Isomorphisme canonique du quotient

π∗ TMT,D ϕT,D  ³ T×^GSπ^´∗(M_D)_T ⁽ϕD)T //³ L|^⊗D_Xss(L) ´ T L_T|^⊗D_Xss T(LT) est commutatif.

Démonstration. Comme le sous-S-schéma en groupes H de G est normal, le S-schéma en groupes G

agit linéairement pour tout nombre entier d ≥ 1 sur les sections globales H-invariants de L^⊗d, (α∗(L^⊗d))^H. Le S-schéma en groupes G agit alors sur l’ouvert des points semi-stables X^ss(L) de X sous l’action de H. Ensuite, l’égalité

X^ss(L)T= X^ssT(LT)

peut être vérifiée localement sur S car les constructions des invariants et des formes tordues sont compatibles aux changements de base (plats). On peut supposer que le torseur T soit triviale, et donc l’énoncé l’est aussi.

Le quotient catégorique de X^ss(L) par H (resp. de X^ss_T(LT) par HT) est donné par le spectre homo-gène relatif du faisceau deOS-algèbres graduées des invariants

A^H:=^M d ≥0 ³ α∗(L^⊗d)^´H Ã resp. A^HT T :=^M d ≥0 ³ αT∗(L^⊗d_T )^´HT ! .

La Propostion 3.9 affirme qu’on a un isomorphisme G_T-équivariant de faisceau de faisceauxOS-algèbres graduées

(A^H)_T−→ A^HT

T . Le reste de l’énonce suit aisément de cet isomorphisme.

3.3 Isomorphisme canonique du quotient

Proposition 3.12. Soit S un schéma noethérien. Soientα : X → S un S-schéma projectif et plat, et L un

faisceau inversibleα-ample sur X. Soit G un S-schéma en groupes séparé, quasi-compact et plat. On suppose que le schéma en groupes G agit trivialement sur le S-schéma X et de manière équivariante sur le faisceau inversible L.

Alors,

i. il existe un caractèreχLde G, i.e., un morphisme de S-schémas en groupes,χL: G → Gm,S, tel que l’action de G sur L est induite par l’action par homothéties du S-groupe multiplicatif G_m,Ssur L à travers le caractèreχL.

ii. pour tout nombre entier d , l’action de G sur le faisceau inversible L^⊗d est induite par le carac-tèreχL⊗d:= χ^d_L;

iii. pour tout G-torseur T, l’action de G sur X étant triviale, il existe un isomorphisme canoniqueΨT: X → XT;

iv. pout tout G-torseur T et tout nombre entier d , on désigne parOS ¡

χ_L⊗d(T)¢ le faisceau inversible sur S associé au G_m-torseur

construit à travers le caractèreχ_L⊗d. Il existe alors un isomorphisme G-équivariant de faisceaux inversibles sur X, ψ_T,L⊗d:Ψ∗ T ³ L^⊗d_T ^´−→ L^⊗d⊗_OXα∗OS ¡ χ_L⊗d(T)¢ et le diagramme de faisceau inversibles sur X,

¡ Ψ∗ TLT^¢⊗d ψ⊗d T,L //_{¡L ⊗O} Xα∗OS^¡χL(T)¢¢⊗d Ψ∗ T¡L⊗d T ¢ ψ_T,L⊗d //_L⊗d⊗OXα∗OS^¡χL⊗d(T)¢ est commutatif.

Démonstration. On se ramène à le prouver pour X = P(E) et L = OE(1) (où E est un faisceau deOS -modules localement libre de rang fini).

Supposons d’abord qu’il existe un nombre entier D₀≥ 1 tel que pour tout nombre entier D ≥ D0 l’action de G sur L⊗Dsoit induite par un caractèreχD: G → Gm,S. Soit D ≥ D0un nombre entier. L’iso-morphisme canonique de faisceaux inversibles sur X,

L^⊗D+1⊗ L^∨⊗D−→ L

est G-équivariant. Ceci montre que l’action de G sur L est donnée par le caractère χ := χD+1· χ⁻¹_D . On peut donc supposer que le faisceau inversible L soit trèsα-ample. L’énoncé étant locale sur la base S, on peut supposer que le schéma S = SpecR soit affine. Le faisceau inversible L est alors engendré par ses sections globalesΓ(X,L). On considère la R-algèbre graduée

A :=^M

d ≥0

Γ(X,L⊗d).

Le S-schéma X s’identifie canoniquement au spectre homogène Proj A de la R-algèbre graduée A et le faisceau inversible L au faisceau inversible qui se déduit du A-module gradué A(1). Pour toute section globale s ∈ Γ(X,L) la R-algèbre As= A[s⁻¹] est naturellement munie d’une graduation. On désigne par A_(s)sa composante de degré 0 : elle est engendrée comme sous anneau de Aspar les éléments de la forme

f

s⊗d d ≥ 1, f ∈ Γ(X,L^⊗d).

Puisque L est engendré par ses sections globales, le S-schéma X est recouvert par les ouvert de la forme D₊(s) = Spec A(s)avec s ∈ Γ(X,L).

Pour tout nombre entier d ≥ 1, le S-schéma en groupes G agit linéairement sur le (faisceau quasi-cohérentOS-modules associé au) R-moduleΓ(X,L⊗d), de manière que l’action linéaire sur la R-algèbre A soit compatible à la multiplication. Le S-schéma en groupes G agit linéairement sur les R-algèbres As

et A(s). L’hypothèse que l’action de G sur X est triviale se reformule en disant que, pour tout s ∈ Γ(X,L), l’action linéaire de G sur A(s)est triviale.

L’immersion fermée X → P(Γ(X,L)) est G-équivariante. On va montrer que l’action de G sur P(Γ(X,L)) est triviale. Pour le faire, de manière analogue à quant dit avant, il s’agit de montrer que pour toute sec-tion globale s ∈ Γ(X,L), l’acsec-tion linéaire du S-schéma en groupes sur la composante de degré 0, SymΓ(X,L)(s), de la R-algèbre graduée SymΓ(X,L)s= Sym Γ(X, L)[s⁻¹] est triviale.

Soit donc s un section globale de L. La R-algèbre graduée SymΓ(X,L)(s)est engendrée, en tant que sous-anneau de SymΓ(X,L)s, par les éléments de la forme

f

s⊗d d ≥ 1, f ∈ Sym^dΓ(X,L).

Encore mieux, comme tout élément de de Sym^dΓ(X,L) s’écrit comme combinaison linéaire de pro-duits de d éléments deΓ(X,L), la R-algèbre graduée SymΓ(X,L)(s)est engendrée, en tant que sous-anneau de SymΓ(X,L)s, par les éléments de la forme

t₁· · · td

s⊗d d ≥ 1, t1, . . . , t_d∈ Γ(X, L).

Si t₁, . . . , t_dsont des sections globales de L, pour tout i = 1,...,n l’élément ti/s appartient à A_(s)et il est invariant sous l’action de G. L’élément

t1· · · td

s⊗d =^t1

s · · ·^td

s ∈ Sym^dΓ(X,L)

est donc invariant sous l’action de G. L’action de G sur la R-algèbre SymΓ(X,L)(s)est donc triviale. Pour terminer la démonstration du Lemme, il reste à prouver le cas où X = P(E) et L = OE(1), où E est un faisceau deOS-modules localement libre de rang fini. Il s’agit de montrer que pour tout S-schémaτ : S0→ S et pour tout automorphisme ϕ du faisceau de OS0-modulesτ∗E, si l’isomorphisme de S⁰-schémas

P(τ∗E) −→ P(τ^∗E)

induit parϕ est l’identité, alors il existe λ ∈ Gm(S⁰) tel queϕ = λ · idE. Cela est triviale.

Le point (ii) est clair et (iii) est la Proposition 3.8. Pour (iv), soient T un G-torseur et S =S

i ∈IS_iun recouvrement ouvert de S sur lequel T se trivialise par des sections t_i. En vertu de la structure locale de la forme tordue L_T de L par T, il existe pour tout i ∈ I un isomorphisme de faisceaux de OX×SSi -modules

θi: L|X×SSi−→ LT|X×SSi

tel que pour tout i , j le diagramme de faisceaux deOX×SSi j-modules (où S_{i j}= Si∩ Sj) L|X×SS_{i j} θi // t−1 j t_i  L_T|X×SS_{i j} L|X×SS_{i j} θj //_LT|X× SS_{i j}

est commutatif. L’action de t⁻¹_j ti est donnée par la multiplication par l’élément inversible χL(t⁻¹_j t_i) ∈ Γ(Si j,O×

S).

D’autre part, par la structure locale de la forme tordueOS(χL(T)) deOSpar T (à travers le caractèreχL), il existe pour tout i ∈ I un isomorphisme de faisceaux de OS_i-modules

tel que pour tout i , j le diagramme de faisceaux deOS_{i j}-modules (où S_{i j}= Si∩ Sj) OS_{i j} ωi // χL(t⁻¹_j ti)  OS(χL(T))|S_{i j} OSi j ωj //_OS(χL(T))|S i j

est commutatif. On obtient ainsi le diagramme commutatif de faisceaux deOX×SSi-modules L|X×SSi j⊗ α^∗OSi j id_L⊗α^∗χL(t−1 j t_i)  L|X×SSi j θi // t−1 j t_i  L_T|X×SSi j L|X×SSi j⊗ α^∗OSi j L|X×SSi j θj //_LT|X× SSi j

et donc l’isomorphismeψ : L ⊗ α∗OS(χL(T)) → LTcherché.

Soient S un schéma noethérien et de type fini sur un schéma universellement japonais,α : X → S un S-schéma projectif et L un faisceau inversibleα-ample sur X. Soient G un S-groupe réductif et H un sous-S-groupe réductif normal de G. On suppose que G agit sur le S-schéma X et de manière équivariante sur L.

Soient X^ss(L) l’ouvert des points semi-stables de X sous l’action de H et par rapport au faisceau inversible L, π : Xss (L) −→ X^ss(L)/H := ProjS Ã M d ≥0 α∗(L^⊗d)^H !

le morphisme quotient etβ : Xss(L)/H → S le morphisme structural de X/H. Pour tout nombre en-tier D ≥ 1 assez divisible, il existe un faisceau inversible β-ample MDsur Xss(L)/H et un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss(L),

ϕD:π∗M_D−→ L|^⊗DXss(L)

compatible à l’action de H. Le S-schéma en groupes G agit sur le S-schéma X^ss(L)/H et, pour tout nombre entier D ≥ 1 assez divisible, de manière équivariante sur le faisceau inversible MDet l’isomor-phismeϕDest G-équivariant.

Soit T un G-torseur. On désigne par X_T(resp. G_T, resp. H_T, resp. L_T) la forme tordue de X (resp. G, resp. H, resp. L) par T. Le S-schéma en groupes GTagit sur le S-schéma XTet de manière équivariante sur le faisceau inverisible LT. L’ouvert des points semi-stables X^ss_T(LT) de XTsous l’action de HTet par rapport au faisceau inversible LTs’identifie à la forme tordue X^ss(L)Tde X^ss(L) par T.

Théorème 3.13. On suppose que l’action du S-schéma en groupes G sur le quotient X^ss(L)/H soit

triviale. Alors, pour tout G-torseur T il existe un isomorphisme de S-schémas ΨT: X^ss(L)/H −→ X^ssT(LT)/HT

et, pour tout nombre entier assez divisible D ≥ 1, un morphisme de S-schémas en groupes χD: G → G_m,Set un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss(L)/H,

ψT,D:Ψ∗

tel que, pour tout nombre entier d ≥ 1, le diagramme ¡ Ψ∗ TM_T,D¢⊗d ψ⊗d T,D //_{¡MD⊗ β}∗OS ¡ χD(T)¢¢⊗d Ψ∗ T¡M_T,Dd¢ ψT,Dd //_{MDd⊗ β}∗OS ¡ χDd(T)¢ est commutatif.

Démonstration. Il suffit d’appliquer la Proposition 3.12 à l’action de G sur X^ss(L)/H et M_D.