1 Minima sur les fibres
1.3 Métrique des minima le long les fibres
Xmin OO u //R+
est commutatif. L’espace topologique Xminest localement compact car il est sous-espace topologique fermé d’un espace topologique localement compact. D’après la Proposition 1.8 la restriction de f à Xminest propre au sens topologique et donc une application fermée. L’application f↓u est alors
semi-continue supérieurement (resp. semi-continue) si et seulement si la restriction de u à Xminl’est.
1.3 Métrique des minima le long les fibres
1.3.1. Définition et propriétés générales. — Soient k un corps complet pour une valeur absolue |·|, X et Y des k-espaces analytiques et f : X → Y un morphisme surjectif de k-espaces analytiques. Soient F un faisceau cohérent deOY-modules et f [F] la deuxième projection
f [F] : V( f∗F) = X ×YV(F) −→ V(F). Le diagramme de k-espaces analytiques
V( f∗F) f [F] // p V(F) q X f //Y
est cartésien et, le morphisme f : X → Y étant surjectif, le morphisme f [F] l’est aussi.
Définition 1.11. Soit u une norme géométrique sur le faisceau cohérent f∗F. Si f [F]↓u est une norme
géométrique sur le faisceau cohérent F, on l’appelle la métrique des minima le long les fibres de f . On suppose que la norme géométrique u soit continue et on considère la métrique sur les sec-tions de f∗F induite par u : elle est la donnée, pour tout point x ∈ X, de la norme sur lebκ(x)-espace vectoriel x∗f∗F suivante :
s ∈ x∗f∗F 7→ kskf∗F(x) := sup 06=t∈V(x∗f∗F)
|s(t )|
u(t ).
On suppose que l’application f [F]↓u soit une norme géométrique sur F. Pour tout point y ∈ Y et toute
section s ∈ y∗F, on pose :
kskF(y) := sup 06=t∈V(y∗F)
|s(t )|
f [F]↓u(t ).
Proposition 1.12. Soient X et Y des espaces analytiques et f : X → Y un morphisme surjectif de k-espaces analytiques. Soient F un faisceau cohérent deOY-modules. Pour tout point y ∈ Y et toute section s ∈ y∗F, on a :
kskF(y) = sup
Proposition 1.13 (Compatibilité aux puissances tensorielles). Soient X et Y des k-espaces analytiques et f : X → Y un morphisme surjectif de k-espaces analytiques. Soit L un faisceau inversible sur Y et f [L] : V( f∗L) → V(L) le morphisme de changement de base.
Soit uLune norme géométrique sur le faisceau inversible f∗L. On suppose que la fonction f [L]↓u
soit une norme géométrique sur L.
Pour tout nombre entier d ≥ 1, on désigne par uL⊗d la norme géométrique sur f∗L⊗dinduite par la norme géométrique uLet par ( f [L]↓uL)⊗dla norme géométrique induite par f [L]↓uLsur L⊗d. Alors,
f [L⊗d]↓(uL⊗d) = ( f [L]↓u)⊗d.
1.3.2. Cas des morphismes rationnels. — Soient X, Y des k-schémas projectifs et L, M des faisceaux inversibles amples respectivement sur X, Y. On considère les k-algèbres graduées de type fini
A :=M d ≥0 Γ(X,L⊗d), B :=M d ≥0 Γ(Y,M⊗d).
Les k-schémas X et Y s’identifient canoniquement aux spectres homogènes des k-algèbres graduées A et B. Si le faisceau inversible L (resp. M) est de plus engendré par ses sections globales, il s’identifie au faisceau inversibleOX(1) (resp.OY(1)) associé au A-module gradué A(1) (resp. au B-module gra-dué B(1)).
Soitϕ : B → A un homomorphisme de k-algèbres homogène de degré D > 0, c’est-à-dire, tel que pour tout nombre entier d ≥ 0 on ait ϕ(Bd) ⊂ Ad D. L’homomorphismeϕ induit un morphisme de k-schémas f : U → Y, où U est l’ouvert complémentaire du sous-schéma fermé de X définit par l’idéal homogèneϕ(B+) · A.
Le morphisme f ainsi défini est affine : en effet, pour tout élément homogène b ∈ B, son image ϕ(b) ∈ A est un élément homogène et l’image réciproque par f de l’ouvert affine D+(b) = SpecB(b)est l’ouvert affine D+(ϕ(b)) = SpecA(ϕ(b)),
f−1D+(b) = D+(ϕ(b))
(ici B(b)et A(ϕ(b)) désignent la composante de degré 0 respectivement des k-algèbres graduées Bb
et Aϕ(b)).
Pour tout nombre entier d ≥ 1 assez grand (plus précisément tel que M⊗det L⊗dDsoient engendrés par leurs sections globales) l’homomorphisme de k-espaces vectoriels induit parϕ,
Γ(Y,M⊗d) −→ Γ(X,L⊗dD)
induit un isomorphisme de faisceaux inversibles sur U,ϕd D : f∗M⊗d → L|⊗dDU . Cet isomorphisme est compatible aux puissances tensorielles. En particulier, si d ≥ 1 est un nombre entier assez grand, l’isomorphisme de faisceaux inversibles sur U,
ϕD= ϕ(d +1)D⊗ ϕ∨d D: f∗M −→ L|⊗DU ne dépend pas du nombre entier d choisi et on note
f [M] : V(L|⊗DU ) −→ V(M) le morphisme de k-schémas qui s’en déduit.
On suppose que le morphisme f soit surjectif : le morphisme f [M] est alors également surjectif. Dans ce cas on dit que f est une projection (nom qui évoque les exemples des projections linéaires et de la projection sur le quotient), qu’un point dans U est f -projetable et qu’un point dans X − U est
Proposition 1.14. Soient X, Y des k-schémas projectifs et L, M des faisceaux inversibles amples res-pectivement sur X, Y. Soit
ϕ : B := M
d ≥0
Γ(Y,M⊗d) −→ A :=M
d ≥0
Γ(X,L⊗d)
un homomorphisme de k-algèbres homogène de degré D > 0. Soient U ⊂ X l’ouvert complémentaire du sous-schéma fermé décrit par l’idéal homogèneϕ(B+) · A et f : U → Y le morphisme de k-schémas induit.
On suppose que le morphisme f soit surjectif. Si uLest une norme géométrique continue sur L, l’application f [M]↓uL⊗Dest une norme géométrique sur le faisceau inversible M.
Démonstration. Puisque la construction de la métrique des minima est compatible aux puissances
tensorielles (Proposition 1.13), quitte à prendre une puissance suffisamment grande de L et M, on peut supposer que L et M soient très amples. L’homomorphismeϕ induit un homomorphisme homogène de degré 1 de k-algèbres graduées
ϕD: B −→ AD:=M
d ≥0
Γ(X,L⊗Dd). Les morphismes canoniques
θ : V(L⊗D) −→ bXD:= Spec AD, ω : V(M) −→bY := SpecB
sont alors propres et ils induisent un isomorphisme en dehors de la section nulle. La métrique uL⊗D
provient par composition parθ d’une fonctionu : |bb XanD| → R+, i.e., uL⊗D= θ∗u. La fonctionb u est conti-b
nue, 1-homogène, propre au sens topologique et non nulle en dehors de la section nulle du cône affine analytiquebXanD.
L’homomorphismeϕ induit un homomorphisme homogène de degré 1 de k-algèbres graduées ϕD: B −→ AD:=M
d ≥0
Γ(X,L⊗Dd).
Si on désigne par bf :bXD→ bY le morphisme de k-schémas associé, le diagramme suivant
b XD− bf−1(O b Y) // b XD V(L|⊗DU ) − e(U) // θ OO V(L⊗D) θ OO
est cartésien (où O b
Y⊂ bY désigne la section nulle du cône affineY et e : X → V(Lb ⊗D) la section nulle du faisceau inversible L⊗D). Il en découle que i t ∈ V(M)anest un point en dehors de la section nulle, la fibre bf−1(t ) est contenue dans V(L|⊗DU )an− e(U)an. En particulier, on a :
f [M]↓θ∗ b
u(t ) = ω∗fb↓u(t ).b
On est ramené à prouver le fait suivant : si y ∈ bYanest un point en dehors de la section nulle, alors bf↓u(y) 6=b
0. La fibre de bf en y est contenue dansXbanD − Oan b XD: b f−1(y) ⊂ bXanD − Oan b XD.
Puisque la fonctionu est propre au sens topologique, elle atteint son minimum ; commeb u est nonb
nulle en dehors la section nulle, d’après l’inclusion précédente on a b
f↓u(y) = infb
f−1(y)u > 0,b
ce qui achève la démonstration.