La norme géométrique sur le quotient

Soit k un corps complet pour une valeur absolue | · |. Soient X un k-schéma projectif et L un fais-ceau inversible ample sur X. Le schéma X s’identifie canoniquement au spectre homogène de la k-algèbre graduée de type fini

A :=M

d ≥0

Γ(X,L⊗d).

On suppose qu’un k-schéma en groupes réductif G agit sur le k-schéma X et de manière équiva-riante sur le faisceau inversible L. Soit X^ss(L) l’ouvert des points semi-stables de X sous l’action de G et par rapport au faisceau inversible L, et

π : Xss −→ Y := Proj à M d ≥0 Γ(X,L⊗d)^G !

le morphisme quotient. Pour tout nombre entier D ≥ 1 assez divisible, il existe un faisceau inversible ample M_Dsur Y et un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss(L),

ϕD:π∗M_D−→ L|^⊗D_Xss(L), compatible à l’action de G.

À travers l’isomorphismeϕDles sections globales du faisceau inversible M_Ds’identifient aux sec-tions globales G-invariantes du faisceau inversible L⊗D. En sous-entendant cette identification, le morphismeπ est alors le morphisme de k-schémas associé à l’inclusion de k-algèbres graduée

B_D:=M d ≥0 Γ(Y,M⊗d D ) −→ AD:=M d ≥0 Γ(X,L⊗Dd)

Le morphismeπ est alors une projection au sens de la section I.2.2 et un point x ∈ X est π-projetable (resp. nonπ-projetable) si et seulement s’il est semi-stable (resp. unstable).

Soit u_Lune norme géométrique continue sur le faisceau inversible L. On considère la fonction des minima sur les orbites de G définie pour tout s ∈ V(L)^anv par

u^G_L(s) := inf©u_L(s⁰) : s⁰∈ G^anv · s^{ª .}

En termes de métriques sur les sections du faisceau inversible L, pour tout point x ∈ X^sset pour toute section non nulle s ∈ x^∗L, on a

ksk^GL(x) = sup

x0∈Gan

v ·xkskL(x⁰)

(ici on a fait un abus du terme métrique car chacun des termes vaut +∞ quand x est unstable). Soitπ[MD] : V(L|⊗D

Xss) → V(MD) le morphisme surjectif de k-schémas induit par l’isomorphismeϕD. On considère la norme géométrique sur les fibres deπ,

u_MD: V(M_D) //_R+

t  _{// inf}

π[MD](s)=tu_L⊗D,v(s).

En termes de métriques sur les sections de MD, pour tout point y ∈ Yv^anet toute section t ∈ y^∗MD, on a kt kM_D,v(y) := sup

π(x)=ykπ^∗t k_L⊗D,v.

Puisque le morphismeπ est G-invariant, pour tout point s ∈ V(L⊗D) au dessus d’un point semi-stable, on a

u_MD(π[MD](s)) ≤ u^G_L⊗D(s).

Soitµ la mesure de non projetabilité (par rapport au morphime π, au faisceau inversible L et à la norme géométrique u_L) : dans le contexte de la théorie géométrique des invariants on l’appelera plutôt mesure d’instabilité.

Théorème 2.18. Soit X un k-schéma projectif muni de l’action d’un k-groupe réductif G. Soit L un faisceau inversible ample sur X muni d’une action équivariante de G. Soient X^ssl’ouvert des points semi-stables de X par rapport à l’action de G et

π : Xss −→ Y := Proj à M d ≥0 Γ(X,L⊗d)^G !

le morphisme quotient. Soient D > 0 un nombre entier assez divisible, MD un faisceau inversible ample sur Y et

ϕD:π∗MD−→ L|^⊗D_Xss

un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss.

Soit u_Lune norme géométrique sur L^ancontinue, invariante sous l’action d’un sous-groupe com-pact maximal U de G^anet plurisousharmonique en tant que fonction sur V(L). Alors :

i. la norme géométrique des minima sur les fibres uM_D:= π[MD]_↓u_L⊗Dest continue ; ii. pour tout point s ∈ V(L^⊗D) au dessus d’un point semi-stable on a

u_MD(π[MD](s)) = u^G_L⊗D(s); iii. la mesure d’instabilitéµ : Xan

iv. pour tout x ∈ X^anet tout point non nul t ∈ V(L)^anau dessus de x, on a : µ(x) = log^u G L(t ) u_L(t ) := inf t0∈Gan·tlog u_L(t⁰) − loguL(t ).

Démonstration. Puisque la construction de la norme géométrique des minima est compatible aux

puissances tensorielles (Proposition 1.13), quitte à prendre une puissance suffisamment grande de L et M_D, on peut supposer que L et M_Dsoient très amples. On considère les k-algèbres graduées de type fini A_D:=M d ≥0 Γ(X,L⊗Dd), B :=^M d ≥0 Γ(Y,M⊗d D ).

L’homomorphismeϕ induit un homomorphisme injectif homogène de degré 1 de k-algèbres gra-duéesϕD: B → ADqu’identifie B avec la sous-k-algèbre graduée des invariants de A,

A^G_D=^M

d ≥0

Γ(X,L⊗Dd)^G.

Dans la suite on sous-entend cette identification. Les morphismes canoniques θ : V(L⊗D) −→ bXD:= Spec AD, ω : V(MD) −→ bY := Spec A^G_D

sont propres et ils induisent un isomorphisme en dehors de la section nulle. La métrique u_L⊗D pro-vient par composition parθ d’une fonctionu : |bb X^an_D| → R+, i.e., u_L⊗D = θ^∗u. La fonctionb u est conti-_b

nue, 1-homogène, propre au sens topologique et non nulle en dehors de la section nulle du cône affine analytiqueXb^an_D. En outre, la fonction logu est plurisousharmonique et U-invariante._b

Le k-schéma affinebY est le quotient du k-schéma affineXbDpar le groupe réductif G. Si on désigne parπ :_b Xb_D→ bY le morphisme quotient, i.e. le morphisme de k-schémas associé à l’inclusion A^G_D⊂ AD, les diagrammes (?) et (??) ci-dessus

b XD− bf⁻¹(O b Y)  _// (?) b XD (??) b f⁻¹(O b Y) − O_bXD ? _ oo V(L|^⊗D_U ) − e(U)  _// θ OO V(L^⊗D) θ OO V(L|^⊗D_Z ) − e(Z) ? _ oo θ OO

sont cartésiens (où O b

X_D ⊂ bX_D, O b

Y⊂ bY désignent la section nulle des cônes affinesXb_DetbY, et e : X → V(L^⊗D) est la section nulle du faisceau inversible L^⊗D). On en déduit

π[M]_↓u_L⊗D= ω^∗πb_↓u.b (2.6.1)

La fonctionu :_b bX^an_D → [−∞, +∞[ est continue, propre au sens topologique, plurisousharmonique et U-invariante. En vertu du Théorème 2.9 les fonctionsπ_b↓u etb u_b^Gcoïncident, ce qui montre (ii). D’après la Proposition 2.17 la fonctionπ_b↓u est alors continue. En vertu de l’égalité précédente (2.6.1) la fonc-b tionπ[M]↓u_L⊗Dest continue. Ceci achève la démonstration de (i).

D’après la Proposition 1.16, le point (iii) est une conséquence de (i).

Pour (iii), pour tout point x ∈ X^anet tout point non nul t ∈ bX^an_D au dessus de x on a µ(x) = ¹ D^log b π∗ b π↓u(t )b b u(t ) ^.

D’après le Théorème 2.9 on a b π∗ b π↓u(t ) =b ub_G(t ) := inf t0∈Gan·tu(t^{b 0}) ce qui achève la preuve.

2.6.1. Points minimaux et points résiduellement semi-stables. — On suppose que la valeur absolue de k soit discrète. SoitXun k^◦-schéma projectif et plat muni de l’action d’un k^◦-groupe réductifG. SoitLun faisceau inversible ample surXmuni d’une action équivariante deG. On désigne parX^ss

l’ouvert des points semi-stables sous l’action deGet par rapport au faisceau inversibleL.

On note en majuscules d’imprimerie la fibre générique des objets en caractère gothique (e.g., X :=

X×k◦k).

Définition 2.19. Soient x ∈ X^an un point et K =bκ(x) son corps résiduel complété. Puisque le k◦

-schémaXest propre, il existe un unique morphisme de k◦-schémas

x: Spec K^◦−→X

qui prolonge le morphisme Spec K → X induit par x.

On dit que le point x est residuellement semi-stable si l’image du morphismexest contenue dans l’ouvertX^ss.

Un point residuellement semi-stable est par définition semi-stable. De plus, un point x ∈ X^anest residuellement semi-stable si et seulement si x est semi-stable et sa reduction, i.e. la fibre spéciale du morphismex: Spec K◦→X, est un point semi-stable de la fibre spéciale deX.

Théorème 2.20. Soit k un corps complet pour une valeur absolue discrète. SoitXun k^◦-schéma

pro-jectif et plat muni de l’action d’un k^◦-groupe réductifG. SoitLun faisceau inversible ample surX

muni d’une action équivariante deG.

Soit X la fibre générique du k^◦-schémaXet uLla métrique induite parLsur le faisceau inver-sible L :=L|X. Pour tout x ∈ X^an, les conditions suivantes sont équivalentes :

i. x est residuellement semi-stable ;

ii. x est semi-stable et, six ∈ V(L)_b ^anest un représentant non nul de x, le pointx est u_{b L}-minimal sur l’orbite de G^an.

La preuve s’inspire à celle de la Proposition 2 dans [Bur92].

Démonstration. Quitte à remplacerLpar une puissance suffisamment grande, on peut supposer qu’il soit très ample. En particulierLest engendré par ses sections globales et pour tout t ∈ V(L)^anon a

u_L(t ) = max

s∈Γ(X,L)|s(t )|.

Soient x ∈ X^an, K =bκ(x) son corps residuel complété etx: Spec K^◦→Xle morphisme de k^◦-schémas déduit par critère valuatif de proprété. Soitx ∈ V(L)_b ^an un représentant non nul de x : quitte à en prendre un multiple, on peut supposer qu’il soit un K-point et que u_L(x) = 1. Le point_b x défini alorsb un K^◦-point_bxdu k^◦-schéma V(L) et le morphismexest la classe d’équivalence [_bx] du morphisme_bx.

Il s’agit de montrer que le point x est residuellement semi-stable si et seulement si le point x_b

est uL-minimal sur l’orbite de G^an.

On suppose d’abord que le point x soit residuellement semi-stable. Par définition l’image du mor-phismexest contenue dans l’ouvert des points semi-stablesX^ss. De manière équivalente, il existe un nombre entier d ≥ 1 et une section globaleG-invariante deL⊗d,

telle quex∗f soit inversible. Autrement dit f (_bx) est inversible dans K◦, c’est-à-dire | f (bx)| = 1. Pour tout pointx_b0∈ V(L)^anon a u_L(_bx⁰) = max s∈Γ(X,L)|s(bx⁰)| = max s∈Γ(X,L⊗d) d ≥1 |s(bx⁰)|^1/d≥ | f (xb⁰)|^1/d. (2.6.2)

De plus, six_b⁰appartient à l’orbite de_bx, comme f est G-invariant, on a |f (xb⁰)| = |f (x)|. D’après l’inéga-b lité 2.6.2 pour toutx_b⁰∈ G^an·x on ab

u_L(x_b⁰) ≥ |f (bx)|^1/d= 1 = uL(x)._b

En d’autres termes, le pointx est u_{b L}-minimal sur l’orbite de G^an.

On suppose ensuite que x soit semi-stable etx soit u_{b L}-minimal sur l’orbite de G^an. Par l’absurde on suppose que le point x ne soit pas residuellement semi-stable. Si on désigne par s le point fermé du schéma Spec K◦, alors le pointx(s) n’est pas semi-stable. D’après le critère numérique de Hilbert-Mumford, quitte à étendre K, il existe un sous-groupe à paramètre

e

λ : G_m,Ke−→G×k◦Ke duK-groupe réductife G×k◦K tel quee

lim

t →0^eλ(t) ·bx(s) = 0.

En vertu de [SGA 3, Exposé XI, Théorème 4.1], le foncteur des sous-groupes de type multiplicatif deGest représentable par un k◦-schéma lisse. Puisque K◦est henselien, d’après le « Lemme de Hen-sel »[SGA 3, Exposé XI , Corollaire 1.11], le sous-groupe à un paramètre eλ se relève à un sous-K◦ -schéma en groupes de type multiplicatifT. Quitte à étendre à nouveau K, on peut supposer que le K◦ -schéma en groupes de type multiplicatifTse deploye sur K◦, i.e. qu’il soit isomorphe à G_m,K◦en tant que K◦-schéma en groupes. On obtient ainsi un sous-groupe à un paramètre

λ : Gm,K◦−→G

de fibre spéciale eλ et on considère l’application

λx_b: G_m,K //_{V(L) ×kK}

t  _{//λ(t) ·}

b

x

Puisque le sous-groupe à un paramètre est défini sur K◦, la fonction logλ∗ b

xu_L: G^an_m,K−→ R est U(1)-invariante. Il existe, donc, une fonction continue (même convexe en vertu de la Proposition I-10.22) v_x: R → R telle que logλ∗ b xu_L= vxb◦ log|t |. Comme v b

x(0) = loguL(u) = 0, il s’agit de montrer que la fonction vx_batteint des valeurs strictement négatifs.

Le K^◦-schéma en groupes Gm,K◦ agit à traversλ sur le K◦-module libre de rang finiΓ(X,L). Cette action est définie par un homomorphisme de K◦-modules

λ^]:Γ(X,L) −→ K^◦[t , t⁻¹] ⊗K◦Γ(X,L). Si pour tout m ∈ Z on considère le sous-K^◦-module deΓ(X,L),

on a

Γ(X,L) =M

m∈Z

Γ(X,L)_m.

Pour tout m ∈ Z, le K^◦-moduleΓ(X,L)mest sans torsion et de type fini car il est un facteur direct d’un K^◦-module libre de rang fini. D’après [BGR84, Chapter 1, 1.6, Proposition 2], le K^◦-moduleΓ(X,L)m

est alors libre et de rang fini. En particulier, pour tout t ∈ Gm,Kon a λ∗ b xu_L(t ) := uL(t ·x) = maxb m∈Z©|t|mu_L(x)_bmª , où u_L(x)_bm:= max s∈Γ(X,L)m |s(x)|.b Si l’on pose am:= loguL(x)_bmpour toutξ ∈ R on a :

v b

x(ξ) = max

m∈Z{mξ + am} .

Puisque u_L(x) = 1 pour tout m ∈ Z on a u_b L(x)_bm≤ 1, i.e. am≤ 0. De plus, pour tout nombre entier m ≤ 0, cette inégalité est stricte car la fibre spéciale du sous-groupe à un paramètreλ destabilise la fibre spéciale du point_bx.

En conclusion pour tout nombre réelξ < 0 on a : – si m ≥ 1 alors am≤ 0 et mξ + am< 0 ;

– si m = 0 alors am< 0 ;

– si m ≤ −1 alors am< 0 et mξ + am< 0 si et seulement si ξ > −am/m. Comme amest strictement négatif, −am/m est aussi strictement négatif.

La fonction v b

xest donc strictement négative dans l’intervalle ¸

max

m<0{−am/m} , 0 ·

ce qui achève la démonstration.

On suppose de plus que l’anneau k^◦soit universellement japonais. SoitXun k^◦-schéma projectif et plat muni de l’action d’un k^◦-groupe réductifG. SoitLun faisceau inversible ample surXmuni d’une action équivariante deG. SoitX^ssl’ouvert des points semi-stables deXpar sous l’action deG

et π :X^ss−→Y:= Proj à M d ≥0 Γ(X,L^⊗d)^G !

le morphisme quotient. Pour tout nombre entier D > 0 assez divisible, il existe un faisceau inversible ampleMDsurYet un isomorphisme de faisceaux inversibles surX^ss,

ϕD:π∗M_D−→L|^⊗D_Xss,

compatible à l’action deG. Soit u une norme géométrique continue sur le faisceau inversibleL. D’après Proposition 1.14 l’applicationπ[MD]_↓u_L⊗Dest une norme géométrique sur le faisceau inver-sibleM_D.

On note en majuscules d’imprimerie la fibre générique des objets en caractère gothique (e.g., X :=

X×k◦k). Soit u_L(resp. u_MD) la norme géométrique induite parL(resp.MD) sur le faisceau inversible L (resp. MD). L’isomorphismeϕDinduit le diagramme cartésien suivant de k-schémas :

V(L|⊗D Xss) π[MD] // p  V(M_D) q  X^ss π //_Y

Corollaire 2.21 (Compatibilité de norme géométrique des minima aux modèles entiers). Soit k un corps complet pour une valeur absolue discrète et tel que l’anneau des entiers k◦soit universellement japonais. Alors, avec les notations introduites avant, on a :

π[MD]_↓u_L⊗D= uM_D.

Démonstration. L’inégalitéπ[MD]_↓u_L⊗D≥ uM_D suit par fonctorialité de la construction de la norme géométrique associée à un modèle entier. Il reste donc à prouver l’inégalitéπ[MD]_↓u_L⊗D ≤ uM_D. Quitte à remplacerLetM_Dpar une puissance suffisamment grande, on peut supposer qu’il soient très amples. En particulier,M_Dest engendré par ses sections globales et pour tout t ∈ V(MD)^anon a

u_MD(t ) = max

s∈Γ(Y,MD)|s(t )|.

L’homomorphisme injectif homogène de degré 1 de k^◦-algèbres graduées

B:=^M

d ≥0

Γ(Y,M^⊗d_D ) −→AD=^M

d ≥0

Γ(X,L^⊗dD) identifieBavec la sous-k^◦-algèbre graduée des invariants deA_D,

A_D:=^M

d ≥0

Γ(X,L^⊗dD)^G. En particulier, pour tout t ∈ V(MD)^anon a

u_MD(t ) = max

s∈Γ(X,L⊗D)G|s(t )|. (2.6.3)

Soit t ∈ V(L|⊗D

Xss) un point u_L-minimal sur l’orbite de G^an. Quitte à en prendre un multiple on va suppo-ser qu’il soit de norme 1, i.e., u_L⊗D(t ) = 1. D’après le Théorème précédent 2.20 l’image x de t dans X^an est un point residuellement semi-stable. On suppose par l’absurde qu’on a

1 = uL⊗D(t ) > π[MD]^∗u_MD(t ).

En vertu (2.6.3), ceci revient à dire que pour toute section globaleG-invariante S deL^⊗Don a

|s(t )| < 1.

PuisqueM_Dest engendré par ses sections globales, ceci entraîne que le point x n’est pas residuelle-ment semi-stable en contradiction avec l’hypothèse de u_L⊗D-minimalité de x sur l’orbite de G^an.

Chapitre III

Théorie géométrique des invariants

Dans le document Applications de la théorie géométrique des invariants à la géométrie diophantienne (Page 158-166)