Formes tordues des quotients de la théorie géométrique des invariants

3.2.1. Compatibilité des constructions des invariants et des formes tordues. — Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes affine et H un sous-S-schéma en groupes fermé normal de G. En particulier H est affine sur S.

Soit T un G-torseur. La forme tordue H_T de H par T est un sous-S-schéma en groupes affine et normal du S-schéma en groupes affine G_Tdéduit en tordant le S-schéma en groupes G par T. Proposition 3.9. Soit S un schéma. Soit G un S-schéma en groupes affine et H un sous-S-schéma en groupes fermé normal de G. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOS-modules (resp. deOS-algèbres, deOS-algèbres graduées) muni d’une action linéaire de G.

Soit T un G-torseur. La forme tordue F_Tde F par T est naturellement munie d’une action linéaire du S-schéma en groupes G_Tet l’inclusion canonique (F^H)_Tdans F_Tse factorise de manière unique à travers un isomorphisme de faisceaux deOS-modules (resp. deOS-algèbres, deOS-algèbres graduées)

¡FH¢

T−→ F^HT

T .

Démonstration. Soientγ : G → S le morphisme structural de G et OS[G] (resp.OS[H]) le faisceau quasi-cohérent deOS-algèbresγ∗OG(resp.γ∗OH). L’action linéaire de G sur F est définie par un homomor-phisme de faisceaux deOS-modules

σ^]: F −→ F ⊗OSOS[G].

On désigne par q]: F → F ⊗OSOS[G] l’homomorphisme canonique de faisceaux deOS-modules v 7→

v ⊗1. L’immersion fermée de H dans G correspond à un homomorphisme surjectif de faisceaux de OS -algèbres

π : OS[G] −→ OS[H] et on désigne parσ^]_H(resp. q]

H) la composition deσ^](resp. q]_{) avec l’homomorphisme}

F ⊗OSOS[G] ^idF⊗π//_{F ⊗O}

SOS[H] .

Le faisceau des invariants de F par H s’identifient par définition au noyau de l’homomorphismeσ^]_H−

q]

H, i.e., la suite de faisceauxOS-modules suivante est exacte,

0 //_FH //_F ^σ]H−q^]_H //_{F ⊗O}

En outre, les homomorphismes présents dans cette suite sont G-équivariants. La suite de faisceaux quasi-cohérents deOS-modules que l’on déduit en tordant par T,

0 //_¡FH¢ T //_FT ³ σ^]_H´ T−^³q] H ´ T//_{¡F ⊗O} SOS[H]¢ T 0 //_¡FH¢ T //_FT ^σ]HT^−q ] HT //_FT⊗O SOS[H_T]

est encore exacte. En particulier, l’inclusion naturelle de (F^H)_T dans F_T se factorise à travers un iso-morphisme

¡FH¢

T−→ F^HT

T := Ker^³σ^]_HT− q_H^]_T^´, ce qui achève la preuve.

3.2.2. Le cas affine. — Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes affine et A un faisceau quasi-cohérent deOS-algèbres. On suppose que le S-schéma en groupes G agit sur le spectre relatif X = Spec_SA de A. Soit T un G-torseur de G.

On suppose que S soit noethérien et qu’il existe un faisceau deOS-modules localement libre de rang fini E muni d’une action linéaire de G et une immersione fermée G-équivariante

ι : X −→ V(E).

La forme tordue E_Tde E par T est un faisceau deOS-modules localement libre de rang fini muni d’une action linéaire du S-schéma en groupes G_T. De plus, l’immersion fermée

ιT: T×^GSX := SpecSAT−→ V(ET) est G_T-équivariante.

Si les S-schémas en groupes G, H sont réductifs, alors leurs formes tordues par T, G_T, H_Tle sont aussi : en fait, ils sont affines et lisses sur S et leurs fibres géométriques sont isomorphes respective-ment à celles de G et H.

Proposition 3.10. Soit S un schéma noethérien. Soit X = SpecSA un S-schéma affine muni d’une

ac-tion d’un S-groupe réductif G. Soit H un sous-S-groupe fermé normal et réductif de G.

On suppose que S soit noethérien et qu’il existe un faisceau deOS-modules localement libre de rang fini E muni d’une action linéaire de G et une immersione fermée G-équivarianteι : X → V(E). On désigne par X/H le quotient catégorique Spec_SA^Hde X par H etπ : X → X/H le morphisme quotient.

Soient T un G-torseur et X_T(resp. G_T, resp. H_T) la forme tordue de X (resp. G, resp. H) par T. Alors, ΨT: T×^GS(X/H) −→ XT/H_T

tel que le diagramme

T×^GSX T^G×Sπ  X_T πT  T×^GS(X/H) ΨT //_XT/HT.

Démonstration. D’après le Théorème I.3.13, le quotient catégorique de X par H (resp. de X_Tpar H_T) est le spectre relatif de laOS-algèbres des invariants A^H(resp. A^HT

T ). Il suffit d’utiliser la compatibilité de la construction des invariants à la construction des formes tordues (Proposition 3.9) pour terminer la preuve.

3.2.3. Le cas projectif. — Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes affine,α : X → S un

S-schéma projectif et L un faisceau inversibleα-ample. On suppose que le S-schéma en groupes G agit sur le S-schéma en X et de manière équivariante sur le faisceau inversible L. On considère le faisceau deOS-algèbres graduées A :=M d ≥0 α∗ ³ L^⊗d´.

Soit T un G-torseur. Le S-schéma en groupes G_Tagit sur le S-schéma projectifαT: X_T→ S et de ma-nière équivariante sur le faisceau inversibleαT-ample L_T.

Proposition 3.11. Soit S un schéma noethérien. Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes ré-ductif,α : X → S un schéma projectif et L un faisceau inversible α-ample. On suppose que le S-schéma en groupes G agit sur le S-S-schéma en X et de manière équivariante sur le faisceau inversible L. On désigne par X^ss(L) l’ouvert des points semi-stables de X sous l’action de H et par rapport au fais-ceau inversible L,β : Xss(L)/H → S le quotient catégorique de X^ss(L) par H.

Soient T un G-torseur etαT: X_T→ S (resp. GT, resp. H_T, resp. L_T) la forme tordue de X (resp. G, resp. H, resp. L) par T. Alors,

i. le S-schéma en groupes G agit sur l’ouvert des points semi-stables X^ss(L) et l’immersion ouverte de

X^ss(L)_T:= T×^GSX^ss(L)

dans XTidentifie X^ss(L)Tavec l’ouvert des points semi-stables X^ss_T(LT) de XTsous l’action de HTet par rapport au faisceau inversible LT.

ii. soitβT: X^ss_T(L_T)/H_T→ S le quotient catégorique de X^ss_T(L_T) par H_T; il existe un unique isomor-phisme de S-schémas

ΘT: T×^GS(X^ss(L)/H) −→ X^ss_T(L_T)/H_T tel que le diagramme

T×^GSX^ss(L) T^G×Sπ  X^ss_T(LT) πT  T×^GS(X^ss(L)/H) ΘT //_Xss T(L_T)/H_T. soit commutatif (où πT: Xss

T(L_T) → Xss

T(L_T)/H_Test le morphisme quotient).

On suppose de plus que le schéma S soit de type fini sur un schéma universellement japonais. Pour tout nombre entier D ≥ 1 assez divisible il existe un fasceau inversible β-ample MD (resp. un faisceau inversibleβT-ample M_T,D) sur le S-schéma X^ss(L)/H (resp. X^ss_T(L_T)/H_T) et un isomorphisme de faisceau inversibles ϕD:π∗MD−→ L|^⊗D_Xss(L) ³ resp.ϕT,D:π∗ TMT,D−→ LT|^⊗D_Xss T(L_T) ´

Si (M_D)_Tdésigne le faisceau inversible sur le S-schéma (X^ss(L)/H)_Tdéduit de M_Den le tordant par T, il existe un unique isomorphisme de faisceaux inversibles

θT:Θ∗

tel que le diagramme ³ T×^GSπ^´∗Θ∗ TMT,D T×^GSπ  π∗ TMT,D ϕT,D  ³ T×^GSπ^´∗(M_D)_T ⁽ϕD)T //³ L|^⊗D_Xss(L) ´ T L_T|^⊗D_Xss T(LT) est commutatif.

Démonstration. Comme le sous-S-schéma en groupes H de G est normal, le S-schéma en groupes G

agit linéairement pour tout nombre entier d ≥ 1 sur les sections globales H-invariants de L^⊗d, (α∗(L^⊗d))^H. Le S-schéma en groupes G agit alors sur l’ouvert des points semi-stables X^ss(L) de X sous l’action de H. Ensuite, l’égalité

X^ss(L)T= X^ssT(LT)

peut être vérifiée localement sur S car les constructions des invariants et des formes tordues sont compatibles aux changements de base (plats). On peut supposer que le torseur T soit triviale, et donc l’énoncé l’est aussi.

Le quotient catégorique de X^ss(L) par H (resp. de X^ss_T(LT) par HT) est donné par le spectre homo-gène relatif du faisceau deOS-algèbres graduées des invariants

A^H:=^M d ≥0 ³ α∗(L^⊗d)^´H Ã resp. A^HT T :=^M d ≥0 ³ αT∗(L^⊗d_T )^´HT ! .

La Propostion 3.9 affirme qu’on a un isomorphisme G_T-équivariant de faisceau de faisceauxOS-algèbres graduées

(A^H)_T−→ A^HT

T . Le reste de l’énonce suit aisément de cet isomorphisme.