11 Géométrie d’Arakelov
Définition 11.2. On dit qu’un corps K est global s’il satisfait à une de ces conditions :
11.3 Degré et pente
$L[F] //V(Fan v ) XanL,w $L //Xan v
Définition 11.9. Soit uv: V(Fanv ) → R+une norme géométrique continue sur F à la place v. L’extension
de la norme géométrique uvà place w est la norme géométrique uL,w:=¡
$L[F]∗uv¢1/ram(w,v) .
Proposition 11.10. Soient X un K-schéma propre, F un faisceau cohérent deOX-modules et u = {uv:
v ∈ VK} une famille adélique de normes géométriques sur F. Soit L une extension finie de K. L’extension à L de la famille u,
uL= {uL,w: w ∈ VL} est une famille adélique de normes géométriques sur FL.
Définition 11.11. Soient X un K-schéma propre etF = (F,u) un faisceau cohérent adélique sur X. Soit
L une extension finie de K. L’extension des scalaires à L deF est le faisceau cohérent adélique sur XL, FL= (F, uL).
11.3 Degré et pente
Soit K un corps global.
Définition 11.12. SoitL = (L,u) un faisceau inversible adélique sur SpecK. Le degré du faisceau
in-versible adéliqueL est le nombre réel d
degKL := X
v∈VK
deg(v) log uv(t ), où t ∈ V(L)(K) est un élément non nul.
D’après la formule du produit la définition ne dépend pas de l’élément non nul t choisi. Pour toute place v ∈ VKsoit k· kvla norme sur L induite par la norme géométrique uv. Pour tout s ∈ L non nul, on a :
d
degKL = − X
v∈VK
deg(v) log kskv.
Définition 11.13. SoitE = (E,u) un faisceau adélique localement libre sur SpecK. Le degré de E est le
nombre réel
d
degKE :=degdK¡VrE ¢, où r = rkE . La pente de E est le nombre réel
b
µK(E ) :=degdKE rkE .
Proposition 11.14. Pour tous faisceaux adéliques localements libresE ,F sur K on a d
degK(E ⊗ F ) = rkF ·degdKE + rkE ·degdKF .
Démonstration. On supposes d’abord queE , F soient des faisceaux inversibles adéliques. Soient s, t respectivement des K-points non nuls de V(E), V(F). Pour toute place v de K, on a alors
pE⊗F,v(s ⊗ t) = pE,v(s) · pF,v(t ). On a ainsi
d
degK(E ⊗ F ) = X
v∈VK
deg(v) log pE⊗F,v(s ⊗ t)
= X
v∈VK
deg(v)¡log pE,v(s) + log pF,v(t )¢
= X
v∈VK
deg(v) log pE,v(s) + X
v∈VK
deg(v) log pF,v(t ) = ddegKE +degdKF .
En revenant au cas général, on se ramène au cas oùE ,F sont des faisceaux inversibles adéliques grâce a l’isomorphisme canonique de faisceaux adéliques localement libres sur K,
det (E ⊗ F ) = det(E )⊗ rk F⊗ det(F )⊗ rk E. Cela termine la preuve.
Proposition 11.15 (Compatibilité à l’extension des scalaires). Soient L une extension finie de K et E = (E,p) un faisceau cohérent adélique sur SpecK. Alors,
d
degLEL= [L : K] ddegKE .
Démonstration. Puisque la construction du faisceau adélique détérminant, i.e., la construction de
la norme géométrique détérminant à toute place, est compatible à l’extension des scalaires, on se ramène à prouver l’énoncé quandE est un faisceau inversible adélique. Soient s un K-point non nul de V(E) et sLle L-point non nul de V(E ⊗KL) qui s’en déduit par extension des scalaires. Pour toute place v de K on a alors X w ∈VL w |K=v deg(w ) log pEL,w(sL) = X w ∈VL w |K=v
(deg(v)[w : v])(ram(w, v) · log pE,v(s))
= X
w ∈VL
w |K=v
[w : v]ram(w, v) deg(v) log pE,v(s)
= [L : K] deg(v) log pE,v(s). On termine la preuve en prenant la somme sur toute place v ∈ VK.
Définition 11.16. SoitE un faisceau adélique localement libre sur K. La pente maximale de E est le
nombre réel
b
µK,max(E ) := sup ½
b
µK(F ) : F faisceau adélique localement libre sur K,ε : F → E homomorphisme injectif de faisceaux adéliques ¾
Remarque 11.17. SoitE un faisceau adélique localement libre sur K. Pour calculer la pente maximale deE on peut se borner à considérer le sous-faisceaux adéliques de E , les faisceaux adéliques F = (F, pF) tels que F est un sous-espace vectoriels de E et la famille adélique de métriques pFest déduite de celle deE à travers l’homomorphisme surjectif de K-schémas V(E) → V(F) qui correspond à l’inclusion F ⊂ E.
Proposition 11.18 (Inégalité des pentes). SoientE = (E,pE),F = (F,pF) des faisceaux adéliques
loca-lement libres sur K. Pour tout homomorphisme injectif de K-espaces vectorielsϕ : E → F, l’inegalité suivante est satisfaite :
b
µK,max(E ) ≤µbK,max(F ) + X
v∈VK
deg(v) log kϕkopHom(E,F),v, où kϕkopHom(E,F),vest la norme d’opérateur deϕ à la place v.
Démonstration. Il suffit de montrer que pour tous faisceaux adéliques localements libresE ,F et tout homomorphisme injectif de K-espaces vectorielsϕ : E → F on a l’inégalité
b
µK(E ) ≤bµK,max(F ) + X
v∈VK
deg(v) log kϕkopHom(E,F),v.
On suppose d’abord que les faisceaux adéliquesE ,F soient inversibles. Pour toute place v ∈ VK, la norme d’opérateur deϕ à la place v est le nombre réel positif
kϕkopHom(E,F),v:= sup
x∈V(F)an
v −{0}
pE,v(ϕ∨(x))
pF,v(x) . Pour tout K-point t de V(F) tel queϕ∨(t ) est non nul, on a
d
degKE = X
v∈VK
deg(v) log pE,v(ϕ∨(t ))
≤ X
v∈VK
deg(v) log³kϕkopHom(E,F),v· pF,v(t )´
= X
v∈VK
deg(v) log pF,v(t ) + X
v∈VK
deg(v) log kϕkopHom(E,F),v = ddegK(F ) + X
v∈VK
deg(v) log kϕkopHom(E,F),v.
On suppose ensuite queE et F soient des faisceaux adéliques localement libres quelconque. On désigne parθ : E → Imϕ l’isomorphisme de K-espaces vectoriels induit par ϕ. On munit le sous-K-espace vectoriel Imϕ de F de la structure de faisceau adélique induite par F par restriction, i.e., pour toute place v on considère la norme géométrique induite sur Imϕ par l’homomorphisme surjectif V(F) → V(Imϕ). Soit r le rang de E . En prenant la puissance extérieure r -ième de θ, on obtient un isomorphisme de K-espaces vectoriels
Vrθ : Vr
E −→VrImϕ. D’après le cas précédent, on a
d
degKE ≤degdK¡VrImϕ¢ + X
v∈VK
deg(v) log kVrθkop Hom(E,F),v
En appliquant l’inégalité de Hadamard en toute place, on a d
Encore par l’inégalité de Hadamard, pour toute place v ∈ VKon a : log kVrθkop
Hom(VrE,VrF),v≤ r logkθkopHom(E,F),v.
De plus, pour toute place v, la norme d’opérateur deϕ coïncide avec la norme d’opérateur de θ. On conclut donc
d
degKE ≤ rdegdK¡Imϕ¢ + X
v∈VK
deg(v)r log kϕkopHom(E,F),v ≤ rµbK,max(F ) + r X
v∈VK
deg(v) log kϕkopHom(E,F),v, ce qui achève la preuve.
11.4 Hauteurs
Dans ce numéro on présente des faits élémentaires autour des hauteurs dans le cadre adélique qu’on a introduit. On peut trouver des expositions sur la théorie des hauteurs dans [Lan83], [Ser97], [BG06] et [HS00].
Soit K un corps global.
Définition 11.19. Soit X un K-schéma propre etL un faisceau inversible adélique. Pour tout point
fermé x ∈ X0, on pose
hL(x) := 1
[K(x) : K]degdK(x)(x ∗L ).
L’application hL: X0→ R+ainsi définie est appelée hauteur par rapport àL .
Théorème 11.20 (Machine des hauteurs de Weil). Soit X un K-schéma propre. Les propriétés sui-vantes sont satisfaites :
i. additivité : siL ,M sont des faisceaux inversibles adéliques sur X,
hL ⊗M= hL+ hM.
ii. fonctorialité : si Y est un K-schéma propre et f : Y → X est un morphisme de K-schémas,
hf∗L= f∗hL:= hL◦ f .
iii. équivalence linéaire : si L est un faisceau inversible sur X et u, u0sont des familles adéliques de normes géométriques sur L, il existe un nombre réel C tel que
|h(L,u)− h(L,u0)| ≤ C.
iv. positivité : siL = (L,u) est un faisceau inversible adélique sur X, il existe un nombre réel c tel que, pour tout point fermé x ∈ X qui n’est pas un point base stable de L, c’est-à-dire, qu’il existe un nombre entier positif d ≥ 1 et une section globale de L⊗dqui ne s’annule pas en x, on a
hL(x) ≥ c.
Démonstration. L’additivité est une conséquence immédiate de l’additivité du degré (Proposition 11.14)
et la fonctorialité découle directement de la définition de l’image réciproque d’une norme géomé-trique.
On passe à démontrer (iii). Pour toute place v ∈ VK, la fonction u0
v/uv sur V(L) − e(X) (où e : X →
V(L) désigne la section nulle) descend en une fonction continue sur Xanv . Comme X est propre sur K,
l’espace topologique sous-jacent au Kv-espace analytique Xanv est compact. En particulier δv:= sup Xanv ¯ ¯ ¯ ¯ logu 0 v uv ¯ ¯ ¯ ¯< +∞.
Par définition de famille adélique de normes géométriques il existe un ouvertVdeSK, unV -schéma propreX(resp.X0) et un faisceau inversibleLsurX(resp. un faisceau inversibleL0surX0) tel que pour toute place v ∈Vla norme géométrique uv (resp u0v) soit induite par le faisceau inversible
L(resp. L’). Quitte à restreindreV on peut supposer qu’il existe un isomorphisme deV-schémas θ :X→X0et un isomorphisme de faisceaux inversibles surX,ϕ : θ∗L0→L. Autrement dit, pour toute place v ∈V, les normes géométriques uv, u0vcoïncident et doncδv= 0.
Par conséquent, pour tout point fermé x ∈ X et pour tout point t ∈ V(L) − e(X) au-dessus de x de même corps résiduel, on a
|h(L,u)(x) − h(L,u0)(x)| := 1 [K(x) : K] ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X v∈VK(x) deg(v) log uK(x),v(t ) − X v∈VK(x) deg(v) log u0K(x),v(t ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =[K(x) : K]1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X v∈VK(x)
deg(v)³log uK(x),v(t ) − logu0K(x),v(t )´ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 1 [K(x) : K] X v∈VK(x) deg(v) ¯ ¯ ¯log uK(x),v(t ) − logu0K(x),v(t ) ¯ ¯ ¯ ≤ X v∈VK deg(v)δv= X v6∈V deg(v)δv.
Puisque il n’y a qu’un nombre fini de places qui n’appartiennent pas àV, cela achève la démonstration de (iii).
Pour (iv), quitte à prendre une puissance suffisamment grande de L, on peut supposer qu’il existe des sections globales s1, . . . , snde L sur X telles que pour tout x ∈ X qui n’est pas un point base stable de L il existe i = 1,...,n telle que sine s’annule pas en x. En toute place v on désigne par k·kvla métrique sur les sections de L induite par la norme géométrique uv, Si sine s’annule pas en x, on a
hL(x) = − 1 [K(x) : K] X v∈VK(x) deg(v) log ksikK(x),v(x) ≥ − 1 [K(x) : K] X v∈VK(x)
deg(v) log sup Xanv
ksikK(x),v
= − X
v∈VK
deg(v) log sup Xanv ksikv ≥ max i =1,...,n ( X v∈VK
deg(v) log sup Xan
v
ksikv
) .
Pour toute place v l’espace topologique sous-jacent au Kv-espace analytique Xanv est compact car X est propre sur L. Comme la norme géométrique uvest continue pour tout i = 1,...,n on a
sup Xanv
ksikv< +∞. Cela achève la preuve.
Théorème 11.21 (Finitude). Soit K un corps de nombres ou un corps de fonctions d’une courbe pro-jective lisse et connexe sur un corps fini. Soit X un K-schéma propre etL = (L,u) un faisceau inversible adélique sur X.
Si le faisceau inversible L est ample, pour tous nombres réels C1, C2≥ 0, l’ensemble {x ∈ X0: [K(x) : K] ≤ C1, hL(x) ≤ C2}
est fini.
Démonstration. En vertu du Théorème 11.20.(iii) on se ramène au cas X = PnKet L = O (1) muni, aux places non archimédiennes, des normes géométriques induite par le faisceaux inversibleO(1) sur Pn
SK et, (si K est un corps de nombres) aux places archimédiennes, des normes géométriques de Fubini-Study associées à la norme hermitienne standard.