Forme tordue par un fibré principal

3.1.1. Torseurs. — Soient S un schéma et G un S-schéma en groupes.

Définition 3.1. Un G-torseur (ou G-fibré principal) sur S est un S-schéma T muni d’une action à droiteα : T ×SG → T de G tel que

– le morphisme (pr_T,α) : T ×SG → T ×ST est un isomorphisme ;

– le morphisme structural T → S admet des sections localement pour la topologie de Zariski, i.e. il existe un recouvrement ouvert S =S

i ∈ISiet pour tout i ∈ I une section ti: Si→ G du morphisme structural T → S. On dira que T se trivialise sur un tel recouvrement.

On dira qu’un G-torseur T est trivial si le morphisme structural T → S admet une section glo-bale S → T.

Si T est un G-torseur, le morphisme structural T → S est surjectif. Si T se trivialise sur un recouvre-ment ouvert S =S

i ∈ISialors, pour tout i ∈ I, le morphisme G ×SS_i //_{T ×SSi}

g  _//t i· g est un isomorphisme qu’on désigne encore par t_i.

Exemple 3.2 (Torseurs du groupe linéaire). Soit S un schéma et n ≥ 1 un nombre entier. Pour tout faisceau deOS-modules E localement libre de rang n, le foncteur

Iso_S(On

S, E) : © S-schémas ª // _{© ensembles ª}

τ : S0→ S  _//Iso

OS0-mod(On

S0,τ∗E) est représentable par un S-schéma Iso_S(On

S, E). Le S-schéma en groupes GL(n)_Sagit à droite sur le S-schéma Iso_S(On

S, E). Par définition de faisceau localement libre de rang n, cette action muni le S-schémas Iso_S(On

S, E) de la structure de GL(n)_S-torseur.

D’autre part, si T est un GL(n)_S-torseur qui se trivialise sur un recouvrement ouvert S =S

i ∈IS_ipar des sections t_i: S_i→ T, les isomorphismes de faisceaux de OSi j-modules associés

t⁻¹_j t_i:On

S_{i j}−→ OSⁿ_{i j}

satisfont à la condition de cocycle. Les faisceaux deOSij-modulesOn

Si jse recollent le long des t−1

j t_i en un faisceau deOS-modules E_Tlocalement libre de rang n muni d’un isomorphisme GL(n)_S-équivariant de S-schémas

Iso_S(On

S, E_T) −→ T.

Les classes d’isomorphisme de GL(n)_S-torseurs s’identifient donc aux classes d’isomorphisme de faisceaux deOS-modules localement libres de rang n.

Exemple 3.3 (Torseurs d’un produit de groupes). Soient S un schéma et G, G⁰des S-schémas en groupes.

Si T, T0sont respectivement un torseur de G et G0, alors le S-schémas T ×ST0est naturellement muni d’une action à droite de S-schéma en groupes G×SG0qui le munit de la structure de (G×SG0)-torseur.

D’autre part, si U est un (G ×SG0)-torseur qui se trivialise sur un recouvrement ouvert S =S

i ∈IS_i par des sections u_i: S_i→ U, pour tout i , j ∈ I l’isomorphisme de Si j= (Si∩ Sj)-schémas

u⁻¹_j u_i:¡G ×SS_{i j}¢ ×Si j¡G0×SS_{i j}¢ −→ ¡G ×SS_{i j}¢ ×Si j¡G0×SS_{i j}¢ est donné par la multiplication d’un S_{i j}-point (g_{i j}, g0

i j) du S-schéma en groupes G ×SG0. Les S_{i j} -points g_{i j}(resp. g_{i j}⁰ ) satisfont à la condition de cocycle et les S_i-schémas G ×SS_i (resp. G⁰×SS_i) se re-collent les longs les isomorphismes donnés par la multiplication par gi j(resp. g_{i j}⁰ ) en un G-torseur T (resp. un G0-torseur T0) muni d’un morphisme G-équivariant p : U → T (resp. un morphisme G0 -équivariant p0: U → T0). De plus, le morphisme (G ×SG0)-équivariant de S-schéma

(p, p⁰) : U −→ T ×ST⁰ qui en résulte est un isomorphisme.

Les classes d’isomorphisme de (G×SG⁰)-torseurs s’identifient donc à couples formé par une classe d’isomorphisme de G-torseurs et une classe d’isomorphisme de G⁰-torseurs.

3.1.2. Définition et existence de la forme tordue. — Soient S un schéma et G un S-schéma en groupes. Définition 3.4. Soient T un G-torseur sur S et X un schéma muni d’une action à gauche de G. Le S-schéma en groupes G agit à gauche sur le S-S-schéma T ×SX par

g · (t, x) = (t · g⁻¹, g · x).

Si le quotient catégorigue de T×SX par G existe (on verra que c’est toujours le cas) on l’appelle la forme

tordue de X par T et on le note

Proposition 3.5. Soient S un schéma, G un schéma en groupes et T un G-torseur. Si X est un S-schéma muni d’une action à gauche de G, alors la forme tordue de X par T existe. En outre, les pro-priétés suivantes sont satisfaites :

i. structure locale : si S =S

i ∈ISi est un recouvrement ouvert sur lequel T se trivialise par des sec-tions ti, pour tout i ∈ I il existe un unique isomorphisme (G ×SSi)-invariant de Si-schémas

θi: X ×SS_i−→ ³

T×^GSX^´×SS_i tel que pour tout i , j ∈ I le diagramme suivant

x _  X ×S(Si∩ Sj) θi //  ³ T×^GSX^´×S(Si∩ Sj) (t⁻¹_j ◦ ti) · x X ×S(S_i∩ Sj) θj //³ T×^GSX^´×S(S_i∩ Sj) soit commutatif ;

ii. compatibilité aux changements de base : soit S⁰→ S un morphisme de schémas. Le S⁰-schémas T⁰:= T×SS⁰qui se déduit par changement de base est un torseur du S⁰-schémas en groupes G⁰:= G×SS⁰. Le S⁰-schémas X⁰:= X ×ST est naturellement muni d’une action du S⁰-schéma en groupes G⁰et le morphisme naturel de S⁰-schémas

T^{0 G}×⁰S0X⁰−→^³T×^GSX^´×SS⁰ est un isomorphisme.

iii. fonctorialité : soient X, Y des S-schémas munis d’une action à gauche de G et f : X → Y un mor-phisme G-équivariant de S-schémas ; le mormor-phisme

id_T× f : T ×SX −→ T ×SY

est G-équivariant et il induit par propriété universelle du quotient catégorique un morphisme de S-schémas

T×^GSf : T×^GSX −→ T×^GSY. L’association f 7→ T×^GSf est compatible à la composition.

iv. compatibilité aux propriétés locales sur la base : soient X, Y des S-schémas munis d’une action à gauche de G et f : X → Y un morphisme G-équivariant de S-schémas ; pour que le morphisme de S-schémas f soit une immersion ouverte (resp. une immersion fermée, resp. séparé, resp. quasi-compact, resp. localement de type fini, resp. localement de présentation finie, resp. plat, resp. lisse, resp. affine, resp. propre, resp. projectif ) il faut et il suffit que le morphisme de S-schémas

T×^GSf : T×^GSX −→ T×^GSY ait la même propriété ;

v. compatibilité aux produits fibrés : soient X1, X2et Y des S-schémas munis d’une action à gauche de G et f₁: X₁→ Y, f2: X₂→ Y des morphismes G-équivariants de S-schémas ; alors, le morphisme naturel T×^GS ³ X₁×YX₂^´−→ ³ T×^GSX₁^´×_TG ×SY ³ T×^GSX₂^´

déduit des projections pr₁: X₁×YX₂→ X1, pr₂: X₁×YX₂→ X2, qui sont des morphismes G-équivariants, est un isomorphisme.

Démonstration. Soit S =S

i ∈IS_i un recouvrement ouvert sur lequel le G-torseur T se trivialise par des sections t_i : S_i → T. Pour tout i , j ∈ I on note Si jl’intersection des ouverts S_i et S_j et considère l’iso-morphisme de S_{i j}-schémas

ωi j: X ×SSi j //_{X ×SSi j}

x _//(t−1

j t_i) · x.

Les isomorphismesωi jsatisfont à la condition de cocycle : les S_{i j}-schémas X ×SS_{i j}se recollent donc en un S-schémas X_Tmuni, pour tout i ∈ I, d’un isomorphisme de Si-schémas

θi: X ×SSi−→ XT×SSi

tels que, pour tout i , j ∈ I, le diagramme de Si j-schémas X ×SS_{i j} θi // t−1 j t_i  X_T×SS_{i j} X ×SSi j θj //_{XT×SSi j}

soit commutatif (où on a noté par t−1

j t_i la multiplication par cet élément). On montre que le S-schéma T satisfait à la propriété universelle du quotient catégorique de T ×SX par T. Il s’agit de construire d’abord un morphisme G-invariant de S-schémasπ : T ×SX → XT. Pour tout i ∈ I on consi-dère le morphisme composé de S_i-schémas

πi: (T ×SS_i) ×S_i(X ×SS_i) //_{(G ×S}S_i) ×S_i(X ×SS_i) //_{X ×S}S_i

(t , x) _//(t−1

i t , x) _//(t−1

i t ) · x

Le morphismeπi est (G ×SSi)-invariant. Puisque pour tout i , j ∈ I le diagramme de Si j-schémas ¡T ×SSi j¢ ×Si j¡X ×SSi j^¢ πi //_{X ×SSi j}

t−1

j ti



¡T ×SS_{i j}¢ ×S_{i j}¡X ×SS_{i j}¢ πj //_{X ×S}S_{i j}

est commutatif, les morphismesπise recollent en un morphisme G-invariant de S-schémasπ : T ×S X → XT. Il s’agit ensuit de montrer que le morphismeπ est universel par la propriété de G-invariance, c’est-à-dire, que pour tout S-schéma Y et tout morphisme G-invariant de S-schémas f : T ×SX → Y, il existe un unique morphisme de S-schémas f0: X_T→ Y tel que f = f⁰◦ π. Pour tout i ∈ I, le morphisme de S_i-schémas

εi: X ×SS_i //_{(T ×SSi) ×S}

i(X ×SS_i)

x  _//(t i, x)

est une section du morphismeπi. On pose f_i⁰:= (f ×SS_i) ◦ εi. Pour tout S_i-schéma S⁰, pour tout S⁰ -point (t , x) du S_i-schéma (T ×SS_i) ×Si(X_×S_i) par G-invariance de f on a

f (t , x) = f (ti(t⁻¹t_i)⁻¹, (t⁻¹t_i)(t⁻¹t_i)⁻¹· x) = f (ti, (t⁻¹t_i)⁻¹· x) = f¡ εi¡(t−1 i t ) · x¢¢ =: f_i⁰(πi(t , x)).

Autrement dit, on f ×SS_i= f_i⁰◦πi. Puisque le morphismeπiest surjectif, le morphisme f0

i est l’unique ayant cette propriété. Un calcul similaire montre que pour tout i , j ∈ I le diagramme de Si j-schémas

X ×SS_{i j} f0 i // t−1 j t_i  Y ×SS_{i j} X ×SSi j f0 j //_{Y ×SSi j}

est commutatif. Les morphismes f_i se recollent donc en un morphisme de S-schémas f : X_T→ Y tel que f = f⁰◦ π. Ceci achève la preuve de l’existence du quotient et du point (i).

La fonctorialité est une conséquence évidente de la propriété universelle du quotient catégorique. Les autres propriétés découlent aisément de la description locale.

3.1.3. Forme tordue d’un groupe normal. — Soient G un S-schéma en groupes. Soit H un sous-S-schéma en groupes normal de G et T un G-torseur. L’action par conjugaison de G sur lui-même induit une action de G sur le S-schéma en groupes H. En outre, les morphismes définissant les lois de groupes de H sont G-équivariants. La forme tordue de H par T,

HT:= T×^GSH,

est alors naturellement muni de la structure de S-schéma en groupes. Cela s’applique en particulier quand H = G. Si H un sous-S-schéma en groupes normal de G, la forme tordue de H par T est un sous-S-schéma en groupes normal de GT.

En guise d’exemple, soient n ≥ 1 un nombre entier, G = GL(n)Set H = SL(n)S. Pour tout faisceau deOS-modules E localement libre de rang n, on a

Iso_S(E,On

S)^GL(n)×S GL(n)_S= GL(E), Iso_S(E,On

S)^GL(n)×S SL(n)_S= SL(E).

3.1.4. Forme tordue d’une action. — Soient X un S-schéma muni d’une action d’un S-schéma en groupes G. Si G agit sur lui-même par conjugaison, le morphisme définissant l’action sur X,

σ : G ×SX −→ X

est G-équivariant. Si T est un G-torseurs, et G_T, X_Trespectivement la forme tordue de G, X par T, le morphisme de S-schémas qui se déduit deσ,

σT: G_T×SX_T−→ XT définit une action du S-schéma en groupes G_Tsur le S-schéma X_T.

3.1.5. Forme tordue d’un faisceau quasi-cohérent. — Soit X un S-schéma muni d’une action de G et F un faisceau quasi-cohérent deOX-modules muni d’une action équivariante de G. Pour tout G-torseur T, soient pr_X: T ×SX → X la projection sur X et

la projection sur le quotient. Puisque la projection sur X est G-équivariant, le faisceau quasi-cohérent deOT×SX-modules pr∗

XF est muni d’une action équivariant du S-schéma en groupes G. Pour tout ou-vert U ⊂ XT, l’image réciproqueπ−1

X U est un ouvert G-stable de T ×SX et on pose F_T(U) := Γ¡

π−1

X (U), pr^∗_XF¢G . On définit ainsi un faisceau deOS-modules sur le S-schéma X_T.

Proposition 3.6. Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes et T un G-torseur. Soit F un faisceau quasi-cohérent deOS-modules muni d’une action linéaire du S-schéma en groupes G. Alors, il existe un unique (à un unique isomorphisme près) faisceau deOX_T-modules F_Tmuni d’un isomorphisme

T×^GSV(F) −→ V(FT) . En outre, les propriétés suivantes sont satisfaites :

i. structure locale : si S =S

i ∈ISi est un recouvrement ouvert sur lequel T se trivialise par des sec-tions tiet pour tout i ∈ I

θi: X ×SS_i−→ ³

T×^GSX^´×SS_i

est l’isomorphisme canonique (G ×SS_i)-invariant de S_i-schémas, il existe un unique isomor-phisme (G ×SSi)-invariant de faisceaux cohérents deOX×SSi-modules

ϕi:θ∗

iF_T^¯¯

(T×^GSX)×SS_i−→ F^¯¯X×SS_i tel que pour tout i , j ∈ I le diagramme suivant

x _  θ∗ iF_T¯ ¯ (T×^GSX)×S(Si∩Sj)  ϕi //_F¯ ¯ X×S(Si∩Sj) (t⁻¹_j ◦ ti) · x θ∗ jFT ¯ ¯ (T×^GSX)×S(Si∩Sj) ϕj //_F¯ ¯ X×S(S_i∩Sj) soit commutatif ;

ii. fonctorialité : soient E, F des faisceaux quasi-cohérents munis d’une action équivariante du S-schéma en groupes G etϕ : E → F un homomorphisme G-équivariant de faisceaux de OX-modules. On note f : V(F) → V(E) le morphisme de S-schémas qui s’en déduit. Il existe un unique homo-morphisme de faisceaux deOS-modules

ϕT: E_T→ FT qui induit le morphismes schémas f_T: V(F)_T→ V(E)T;

iii. compatibilité aux changements de base : soient Y un S-schéma muni d’une action du S-schéma G et f : Y → X un morphisme G-équivariant de S-schémas. On note YT la forme tordue de Y par T et f_T: Y_T→ XTle morphisme de S-schémas qui s’en déduit. Alors, on a un isomorphisme cano-nique de faisceau deOYT-modules

f^∗F_T−→^{¡ f∗}F¢ T

iv. compatibilité aux propriétés de finitude : pour que le faisceau quasi-cohérent deOX-modules F soit localement libre (resp. de type fini, resp. de présentation finie) il faut et il suffit que le faisceau deOXT-modules F_Tait la même propriété ;

v. compatibilité aux propriétés locales sur la base : soientα : X → S, αT: X_T → S les morphismes structuraux. On suppose que le faisceau quasi-cohérent F soit inversible et on le note L.

Pour que L soit engendré par ses sections globales respectivement àα, i.e. l’homomorphisme d’adjonctionα∗α∗L → L soit surjectif, (resp. α-ample, resp. très α-ample) il faut et il suffit que le faisceau inversible LT soit engendré par ses sections globales respectivement àαT, i.e. l’homo-morphisme d’adjonctionα∗

TαT∗LT→ LTsoit surjectif, (resp.αT-ample, resp. trèsαT-ample). vi. compatibilité aux suites exactes : soient F₁, F₂, F₃des faisceaux quasi-cohérents deOX-modules

muni d’une action équivariante de G et

F₁ ϕ1 //_F2 ^ϕ2 //_F3

une suite exacte G-équivariante ; la suite de faisceaux deOXT-modules qui s’en déduit (F₁)_T ϕ1 //_(F2)T ^ϕ2 //_(F3)T

est alors exacte.

Démonstration. Comme dans la démonstration de la Proposition 3.5 on procède en construisant

l’ob-jet localement et en montrant ensuite qu’il satisfait aux propriétés universelles qui le décrivent. Soient T un G-torseur et S =S

i ∈IS_iun recouvrement ouvert de S sur lequel T se trivialise par des sections t_i. Pour tout i ∈ I soit Xi:= X ×SS_iet pour tout i , j ∈ I soient Si j= Si∩ Sj, X_{i j}:= X ×SS_{i j}. La multiplication par t⁻¹_j ◦ tiinduit un isomorphisme de S_{i j}-schémas

V(F|Xi j) −→ V(F|Xi j)

qui, par linéarité de l’action équivariante de G, provient d’un isomorphisme de faisceaux deOXi j -modules

ϕi j: F|Xi j −→ F|Xi j.

La collection d’isomorphismes {ϕi j} satisfait à la condition de cocycle. Les faisceaux quasi-cohérent deOS_i-modules F|S_ise recollent le long les isomorphismesϕi jen un faisceau quasi-cohérent deOX_T -modules F⁰_T. Pour tout i ∈ I, le morphisme de Si-schémas

πi: (T ×SS_i) ×S_i(V(F) ×SS_i) //_{(G ×S}S_i) ×S_i(V(F) ×SS_i) //_{V(F) ×S}S_i

(t , s) _//(t−1

i t , s) _//(t−1

i t ) · s

est (G ×SS_i)-invariant. Les morphismesπise recollent en un morphisme G-invariant de S-schémas π[F]0

T: T ×SV(F) −→ V(F⁰_T),

correspondant à un isomorphisme G-équivariant de faisceaux quasi-cohérents deOT×SX-modulesε : π∗

TF⁰_T→ pr^∗_XF. En outre, par propriété universelle du quotient catégorique on a un isomorphisme de S-schémas

V(F⁰_T) −→ T×^GSV(F).

Comme le morphismeπTest G-invariant, pour tout ouvert U ⊂ XTet pour toute section s de FTsur U, l’imageε(π∗

Ts) de s par l’homomorphismeε définit une section G-invariante du faisceau pr∗ XF sur l’ouvertπ−1

T (U), i.e., une section du faisceau F_Tsur U. On définit de cette manière un homomorphisme de faisceaux deOS-modules

ψ : F0 T−→ FT.

Il s’agit de montrer qu’il est un isomorphisme. La question étant locale sur S, on peut supposer le tor-seur T soit trivial. Dans ce cas F0

Tet F_Ts’identifient naturellement à F et le morphismeψ est l’identité de F.

La fonctorialité découle de la définition en termes d’invariants et les autres propriétés suivent ai-sément de la description de la structure locale.

3.1.6. Forme tordue d’un schéma affine. — Soient G un S-schéma en groups et A un faisceau quasi-cohérent deOS-algèbres. Par abus de language on dit que G agit sur A s’il agit sur son spectre rela-tif Spec_SA.

Pour tout G-torseur T, le faisceau deOS-modules A_Test naturellement muni d’une structure de faisceau deOS-algèbres induite par celle de A.

Proposition 3.7. Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes et T un G-torseur. Soit A un faisceau quasi-cohérent deOS-algèbres muni d’une action du S-schéma en groupes G. Alors, il existe un unique (à un unique isomorphisme près) faisceau deOS-algèbres A_Tmuni d’un isomorphisme de S-schémas

T×^GSSpec_SA −→ SpecSAT. En outre les propriétés suivantes sont satisfaites :

i. fonctorialité : soient A, B des faisceaux quasi-cohérents deOS-algèbres munis d’une action du S-schéma en groupes G etϕ : A → B un homomorphisme G-équivariant de faisceaux de OX-algèbres. On note f : Spec_SB → SpecSA le morphisme de S-schémas qui s’en déduit. Il existe un unique homomorphisme de faisceaux deOS-modules

ϕT: A_T→ BT qui induit le morphisme de S-schémas fT:¡Spec_SB¢

T→¡Spec_SA¢ T;

ii. compatibilité aux changements de base : soient A un faisceau quasi-cohérent deOS-algèbres mu-nie d’une action de G etτ : S0→ S un S-schéma. Le S⁰-schémas T0:= T×SS0qui se déduit par chan-gement de base est un torseur du S⁰-schémas en groupes G⁰:= G ×SS⁰. Le S⁰-schémas X⁰:= X ×ST est naturellement muni d’une action du S⁰-schéma en groupes G⁰et le morphisme naturel de S⁰ -schémas

T^{0 G}×⁰S0X⁰−→ SpecS(τ∗A_T) est un isomorphisme.

iii. compatibilité aux propriétés de finitude : pour que le faisceau quasi-cohérent deOS-algèbres A soit (de type fini, resp. de présentation finie) il faut et il suffit que le faisceau deOS-algèbres A_Tait la même propriété.

3.1.7. Forme tordue d’un schéma projectif. — Soient S un schéma noethérien,α : X → S un S-schéma

projectif et L un faisceau inversibleα-ample sur X. Le S-schéma X s’identifie canoniquement au spectre homogène relatif du faisceau quasi-cohérent deOS-algèbres graduées de type fini

A :=^M

d ≥0

α∗(L^⊗d).

Si de plus L est engendré par ses sections globales, le faisceau inversible L correspond au faisceau inversibleOX(1) associé au faisceau de A-modules gradués A(1).

Proposition 3.8. Soient S un schéma noethérien,α : X → S un S-schéma projectif et L un faisceau inversibleα-ample sur X. On suppose qu’un S-schéma en groupes séparé, quasi-compact et plat G agit sur le S-schéma X et de manière équivariante sur le faisceau inversible L.

Pour tout G-torseur T, la forme tordue par T de l’isomorphisme canonique f : X → ProjSA induit un isomorphisme de S-schémas

f_T: T×^GSX −→ ProjSA_T.

Si de plus le faisceau inversibleα-ample L est engendré par ses sections globales, le faisceau inver-sible LTs’identifie au faisceau inversibleOX_T(1) associé au faisceau de AT-modules graduées AT(1).

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