Forme tordue de la norme géométrique des minima sur les orbites

Soit K un corps globale et V_Kl’ensemble de ses places.

Définition 4.9. Un K-groupe adéliqueG = (G,UG) est dit réductif si le K-schéma en groupes G est

réductif et, pour toute place v, le sous-groupe compact UG,vest maximal.

Soient X un K-schéma projectif etL = (L,uL) un faisceau inversible adélique sur X et on suppose que le faisceau inversible L soit ample et, pour tout v ∈ VK, la norme géométrique uv soit plurisou-sharmonique.

SoitG = (G,UG) un K-groupe réductif adélique et H un sous-K-schéma en groupes réductif nor-mal. Pour toute place v, le sous-groupe compact

UH,v:= UG,v∩ G^anv

est un sous-groupe compact maximal de H^an_v : en effet, tous le sous-groupes compacts maximaux sont conjugués et H est normal dans G. On noteH = (H,UH) le K-groupe adélique qu’on obtient ainsi.

On suppose que le K-groupe réductif G agit sur le K-schéma X et de manière équivariante sur le faisceau inversible L. En outre, on suppose que pour toute place v la norme géométrique uv soit invariante sous l’action du sous-groupe compact U_G,v.

Soient X^ss(L) l’ouvert des points semi-stables de X sous l’action de H et par rapport au faisceau inversible L, π : Xss (L) −→ X^ss(L)/H := Proj à M d ≥0 Γ(X,L⊗d)^H !

le morphisme quotient. Pour tout nombre entier D ≥ 1 assez divisible, il existe un faisceau inversible ample MDsur X^ss(L)/H et un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss(L),

ϕD:π∗M_D−→ L|^⊗DXss(L)

compatible à l’action de H. Le K-schéma en groupes G agit sur le K-schéma X^ss(L)/H et, pour tout nombre entier D ≥ 1 assez divisible, de manière équivariante sur le faisceau inversible MDet l’isomor-phismeϕDest G-équivariant. L’isomorphismeϕDinduit un morphisme surjectif de K-schémas

π[MD] : V(L|^⊗D_Xss(L)) −→ V(MD). La famille de normes géométriques sur le faisceau inversible M_D

uM_D:= π[MD]_↓u_L⊗D=©

π[MD]_↓u_L⊗D,v: v ∈ VK^ª est adélique (Scholie 2.2). Le faisceau inversible adélique (MD, uM_D) est notéMD.

SoitT = (T,UT) unG -torseur adélique. On note XT(reps. G_T, resp. H_T, resp. L_T) la forme tordue de X (resp. G, resp. H, resp. L) par T. Le K-schéma en groupes réductif G_Tagit sur le K-schéma X_Tet de manière équivariante sur le faisceau inversible L_T. L’ouvert des points semi-stables X^ss_T(L_T) de X_Tsous l’action de H_Tet par rapport au faisceau inversible L_Test stable sous l’action du K-groupe réductif G_T. Le K-schéma en groupes GT agit sur le quotient X^ss(L)/H et, en vertu de la Proposition 3.11, on a un isomorphisme canonique de K-schémas

tel que le diagramme suivant de K-schémas T×^GSX^ss(L) T^G×Sπ  X^ss_T(LT) πT  T×^GS(X^ss(L)/H) ΘT //_Xss T(L_T)/H_T

soit commutatif (oùπ, πT désignent les morphismes quotient). Pour tout nombre entier assez divi-sible D ≥ 1, il existe un faisceau inverdivi-sible MT,Det un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss_T(L_T),

ϕT,D:π∗

TM_T,D−→ LT|^⊗D_Xss T(LT). L’isomorphismeϕT,Dinduit un morphisme surjectif de K-schémas

πT[M_T,D] : V(L_T|^⊗D_Xss

T(LT)) −→ V(MT,D).

On considère la forme tordueG_T = (GT, U_G,T^{) (resp.}H_T = (HT, U_H,T^{), resp.}L_T = (LT, uT^{)) de}G (resp.H , resp. L ) par le G -torseur adélique T . Pour toute place v ∈ VK, la norme géométrique uT ,v est une fonction plurisousharmonique U_H,T ,v^{-invariante. La famille de normes géométriques sur le} faisceau inversible M_T,D,

πT[MT,D]_↓u_L⊗D,T :=©

πT[MT,D]_↓u_L⊗D,T ,v: v ∈ VK^ª

est pour autant adélique (Scholie 2.2) et le faisceau inversible adélique associé (MT,D,πT[MT,D]_↓u_L⊗D) est notéMT ,D^.

D’autre part, le K-schéma en groupes G agit sur le quotient X^ss(L)/H et de manière équivariante sur le faisceau inversible M_D. Pour toute place v ∈ VKla norme géométrique u_MDsur M_Dest invariante sous l’action du sous-groupe compact U_G,v. On considère la forme tordue

(MD)_T=¡(M_D)_T,¡u_MD¢ T

¢

du faisceau inversible adéliqueMDpar leG -torseur adélique T .

Proposition 4.10. SoitT un G -torseur. L’isomorphisme canonique de faisceaux inversibles donné

par la Proposition 3.11,

θT:Θ∗

TM_T,D−→ (MD)_T induit un isomorphisme de faisceaux inversibles adéliques

θT:Θ∗

TM_{T ,D}−→ (MD)T ^. Démonstration. L’isomorphisme canoniqueθT:θT:Θ∗

TM_{T ,D}−→ (MD)T ^{induit le diagramme} com-mutatif G_T-équivariant de K-schémas suivant :

V^³L_T|^⊗D_Xss T(LT) ´ πT[MT,D]  V^³L_T|^⊗D_Xss T(LT) ´ π[MD]_T  V(MT,D) θT //_V((MD)T). (4.2.1)

Soient t : Spec K → T une section du G-torseur T et αt: V(L⊗D

T ) → V(L⊗D),βt: V((M_D)_T) → V(MD) les isomorphismes de K-schémas induits par la section t . Le diagramme de K-schémas

V^³L_T|^⊗D_Xss T(L_T) ´ π[MD]_T  αt //_V³ L|^⊗D_Xss(L) ´ π[MD]  V((M_D)_T) βt //_V(MD)

Soit v une place de K. Puisque la construction de la métrique des minima est compatible aux exten-sion des scalaires (Proposition II.1.5), quitte à passer à une extenexten-sion analytique de Kv suffisamment grande, on peut supposer qu’il existe un Kv-point g du K-schéma G tel que

¡t−1UT,v¢ · g = UG,v.

La norme géométrique u_L⊗D,T ,v^{sur le faisceau inversible L}Test alors l’application composée V(L^⊗D_T )^an_v αt //_V(L⊗D)^an_v ^g //_V(L⊗D)^an_v

u_L⊗D,v //_R+.

D’autre part, la norme géométrique¡u_MD,v¢

T ^{sur le faisceau inversible (M}D)_Test l’application com-posée V((MD)T)^an_v βt //_V(MD)an v g //_V(MD)an v uMD,v //_R+,

où par définition on a u_MD,v = π[MD]_↓u_L⊗D,v. Puisque l’isomorphismeϕDest G-équivariant, le dia-gramme de Kv-espaces analytiques

V^³L|⊗D Xss(L) ´an v g // π[MD]  V^³L|⊗D Xss(L) ´an v π[MD]  V(M_D)^an_v ^g //_V(MD)an v

est commutatif. On a donc la chaine d’égalités ¡u_MD,v¢ T = β^∗tg^∗u_MD,v = β^∗tg^∗π[MD]_↓u_L⊗D,v = β^∗tπ[MD]_↓g^∗u_L⊗D,v = β^∗tπ[MD]_↓¡u_L⊗D,v ¢ T ^, ce qui, en vertu du diagramme commutatif (4.2.1), termine la preuve.

4.3 Isomorphisme canonique du quotient

SoitG = (G,UG) un K-groupe adélique etχ : G → Gm un caractère, i.e., un morphisme de K-schémas en groupes. Le K-schéma en groupes G agit linéairement sur le K-espace vectoriel K à travers le caractèreχ. Pour tout place v ∈ VK, soit pv : A^1,an_v → R+l’unique norme géométrique telle que pv

telle que pv(1) = 1 : elle est invariante sous l’action du sous-groupe compact UG,v. Alors, pour toutG -torseur adéliqueT on note OK(χ(T )) le faisceau inversible adélique associé.

Théorème 4.11. On suppose que l’action du K-schéma en groupes G sur le quotient X^ss(L)/H soit tri-viale. Avec les notations introduites avant, pour tout nombre entier assez divisible D ≥ 1, il existe alors un morphisme de K-schémas en groupesχD: G → Gmet, pour toutG -torseur T , un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss(L)/H,

ψ_{T ,D}:Θ∗

TM_{T ,D}−→ MD⊗ β^∗OK(χD(T )), tel que, pour tout nombre entier d ≥ 1, le diagramme

¡ Θ∗ TM_{T ,D}¢⊗d ψ⊗d T ,D //¡ MD⊗ β^∗OK ¡ χD(T )¢¢⊗d Θ∗ TM_{T ,Dd} ^{ψT ,Dd} //_{MDd⊗ β}∗OK ¡ χDd(T )¢ est commutatif. En particulier, on a

h_min((X_T,L_T)//H_T) = hmin((X,L )//H) + ¹

D^degdKOK ¡

χDd(T )¢.

Démonstration. En vertu de la Proposition 4.10 il s’agit d’interpréter la forme tordue¡u_MD¢ T ^{de la} norme géométrique u_MDpar leG -torseur adélique T .

Soient t : Spec K → T une section du G-torseur T, αt: V((M_D)_T) → V(MD) l’isomorphisme de K-schémas induits par la section t et v une place de K. Quitte à passer à une extension analytique de K_v suffisamment grande, on peut supposer qu’il existe un K_v-point g du K-schéma G tel que

¡t−1U_T,v¢ · g = UG,v. La norme géométrique¡u_MD,v¢

T ^{sur le faisceau inversible (M}D)_Test l’application composée V((M_D)_T)^an_v αt //_V(MD)an

v

g //_V(MD)an

v

uMD,v //_R+.

On identifie le quotient G^an_m,v/U(1) avec R^×₊à travers la valeur absolue de K_vet on note |χD(T )|vl’image deχD(g ) ∈ G^anm,v à travers le morphisme quotient G^an_m,v→ R^×₊. Puisque le K-schéma en groupes G agit par homothéties sur le faisceau inversible M_Dà travers le caractèreχD, on a l’égalité

g^∗u_MD,v= |χD(T )|v· uMD,v.

D’autre part, le faisceau inversible adéliqueOK(χD(T )) s’identifie au K-espace vectoriel K muni, en toute place v, de l’unique norme géométrique qui vaut |χD(T )|v en 1. La faisceau inversible adé-liqueMD⊗ β^∗OK(χD(T )) s’identifie donc au faisceau inversible MDmuni, en toute place v ∈ VK, de la norme géométrique |χD(T )|v· uMD,v. Cela achève la preuve.