Formes tordues par un fibré principal adélique

est triviale. Il suffit d’appliquer le Théorème 3.13 pour obtenir l’isomorphisme canonique ΨE: X^ss(L)/H −→ X^ssE(LE)/HE.

On suppose désormais que le schéma S soit de type fini sur un schéma universellement japonais. Soient D ≥ 1 un nombre entier assez divisible et MDun faisceau inversibleβ-ample sur Xss(L)/H. D’après le Théorème 3.13, on peut supposer que MDsoit engendré par ses sections globales respec-tivement àβ : il s’agit donc de calculer le caractère à travers lequel le S-schéma en groupes G agit sur les sections globalesβ∗M_D. Ces dernières s’identifient à travers l’isomorphismeϕDau faisceau des invariants

¡

α∗(L^⊗D)¢H

= (Sym^dF)^H.

Comme rappelé avant, en vertu de la Proposition 3.17 le S-schéma en groupes G agit par homothéties sur (Sym^dF)^Hà travers le caractère

χD: (g₁, . . . , g_n) 7→ det(g1)^Dm1/e1· · · det(gn)^Dmn/en.

Si E = (E1, . . . , E_n) est un n-uplet de faisceau deOS-modules localement libres, E_i de rang e_i, alors le faisceau inversibleO(χD(E)) s’identifie comme G_m,Storseur au faisceau inversible

n

O

i =1

(det Ei)^⊗miDd /ei, ce qui achève la preuve.

4 Quotient et torseurs : version adélique

4.1 Formes tordues par un fibré principal adélique

Les notions présentées dans ce numéros ont été introduites aussi par Chambert-Loir et Tschinkel (cf. [CLT01]).

4.1.1. Groupes adéliques. — Soient K un corps global et V_Kl’ensemble de ses places.

Définition 4.1. Un K-groupe adéliqueG = (G,U) est un couple formé par un K-schéma en groupes G

de type fini et d’une collection U = {Uv : v ∈ VK} de sous-groupes compactes Uv de |G^anv | satisfaisant la propriété suivante : il existe un ouvert non videVdeS_Ket unV-schéma en groupesGplat et de type fini de fibre générique G tel que, pour tout point fermé v ∈V, le sous-groupe Uv est déduit du K^◦_v-schéma en groupesG×VSpec K^◦_v.

Exemple 4.2 (Groupes adéliques provenant d’un modèle entier). SoientGunS_K-schéma en groupes de type fini et G :=G×S_KK sa fibre génèrique. Pour toute place non archimédienne v de K, soit U_vle sous-groupe compact du K_v-groupe analytique G^an_v associé au K◦

v-schéma en groupesG×S_KK◦

v. Si K est un corps de fonctions, le couple (G, U) avec U = {Uv}_v∈VKest K-groupe adélique.

Si K est un corps de nombres et, de plus, pour toute place archimédienne v on pose Uv = {idG}, alors le couple (G, U) avec U = {Uv}_v∈VKest un K-groupe adélique.

On dit que le K-groupe adéliqueG est le K-groupe adélique associé auS_K-schéma en groupesG.

Exemple 4.3 (Groupe adélique des isomorphismes d’un faisceau adélique). SoitE = (E,p) un

fais-ceau adélique localement libre sur K. Pour toute place v ∈ VKon considère le sous-groupe compact maximal U(pv) de GL(E)^an_v unitaire par rapport à la norme géométrique pv.

Par définition de faisceau adélique il existe un ouvert non videVdeS_Ket un faisceau deOV -modules localement libre de rang finiEtel que, pour tout v ∈V, la norme géométrique p_vest induite par le K^◦_v-moduleE⊗ K^◦v. Pour autant, pour tout v ∈V, le sous-groupe compact maximal U(p_v) est le sous-groupe affinoïde de GL(E)^an_v associé au K^◦_v-schéma en groupes GL(E) ×VK^◦_v.

Le couple GL(E ) = (GL(E),U(E )) où U(E ) = {U(pv)}_v∈VKest un K-groupe adélique. On dira que GL(E ) est le K-groupe adélique des isomorphismes linéaires du faisceau adéliqueE .

Exemple 4.4 (Structure adélique d’un sous-groupe). SoitG = (G,UG) un K-groupe adélique et H ⊂ G

un sous-K-schéma en groupes (fermé). Pour tout v ∈ VK, le sous-groupe de H^an_v , U_H,v= UG,v∩ H^anv ,

est compact. Le coupleH = (H,UH) est un K-groupe adélique et on dira queH est la structure de K-groupe adélique sur H induite par le K-K-groupe adéliqueG .

4.1.2. Torseurs adéliques. —

Définition 4.5. SoitG = (G,UG) un K-groupe adélique. UnG -torseur adélique T est un couple (T,UT)

formé d’un G-torseur et d’une collection UT= {UT,v: v ∈ VK} de parties compactes non vides UT,v⊂ G^an_v telles que pour tout v ∈ VKon ait :

i. siα : T × G → T désigne l’action du K-schéma en groupes G sur le torseur T, l’image de la partie pr⁻¹_T UT,v∩ pr⁻¹G UG,v⊂ |T^anv × G^anv |

est contenue dans U_T,v;

ii. l’isomorphisme de K-schémas (pr_T,α) : T × G −→ T × T se restreint à un homéomorphisme pr⁻¹_T U_T,v∩ pr⁻¹_G U_G,v−→ pr⁻¹1 U_T,v∩ pr⁻¹2 U_T,v;

iii. il existe un ouvert non videVdeS_K, unV-schéma en groupesGplat et de type fini de fibre générique G, unG-torseursTde fibre générique T tel que, pour tout point fermé v ∈V, le sous-groupe Uvest déduit du K^◦_v-schéma en groupesG×VSpec K^◦_v et la partie compacte UT,v est dé-duite du K◦

v-schémaT×VSpec K◦

v.

Si le K-schéma en groupes G est réduit (c’est toujours le cas si K est de caractéristique nulle) la condition (iii) est équivalente à la condition (à priori plus faible) : il existe un ouvert non videVdeS_K, un K◦-schéma plat de type finiTde fibre générique T tel que, pour tout point fermé v ∈V, la partie compacte U_T,vest déduite du K◦

v-schémaT×VSpec K◦

Exemple 4.6 (Torseurs adéliques provenant d’un modèle entier). SoientGunS_K-schéma en groupes plat de type fini etTunG-torseur. SoitG le K-groupe adélique associé auS_K-schéma en groupesG

(voir Exemple 4.2).

Pour toute place non archimédienne v de V_Kon considère le sous-K_v-espace analytique com-pact U_T,v induit par le K^◦_v-schémaT×S_KK^◦_v. Puisque ce dernier est un torseur du K^◦_v-schéma en groupesG×SKK^◦_v, la partie compacte U_T,vsatisfait aux conditions dans la définition de torseur adé-lique.

Pour autant, si K est un corps de fonctions, la collection U_T= {UT,v} munit le K-schéma T d’une structure deG -torseur adélique.

Si par contre K est un corps de nombres, our toute place archimédienne v de K on choisit un point tv ∈ T^anv et on pose UT,v= {tv}. La collection UT= {UT,v} munit le K-schéma T d’une structure deG -torseur adélique qui dépend clairement aussi du choix des points tv.

Exemple 4.7 (Faisceaux adéliques sur K comme GL(n)-torseurs). Soit n ≥ 1 un nombre entier. Pour toute place v ∈ VK, on considère la norme géométrique sur Kt₁⊕ · · · ⊕ Ktn,

p_n,v=    p |t1|2+ · · · + |tn|2 si v est archimédienne max{|t1|, . . . , |tn|} sinon.

On note U(n) le sous-groupe compact maximal de GL(n)^an_v unitaire par rapport à la norme géomé-trique p_n,v. En d’autres termes, on considère le K-groupe adéliqueG = (GL(n)K, U(n)) associé au fais-ceau adélique « libre » (Kⁿ, p_n), où p_n= {pn,v}_v∈VK.

SoitE = (E,pE) un faisceau adélique localement libre de rang n sur K. On considère le torseur T =

Iso(E, Kⁿ) du K-schéma en groupes G = GL(n)K.

Soient v une place de K, t ∈ Iso(E,Kⁿ)^an_v ,Ω une extension analytique de Kv qui contient le corps résiduel du point t et tΩleΩ-point du Ω-espace analytique Iso(E,Kn)^anΩ ^{associé. Le}Ω-point tΩ corres-pond à un isomorphisme deΩ-espaces vectoriels

tΩ^{: E}Ω−→ Ωⁿ.

On dit que le point t est unitaire si le morphisme deΩ-espaces analytiques

tΩ^{∨: An,an}Ω → V(E)^an_Ω est tel que

p_E,v,Ω◦ t_Ω^∨= pn,v,Ω^. On considère la partie du Kv-espace analytique Iso(E, Kⁿ)^an_v ,

U_T,v:= Iso(E ,Kⁿ)_v=©t ∈ Iso(E,Kn)^an_v : t unitaireª .

On suppose que la place v soit archimédienne et, quitte à étendre les scalaires, k = C. La partie UT,v s’identifie à l’ensemble des isomorphismes de C-espaces vectoriels isométriques t : E → Cⁿ, où Cⁿest muni de la norme géométrique hermitienne standard. En particulier, la partie U_T,vest compacte et les conditions (i), (ii) dans la définition de torseur adéliques sont vérifiées.

On suppose que la place v soit non archimédienne. Il existe une extension analytiqueΩ de Kv

et un sous-Ω◦-module E⊂ EΩ de fibre générique EΩ qui induit la norme géométrique non archi-médienne pE,v,Ω. Si$Ω : TΩ^an→ Tv^andésigne le morphisme d’extension des scalaires, alors la par-tie$−1

Ω^UT,vduΩ-espace analytique Tan

Ω ^{s’identifie au domaine affinoïde associé au}Ω◦-schéma affine de type fini IsoΩ◦(E,Ω◦,n). Puisque ce dernier est un torseur duΩ◦-schéma en groupes GL(n)Ω◦, les conditions (i), (ii) dans la définition de torseur adéliques sont vérifiées.

De plus, cette compatibilité à la construction des espaces analytiques associés aux modèles entiers assure que la condition (iii) soit aussi vérifiée. La collection de parties U_T= {UT,v} munit le GL(n)_K -torseur Iso(E, Kⁿ) d’une structure de (GL(n)_K, U(n))-torseur adélique qu’on notera Iso(E ,Kn).

4.1.3. Forme tordue d’un faisceau adélique localement libre. — SoitG = (G,U) un K-groupe

adé-lique. Soient X un K-schéma propre etF = (F,p) un faisceau cohérent adélique sur X. On suppose que le K-schéma en groupes G agit sur le K-schéma X et manière équivariante sur F, et que, pour toute place v ∈ VK, la norme géométrique p_vsur le faisceau cohérent deOX-modules F soit invariante sous l’action du sous-groupe compact U_v.

SoitT = (T,UT) unG -torseur adélique. Soient XTla forme tordue du K-schéma propre X par le G-torseur X et F_Tle faisceau cohérent deOXT-modules déduit en tordant F par T. On va munir F_Td’une structure adélique comme il suit.

Comme Spec K est un point, le G-torseur T est triviale, i.e, il existe une section t : Spec K → T. On note encore t : G → T l’isomorphisme induit par la multiplication par t. La section t induit un isomorphisme de K-schémasθt: X_T→ X et un isomorphisme de faisceaux de OXT-modules

ϕt:θ∗

tF −→ FT.

On note f_t: V(F_T) → V(F) l’isomorphisme de K-schémas induit par l’isomorphisme ϕt.

Pour toute place v de K on considère la partie compacte t−1U_T,vdu K_v-groupe analytique G^an_v . Par définition deG -torseur adélique il existe une extension analytique Ω de Kvet unΩ-point du Ω-espace analytique G^anΩ ^{tel que}

¡t−1U_T,v¢

Ω· g =^¡UG,v ¢

Ω^.

On considère la norme géométrique sur le faisceau cohérent deO(X_T)Ω-modules (FT)Ωdéfinie par l’ap-plication composée pT ,v⁽Ω) : V(FT)^anΩ ( ft)Ω //_V(F)an Ω g ·− //_V(F)an Ω p_v,Ω //_R+.

SoientΩ0une extension analytique de Kv qui contientΩ, t0: Spec K → T une section de T et g⁰ unΩ0-point duΩ0-groupe analytique G^anΩ0 tel que

¡t0−1UT,v^¢Ω0· g⁰=¡UG,v^¢Ω0.

Soit f_t0: V(FT) → V(F) l’isomorphisme de K-schémas induit par la section t⁰. On considère l’uniqueΩ0 -point u duΩ0-groupe analytique G^anΩ0 tel que le diagramme suivant (?) soit commutatif :

V(FT)Ω0 ( f_{t 0})Ω0 // (?) V(F)Ω0 g0 //_V(F)Ω0 u  V(FT)Ω0 ( f_t)Ω0 //_V(F)Ω0 g0 Ω //_V(F)Ω0

Le point u appartient donc au sous-groupe compact U_v,Ω0 de G^anΩ0. Si on considère la norme géomé-trique sur le faisceau cohérent deO(X_T)Ω0-modules (FT)Ω0définie par l’application composée

pT ,v(Ω0) : V(FT)^anΩ ( f_{t 0})Ω0 //_V(F)an Ω0 g0·− //_V(F)an Ω0 p_v,Ω0 //_R+ on a alors pT ,v⁽Ω0) = $^∗_Ω0pT ,v⁽Ω).

En vertu de la Proposition I.5.46 la norme géométrique continue pT ,v⁽Ω) descend en une norme géo-métrique continue sur le faisceau cohérent deOXT-modules F_T. De plus, elle ne dépend pas de la section t , de l’extension analytiqueΩ et du Ω-point g choisis.

En outre, la famille de normes géométriques pT = {pT ,v, v ∈ VK} est adélique et on noteFT = (F_T, pT^{) le faisceau cohérent adélique associé.}

Définition 4.8. Le faisceau cohérent adéliqueF_T = (F, p_T) est appelé la forme tordue deF par T .

4.1.4. Forme tordue d’un sous-groupe normal. — SoientG = (G,UG) un K-groupe adélique. Un

sous-K-groupe adélique normal deG est la donnée d’un K-groupe adélique H = (H,UH) formé d’un sous-K-schéma en groupes normal H de G et, siτ : G × H → H désigne l’action par conjugaison de G sur H, pour toute place v ∈ VKd’un sous-groupe compact U_H,vde H^an_v tel que l’image parτ de la partie

pr⁻¹_G U_G,v∩ pr⁻¹H U_H,v soit contenue dans UH,v.

SoitT = (T,UT,v) unG -torseur adélique. On construit la forme tordue H_T du sous-K-groupe adéliqueH comme il suit. Soient t : SpecK → H une section du G-torseur T : on désigne encore par t l’isomorphisme de K-schémas G → T que l’obtient en prenant la multiplication par t. Soit ft: H_T→ H l’isomorphisme de K-schémas en groupes induit par la section t .

Soit v une place de K. On considère la partie compacte t⁻¹U_T,vdu Kv-groupe analytique G^an_v . Par définition deG -torseur adélique il existe une extension analytique Ω de Kvet unΩ-point du Ω-espace analytique G^anΩ ^{tel que}

¡t−1UT,v^¢Ω· g =¡UG,v^¢Ω^. La partie U_H,T ,v⁽Ω) := f−1 t ¡g · ¡UH,v ¢ Ω· g^−1¢ est un sous-groupe duΩ-groupe analytique Han

T,Ω^.

SoientΩ0 une extension analytique de K_v qui contientΩ, t0: Spec K → T une section de T et g0 unΩ0-point duΩ0-groupe analytique G^anΩ0tel que

¡t0−1U_T,v¢

Ω0· g⁰=^¡UG,v ¢

Ω0.

Si f_t0: HT→ H est l’isomorphisme de K-schémas en groupes induit par la section t⁰, on considère le sous-groupe duΩ0-groupe analytique G^anΩ0,

UH,T ,v⁽Ω0) := f_t⁻¹0 ¡g0·¡UH,v^¢Ω0· g⁰⁻¹¢ . Si$_Ω0: G^anΩ0→ G^an_Ω désigne le morphisme d’extension des scalaires, alors on a

UH,T ,v(Ω0) = $⁻¹_Ω0¡U_{H,T ,v}(Ω)¢.

Le sous-groupe U_H,T ,v⁽Ω) descend donc en un sous-groupe UH,T ,v^{du K}v-groupe analytique H^an_T,vqui ne dépend pas du choix de l’extensionΩ, de la section t et du point g_Ω. La collection de sous-groupes compacts

U_H,T =^©UH,T ,v: v ∈ VK ª

munit le K-schéma en groupes H_T d’une structure de K-groupe adélique qu’on noteraH_T : on dira qu’elle est la forme tordue deH par T .