Si A est une k-algèbre affinoïde, on lui associe un k-espace analytique, dit encore

spectre et notéM (A), comme suit : |X| = M (A)

τX= {V ⊂ |X| : V domaine affinoïde}

A_X(V) = AV= k-algèbre affinoïde associée au domaine affinoïde V εX(V) = homéomorphisme canonique M (AV) → V.

Il faut d’abord montrer queτXest un réseau sur X. On sait que les voisinages affinoïdes d’un point

x ∈ X forment une base de voisinages de x. Si V,V0sont des domaines affinoïdes de X et x ∈ V ∩ V⁰, on considère un voisinage affinoïde W de x : la partie V ∩ V0∩ W est un domaine affinoïde de X et un voisinage de x dans V ∩ V0(par rapport à la topologie induite).

Par définition le triplet (τX, A_X,εX) est un atlas k-affinoïde sur X. Si V, V0sont des domaines affi-noïdes, alors V ∩ V0est un domaine affinoïde, l’homomorphisme borné de k-algèbres de Banach

A_X(V)⊗bkA_X(V⁰) −→ AX(V ∩ V⁰)

est surjectif et la norme de A_X(V ∩ V0) est équivalente à la norme quotient. Il reste à vérifier que si V₁, . . . , V_nsont des domaines affinoïdes de X et l’égalisateur des flèches

n Y i =1 A_X(V_i) //// n Y i , j =1 A_X(V_i∩ Vj)

est une k-algèbre affinoïde, alors V = V1∪· · ·∪Vnest un domaine affinoïde. C’est une conséquence du Théorème d’Acyclicité de Tate : une référence est par exemple [Ber90, Corollary 2.2.6, iii.].

Exemple 5.35. Si X est un k-espace analytique, toute partie ouverte U de |X| est munie d’une structure de k-espace analytique, en posant :

|U| = U

τU= {V ∈ τX: V ⊂ U} A_U(V) = AU(V)

εU(V) = εX(V).

Les propriétés dans la définition de k-espace analytique sont automatiquement vérifiées. 5.2.5. Morphismes d’espaces analytiques. — Soient X, Y des k-espaces analytiques.

Définition 5.36. Un morphisme de k-espaces analytiques f : X → Y est un couple (| f |, f^]) formé d’une

application continue | f | : |X| → |Y| et d’une collection d’homomorphismes bornés de k-algèbres de Banach

f]=ⁿf]

WV: AY(W) −→ AX(V) : V ∈ τX, W ∈ τYtels que | f |(V) ⊂ W^o

satisfaisant à la propriété suivante : pour tous V, V⁰∈ τX, pour tous W, W⁰∈ τYavec V ⊂ V⁰, W ⊂ W⁰, | f |(V) ⊂ W et | f |(V⁰) ⊂ W⁰, le diagramme A_Y(W0) f] W0V0 //  A_X(V0)  A_Y(W) ^f ] WV //_AX(V) est commutatif.

L’ensemble des morphismes de k-espaces analytiques f : X → Y est noté Mork-an(X, Y). Avec cette définition, les k-espaces analytiques forment une catégorie : elle est équivalente à la sous-catégorie pleine des k-espaces analytiques formée par les bons k-espaces analytiques au sens de [Ber93] (voir

loc. cit., Proposition 1.2.15 et 1.2.17) et à la catégorie des k-espaces analytiques au sens de [Ber90] (voir

[Ber93, 1.5]).

La construction du spectre d’une k-algèbre affinoïde est fonctorielle et le foncteurM : A 7→ M (A) est pleinement fidèle.

5.2.6. Espace localement annelé associé et faisceaux cohérents. — Soit X un k-espace analytique. Le foncteur A_Xest un faisceau sur le siteτXet on considère le faisceau structural OXsur l’espace topologique |X| en posant, pour tout ouvert U ⊂ |X|,

OX(U) := lim ←−− V⊂U V∈τX

A_X(V).

Le couple (|X|,OX) est un espace localement annelé en k-algèbres. Le faisceau structuralOXest cohé-rent (en tant queOX-module) et, pour tout point x ∈ X, l’anneau local OX,xest noethérien. En parti-culier, les concepts de faisceau deOX-modules de présentation finie et de faisceau cohérent deOX -modules coïncident.

Dans la suite, avec un abus de notation, on utilisera la même lettre pour désigner un k-espace analytique et l’espace localement annelé en k-algèbres associé.

5.2.7. Propriétés topologiques. — Puisque les k-espaces affinoïdes sont compacts et tout point d’un

k-espace analytique admet une base de voisinages formée par des k-espaces affinoïdes, les espaces

topologiques sous-jacents aux k-espaces analytiques sont localement compacts.

Même si en général les k-espaces analytiques sont loin d’être localement métrizables, Poineau [Poi11] a montré que toute partie compacte est séquentiellement compacte, i.e., toute suite dans une partie compacte contient une sous-suite convergente.

En outre, les k-espaces analytiques admettent une base de la topologie formée par des ouverts localement compacts paracompacts et connexes par arcs [Ber93, 1.2.4].

5.2.8. Extension des scalaires. — Soit K une extension analytique de k, i.e. un corps complet pour une valeur absolue | · |Kmuni d’un plongement isométrique k → K. Si A est une k-algèbre affinoïde, la K-algèbre de Banach A_K:= Ab⊗kK est une K-algèbre affinoïde. L’inclusion canonique A → AKinduit une application continue et surjective

|$K| : |M (AK)| −→ |M (A)|.

De plus, si V ⊂ M (A) est un domaine affinoïde, VK:= $⁻¹_K (V) est un domaine affinoïde deM (AK) et on a un isomorphisme canonique A_V⊗_bkK → (AK)_VK. En particulier, on obtient un morphisme d’espaces localement annelés en k-algèbres$K:M (AK) → M (A).

Si X est un k-espace analytique, cette construction se recolle et donne un K-espace analytique X_K muni d’un morphisme d’espaces localement annelés en k-algèbres

$X,K: X_K−→ X.

L’application$X,Kest surjective et propre au sens topologique ; puisque les espaces topologique sous-jacents aux espaces analytiques sont localement compacts,$X,Kest une application fermée.

La construction de l’extension des scalaires est fonctorielle et compatible à des extensions des scalaires successives.

5.2.9. Fibres. — Soit X un k-espace analytique, x ∈ X un point etbκ(x) son corps résiduel complété. Le

point x induit un morphisme de_bκ(x)-espaces analyttiques εx:M (bκ(x)) −→ X_bκ(x).

Si F est un faisceau cohérent deOX-modules, sa fibre en x, notée x∗F, est leκ(x)-espace vectoriel de_b dimension finieε∗

Soient Y un k-espace analytique et f : Y → X un morphisme de k-espaces analytique. La fibre en x

de f , notée Y_x, est le_bκ(x)-espace analytique Yx:= Y_bκ(x)×X b κ(x){x} //  {x} εx  Y b κ(x) f b κ(x) //_X b κ(x) Le morphisme d’extension des scalaires$Y,_bκ(x): Y

b

κ(x)→ Y se restreint à un homéomorphisme Y_x→ f⁻¹(x).

5.2.10. Analytification. —

Théorème 5.37. Soit X un k-schéma localement de type fini. Le foncteur X^an:©k-espaces analytiques ª // _{© ensembles ª}

Y  _{// Mor}

k-locan(Y, X)

est représentable par un k-espace analytique X^anmuni d’un morphisme d’espace localement annelés en k-algèbresθX: X^an→ X.

Si X = Spec A est affine, l’espace topologique sous-jacent à X^anest l’ensemble {x : A → R+semi-norme multiplicative : x|k= | · |k}

muni de la topologie la moins fine pour laquelle, lorsque f varie dans A, les applications | f | : M (A) → R₊, x 7→ x(f ) sont continues.

Proposition 5.38. Soient X, Y et S des k-schémas localement de type fini et f : X → S, g : Y → S des morphisme de k-schémas. Alors, le morphisme naturel de k-espaces analytiques

(X ×SY)^an−→ X^an×SanY^an est un isomorphisme.

Proposition 5.39 (Compatibilité aux extensions des scalaires). Soient X un k-schéma localement de type fini et K une extension analytique de k. Le K-schéma XKqui s’en déduit par extension des sca-laires est localement de type fini et le morphisme naturel de K-espaces analytiques

¡Xan¢

K−→ (XK)^an est un isomorphisme.

Proposition 5.40 (Adhérence analytique d’une partie constructible). Soient X un k-schéma locale-ment de type fini etθX: X^an→ X le morphisme de k-espaces analytiques induit par analytification. Alors, pour toute partie constructible Z ⊂ |X|, l’inclusion naturelle

θ1

X(Z) ⊂ θ¹_X(Z) est une égalité.

5.2.11. Espace affinoïde associé à un modèle entier. — Soit k◦ l’anneau des entiers de k, i.e., l’en-semble des éléments de valeur absolue ≤ 1. SoientAun k◦-algèbre plate et de présentation finie et A :=A⊗ k. Pour tout f ∈ A, on pose

k f kA= inf{|λ| : λ ∈ k^×, f /λ ∈A}.

L’application k · kAainsi définie est une semi-norme sur A et la complétionbA de A par rapport à k · kA est une k-algèbre affinoïde. Soient X = Spec A et X^anle k-espace analytique obtenu par analytification de X. On dit que le domaine affinoïde

M (bA) = {x : bA → R+semi-norme multiplicative : x( f ) ≤ kf kA∀ f ∈ bA} ⊂ X^an est l’espace affinoïde associé au k^◦-schéma affineX= SpecA.

Remarque 5.41. Une telle construction peut se généraliser, par recollement, aux k^◦-schémas plats et

de présentation finie. L’espace que l’on obtient n’est pas forcément un k-espace analytique à notre sens : en effet, il peut se passer qu’il existe des points n’admettant pas de voisinages affinoïdes.

Un exemple de ce phénomène s’obtient en considérant la droite affine sur k◦avec l’origine dou-blée, c’est-à-dire, le recollement de deux copies de A¹_k◦ = Spec k^◦[t ] le long l’ouvert Spec k◦[t , t−1] (l’isomorphisme de transition étant l’identité). Le k-espace analytique qui s’en déduit est le recol-lement de deux copies du disque D = {|t(x)| ≤ 1} le long la partie {|t(x)| = 1} : on peut vérifier que le point de Gauss, i.e., le point défini par la semi-norme

X a_itⁱ7→ max |ai|, n’admet pas de voisinages affinoïdes.

5.3 Définition de fonctions sur l’espace topologique sous-jacent

Soit k un corps complet pour une valeur absolue.

Définition 5.42. Un système cofinal d’extensions analytiques de k est une sous-catégorie pleineE de la

catégorie des extensions analytiques (ExtAn)_/k de k ayant la propriété suivante : pour tout extension analytique K de k il existe une extension analytique K0de k appartenant àE et muni d’un plongement isométrique de k-algèbres de Banach K → K0.

Exemple 5.43. Si K est une extension analytique de k, le foncteur oubli (ExtAn)_/K→ (ExtAn)/k est

fidèle et la sous-catégorie pleine engendré par son image est un système cofinal d’extensions analy-tiques de k. Autrement dit, pour toute extension analytique k⁰de k il existe une extension analytique K⁰ de K (et donc de k) et un plongement isométrique de k-algèbres de Banach k⁰→ K⁰. Ceci sera l’unique exemple de système cofinal d’extensions analytiques qu’on rencontrera dans ce texte.

Remarque 5.44. SiE est un système cofinal d’extension analytique, alors il est filtrant, c’est-à-dire,

pour tout K, K⁰∈ E il existe Ω ∈ E qui les contient. En effet, il existe sûrement une extension analytique L de k qui contient K et K⁰: il suffit donc de prendreΩ ∈ E qui contient L.

Définition 5.45. Soient X un k-espace analytique et K une extension analytique de k. Un K-point du

k-espace analytique X est un morphisme de K-espace analytiques x :M (K) → XKoù X_Kest le K-espace analytique déduit de X par extension des scalaires.

Soient X un k-espace analytique, Y un ensemble et f : |X| → Y une application quelconque. Pour toute extension analytique K, on dit que l’application composée

f (K) : X(K) //_|XK| |$K| //_|X| f //_E

est l’application induite par f sur les K-points de X (où$K: XK→ X est le morphisme d’extension des scalaires). En outre, si K → K⁰sont des extensions analytiques emboîtés de k, le diagramme d’en-semble X(K)  f (K) //_Y X(K⁰) ^{f (K} 0) //_Y

est commutatif. Autrement dit, l’application f induit un morphisme de foncteurs f : X → Y où X est le foncteur des points de X et Y est le foncteur constant de valeur Y sur (ExtAn)_/k.

Proposition 5.46. Soient X un k-espace analytique, Y un ensemble etE un système cofinal

d’exten-sions analytiques de k. On considère une collection d’applications { f (K) : X(K) → Y : K ∈ E } telle que pour toutes extensions analytiques emboîtés K → K⁰le diagramme d’ensembles qui s’en déduit

X(K)  f (K) // (?) Y X(K0) ^{f (K} 0) //_Y

soit commutatif. Autrement dit, on se donne un morphisme de foncteurs f : X → Y où X est le foncteur des points de X restreint àE et Y est le foncteur constant de valeur Y sur E .

Il existe alors une unique application f : |X| → Y telle que pour toute extension analytique K ∈ E l’application induite sur le K-points de X coïncide avec f (K).

Si k = C (muni d’une valeur absolue archimédienne) cet énoncé triviale : l’inclusion canonique X(C) → |X| est en fait une bijection. Si k = R cet énoncé affirme que pour se donner une fonction f : |X| → Y il faut et il suffit se donner une fonction f : X(C) → Y invariante sous la conjugaison complexe.

Démonstration. Pour tout point x ∈ |X| il existe par cofinalité du système E une extension analytique

K ∈ E du corps résiduel complétébκ(x). Soit xKle K-point du k-espace analytique X associé. On pose alors :

f (x) := f (K)(xK).

On montre que cette définition ne dépend pas de l’extension K choisie. Soient K⁰∈ E une extension analytique de k contenant le corps résiduel complété_bκ(x). Comme un système cofinal est filtrant (Re-marque 5.44) il existe une extension analyiqueΩ ∈ E de k qui contient K et K0. Soit xK(resp. x_K0, resp.

xΩ) le K-point (resp. K⁰-point, resp.Ω-point) du k-espace analytique X associé. Par commutativité du diagramme (?) on a alors :

f (K⁰)(x_K0) = f (Ω)(xΩ) = f (K)(xK),

ce qui montre que f (x) ne dépend pas de l’extension choisie. Par définition de f , l’application que f induit sur les K-points coïncide avec f (K).