pour tout X-morphismeβ : X → V(E ⊗F), i.e., pour toute section globale β ∈ Γ(X,E∨⊗ F^∨), l’application

β∗u_E⊗F: X −→ R+ est continue. La sectionβ induite une application bilinéaire

β : V(E∨) ×XV(F^∨) −→ A¹_X et par définition, pour tout point x ∈ X, on a

β∗u_E⊗F(x) := sup ½ |β(t )| u_E∨(pr_E∨(t )) · uF∨(pr_F(t )): t ∈ V(x^∗E^∨) × V(x^∗F^∨) tel que pr_E∨(t ), pr_F∨(t ) 6= 0 ¾ . Soitπ : P(E∨) ×XP(F^∨) → X le morphisme structural. Les fonctions |β| et

u_E∨u_F∨:=¡pr∗

E∨u_E∨¢ · ¡pr∗ F∨u_F∨^¢

sont continues et bi-homogènes sur V(E^∨)×XV(F^∨). Leur rapport descend donc en une fonction conti-nue

|β|/(uE∨u_F∨) : P(E) ×XP(F) −→ R+

et la fonctionβ∗u_E⊗Fest par définition l’application des maxima de |β|/(uE∨u_F∨) le long les fibres de π, c’est-à-dire, pour tout x ∈ X on a

β∗u_E⊗F(x) = π↑¡|β|/(uE∨u_F∨)¢ (x) = sup π(t)=x

|β|

u_E∨u_F∨

(t ).

Le morphismeπ induit une application propre au sens topologique entre les espaces topologiques sous-jacents. Comme ils sont localement compacts,π est alors une application fermée et on achève la preuve en vertu du Lemme 8.33.

8.8.11. Métrique provenante d’un modèle entier. — On suppose que la valeur absolue de k soit non archimédienne. SoientXun k^◦-schéma propre et plat, etFun faisceau deOX-modules de présenta-tion finie plat sur k^◦. Soient X l’analytification de la fibre générique deXet F le faisceau cohérent de OX-modules associé àF.

Soient x ∈ X et K =κ(x) son corps résiduel complété. Puisqueb Xest propre sur k^◦, par critère va-luatif de propreté, il existe un unique morphisme de k◦-schémas

x: Spec K^◦−→X

qui prolonge le point x. Le K^◦-modulex∗Fest plat et de présentation finie : en particulier, il s’identifie avec un sous-K^◦-module de x^∗F et on a

x^∗F⊗ K = x^∗F.

On considère la norme géométrique sur le K-espace vectoriel x^∗F,

u_F,x: V(x^∗F) // _R+

t  _{// sup} s∈x∗F|s(t )|. On désigne parπ : V(F) → X le morphisme structural.

Proposition 8.51. L’application

u_F: V(F) // _R+

t  _//u

F,π(t)^{(t )}

est une norme géométrique continue et non archimédienne sur le faisceau cohérent deOX-modules F. On dira que u_Fest la norme géométrique associée au modèle entierF.