Espace des normes géométriques

X^max? OO u //_R

Pour toute partie Y de R, l’image réciproque de Y par f_↑u est alors fermée si et seulement si l’image

réciproque de Y par u est fermée. La fonction f_↑u est donc continue.

Corollaire 8.34. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Alors,

i. maximalité : les sous-groupes unitaires par rapport à une norme géométrique non archimédienne continue sur E sont maximales (par rapport à l’inclusion) parmis le sous-groupes compactes de | GL(E)| ;

ii. conjugaison : si p, q sont des normes géométriques hermitiennes sur E, il existe une extension analytique de K et un K-point g du K-groupe analytique GL(E)_Ktel que

U(q_K) = g U(pK)g⁻¹.

8.5 Espace des normes géométriques

8.5.1. Définition. — Soient k un corps complet pour une valeur absolue et E un k-espace vectoriel de dimension finie.

Définition 8.35. Si la valeur absolue est archimédienne (resp. non archimédienne), on désigne par N (E) l’ensemble des normes géométriques hermitiennes (resp. non archimédiennes) sur E.

L’ensembleN (E) est naturellement muni d’une distance comme suit. Si p,q ∈ N (E), leur rapport

p/q sur V(E) − {0} descend en une fonction continue sur l’espace projectif P(E) strictement positive

partout. On pose dN (E)(p, q) := sup P(E) ¯ ¯ ¯ ¯ log^p q ¯ ¯ ¯ ¯ .

Proposition 8.36. L’espace topologiqueN (E) est complet pour la distance dN (E).

Démonstration. On note C⁰(P(E), R) l’espace des fonctions continues à valeurs réels sur l’espace to-pologique compact |P(E)| muni de la toto-pologique de la convergence uniforme. Pour tout p ∈ N (E), l’application

εp: N (E) //_C0(P(E), R)

q  _//logq p

est une isométrie par définition de la distance dN (E). Puisque l’ensemble des normes géométriques sur un k-espace vectoriel de dimension finie est fermé par convergence ponctuelle, l’image parεppar l’espace topologiqueN (E) est fermée dans C0(P(E), R). En particulier, l’espace topologiqueN (E) est complet.

8.5.2. Action de groupe linéaire sur l’espace des normes géométriques. — Soit E un k-espace vec-toriel de dimension finie. Soit p une norme géométrique sur E. Si la valeur absolue de k est archimé-dienne (resp. non archiméarchimé-dienne), on suppose que la norme géométrique p soit hermitienne (resp. non archimédienne).

Soient g ∈ |GL(E)|, K une extension analytique du corps résiduel complété de g et gK: E_K→ EK l’isomorphisme de K-espaces vectoriels associé. On note g_K^∨: V(E)_Kle morphisme de K-espaces ana-lytiques associés : si on laisse agir à gauche GL(E) sur V(E) à travers la représentation duale, pour tout

x ∈ V(E)Kon a

g_K^∨(x) = g_K⁻¹· x. Pour tout K-point x du K-espace analytique V(E)Kon pose :

pg(K)(x) := p(K)(g_K^∨(x))

Comme la norme géométrique p est définie sur V(E), si K⁰est une extension analytique de k contenant K, le diagramme V(E)(K) ^pg(K) //  R₊ V(E)(K⁰) ^pg(K 0) //_R+

est commutatif. D’après la Proposition 5.46 la collection d’application {p_g(K) : K ∈ (ExtAn)/_bκ(x)^} pro-vient d’une (unique) application p_g: V(E) → R+. De plus, si K est une extension analytique du corps résiduels complété_bκ(g) de g, pour tout x ∈ V(E)Kon a

(p_g)_K(x) = pK(g_K^∨(x)).

En particulier, p_g est une norme hermitienne (resp. non archimédienne). On définit ainsi une appli-cation

σ : |GL(E)| × N (E) //_{N (E)}

(g , p)  _{//σ(g,p) := p} g

Soient p, q des normes géométriques continues sur E. Soientϕ : E → E un homomorphisme de

k-espaces vectoriel et f : V(E) → V(E) le morphisme de k-espaces analytique qui s’en déduit. On pose

kϕkp,q:= sup

x6=0

q( f (x)) p(x) ^.

Proposition 8.37. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. L’application σ : |GL(E)| × N (E) //_{N (E)}

(g , p)  _{//σ(g,p) := p} g

satisfait aux propriétés suivantes :

i. compatibilité aux extensions des scalaires : pour tout (g , p) ∈ |GL(E)| × N (E) et toute extension analytique K de k contenant le corps résiduel_bκ(g) de g, on a

σK(g_K, p_K) = σ(g , p)K,

oùσK: |GL(EK)| × N (EK) → N (EK) est l’application relative à EK, gKest le K-point associé à g du K-espace analytique GL(E_K) et p_K la norme géométrique sur E_K déduite par extension des scalaires ;

ii. pour tous (g , p), (h, q) ∈ |GL(E)| × N (E) on a

dN (E)⁽σ(g,p),σ(h,q)) = logmaxⁿk idEkq_h,pg, kidEkpg,q_h o

= logmax©kg kqh,p, kg⁻¹kp,qhª .

Démonstration. En vertu de la Proposition 5.46, le point (i) est vrai par définition de p_g. En vertu du point précédent on peut se ramener quand g , h sont des k-points de GL(E). Par définition on a

dN (E)⁽σ(g,p),σ(h,q)) = sup x6=0 log ¯ ¯ ¯ ¯ pg(x) q_h(x) ¯ ¯ ¯ ¯ = logmax ½ sup x6=0 p_g(x) q_h(x)^{, sup}_x6=0 q_h(x) pg(x) ¾ = logmax n k idEkq_h,pg, kidEkpg,q_h o = log max ½ sup x6=0 p(g^∨(x)) q_h(x) ^{, sup}_x6=0 q_h(x) p(g∨(x)) ¾ = logmax ½ sup x6=0 p(g^∨(x)) q_h(x) ^{, sup}_x6=0 q_h(g^∨−1(x)) p(x) ¾ = log max©kg kq_h,p, kg⁻¹kp,q_hª , ce qui termine la preuve.

Proposition 8.38. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme géométrique

p. Si la valeur absolue de k est archimédienne (resp. non archimédienne), on suppose que la norme

géométrique p soit hermitienne (resp. non archimédienne). L’application σp:|GL(E)| //_{N (E)}

g  _//σ(g,p)

est continue et elle descend en un homéomorphisme e

σp: |GL(E)|/|U(p)| −→ N (E),

lorsque U(p) agit par multiplication à gauche sur GL(E). En particulier, l’espace topologiqueN (E) est localement compact.

Démonstration. Soient g ∈ GL(E) et q ∈ N (E). D’après le point (ii) de la Proposition précédente 8.37

on a

dN (E)⁽σ(g,p),q) = logmax©kg−1kp,q, kg kq,pª . En particulier, si pour toutε > 0 on considère la boule de rayon ε centré en q,

B(q,ε) := ©q0∈ N (E) : dN (E)(q, q⁰) < εª , son image réciproque parσpest

σ−1

p B(q,ε) = ©g ∈ |GL(E)| : logmax©kg−1kp,q, kg kq,pª < εª.

Puisque la norme géométrique k · kq,pet l’application inv : G → G définissant la loi d’inverse de G sont continues,σ−1

p B(q,ε) est ouvert. L’application σpest donc continue.

On montre queσpest surjective. Soit q ∈ N (E). D’après le Théorème 8.21 il existe une extension analytique K de k et des sous-K◦-modules libresE_p,E_q⊂ E engendrant E comme K-espace vectoriel,

tels que les normes géométriques p, q soient respectivement déduites deE_p,E_q. Soit g :E_p→E_q

un isomorphisme de K◦-modules. On note encore g l’isomorphisme de K-espaces vectoriels E → E correspondant. On a ainsi,

q_K= pK◦ g^∨

où p_K, q_Ksont les normes géométriques déduites par extension des scalaires et g∨: V(E) → V(E) le morphisme de K-espaces analytique associé à g . Le point de GL(E) définit par g est alors un antécé-dent de q parσp.

L’espace topologiqueN (E) est localement compact. En effet, si pour tout q ∈ N (E) et pour tout ε ≥ 0 on considère le disque de rayon ε centré en q,

D(q,ε) := ©q0∈ N (E) : dN (E)^{(q, q0}) ≤ εª , son image réciproque parσpest

σ−1

p D(q,ε) = ©g ∈ |GL(E)| : logmax©kg−1kp,q, kg kq,pª ≤ εª. Comme D(q,ε) est fermée dans N (E) et σpest continue, alorsσ−1

p D(q,ε) est fermée dans GL(E). De plus, si on considère l’immersion fermée

GL(E) //_{End(E) × End(E)}

g  _//(g−1, g ), l’image deσ−1

p D(q,ε) est contenue dans la partie compacte

©x ∈ End(E) × End(E) : logmax©kpr1(x)kp,q, kpr2(x)kq,pª ≤ εª et donc elle est compacte. Enfin, commeσpest surjective, l’image deσ−1

p D(q,ε) par σpcoïncide avec D(q,ε) : étant l’image d’un compact par une application continue, D(q,ε) est compact. L’espace topo-logiqueN (E) est donc localement compact et l’application σpest propre au sens topologique.

On montre que l’applicationσpdescend en une applicationσ_ep: |GL(E)|/|Up| → N (E) (le quotient étant pris pour la multiplication à gauche de U(p)) et queσ_ep. Soient g ∈ GL(E) et g⁰∈ U(p)· g : il existe une extension analytique K de k contenant les corps résiduels complétés de g , g0et un K-point u de U(p) tel que

g_K⁰ = gKu

où gK, g_K⁰ sont les K-points de GL(E)Kassociés à g , g⁰. D’après le point (i) de la Proposition 8.37 on a σp(g⁰)K= σ(g⁰, p)K= σK(g_K⁰, pK)

= σ(gKu, p_K) = pK◦ u^∨◦ g^∨K = pK◦ gK^∨= σ(gK, pK) = σp(g )_K.

et doncσp(g0) = σp(g ).

Enfin, il reste à montrer que l’application induite_eσp est injective. Soient g , g0∈ GL(E) tels que σp(g ) = σp(g0). Soit K une extension analytique de k contenant les corps résiduel complété de g , g0. En vertu point (i) de la Proposition 8.37 on a

p_K◦ gK^∨= pK◦ gK^0∨ et donc g_K⁻¹◦ g_K⁰ appartient à U(p), i.e., g⁰appartient à U(p) · g .

On peut maintenant conclure : l’application_eσpest une bijection continue etσp est une applica-tion continue et propre au sens topologique entre espaces topologiques localements compacts. Elle est donc fermée, et il en est de même pourσ_ep.