Un C-schéma en groupes affine et de type fini G est réductif si et seulement s’il existe un sous-groupe compact Zariski-dense U de Gan

De plus, si l’une de ces conditions équivalentes est vérifiée, on a :

i. un sous-groupe compact de G^anest Zariski-dense si et seulement s’il est maximal (par rapport à l’inclusion) parmis le sous-groupes compacts de G^an;

ii. tout sous-groupe compact de G^anest contenu dans un sous-groupe compact maximal ; iii. les sous-groupes compacts maximaux de G^ansont tous conjugués ;

iv. pour tout sous-groupe compact maximal U de G^anil existe un R-groupe réductif (anisotropique) U tel que U ×RC est isomorphe à G en tant que C-schéma en groupes et U(R) s’identifie à U par cet isomorphisme.

La Proposition suivante montre qu’il en est de même pour le cas réel.

Proposition 9.2. Un R-schéma en groupes affine de type fini G est réductif si et seulement s’il existe un sous-groupe compact Zariski-dense U de G^an.

Démonstration. On suppose d’abord que G^ancontient un sous-groupe compact Zariski-dense U. Puisque le morphisme d’extension des scalaires$C: G^an_C → G^anest une application ouverte et propre au sens topologique, l’image inverse U_C:= $⁻¹_C U est un sous-groupe compact et Zariski-dense de G^an_C . En par-ticulier, G_Cest réductif et donc G l’est.

Soit G un R-groupe réductif. Il s’agit de montrer qu’il existe un sous-groupe compact maximal U de G^an_C qui est stable sous la conjugaison complexe.

On suppose d’abord que G soit un tore T : dans ce cas le groupe de Lie complexe T(C) ne contient qu’un unique sous-groupe compact maximal, qui est donc stable sous la conjugaison complexe.

On suppose ensuite que le R-groupe réductif G soit semi-simple. L’ensemble de ses points réels G(R) est naturellement muni de la structure de groupe de Lie réel. De plus, G(R) contient un sous-groupe compact maximal K (pour la topologie réelle) qui est naturellement muni d’une structure de groupe de Lie réel.

Le groupe de Lie K agit à travers la représentation adjointe de sur l’algèbre de Lieg= Lie(G) : l’al-gèbre de Lie de K,k= Lie(K), s’identifie avec le sous-espace des invariantsk=g^Kdegpar K. Puisque K est compact, l’intégration sur K induit une projection K-équivarianteg→ket son noyaupest l’unique sous-R-espace vectoriel K-stable degsupplémentaire àk,

g=k⊕p.

Comme on a supposé G semi-simple, la forme de Killingκ surgest non dégénérée. Par maximalité de K, on a queκ est définie négative surket définie positive surp.

Le groupe de Lie complexe G^an_C = G(C) s’identifie à la complexification de G(R). La forme de Killing, étant une forme C-bilinéaire, est définie négative sur la sous-R-algèbre de Lie

u:=k⊕ ip⊂g_C:=g⊗RC,

et elle est définie positive sur le sous-R-espace supplémentaire ik⊕p. Par conséquent, le sous-groupe de Lie réel U_Cqui correspond à la sous-R-algèbreuest un sous-groupe compact maximal de G^an_C , et d’après le Théorème 9.1 précédent il est Zariski-dense.

La sous-R-algèbre de Lieuest évidemment stable sous l’action de la conjugaison complexe surg

et il en est donc de même pour le sous-groupe de Lie compact associé U_C⊂ G(C) : ce dernier descend donc en un sous-groupe compact Zariski-dense U de G^an.

Le cas d’un groupe réductif G quelconque découle maintenant de la combinaison des deux cas précédents. On considère le sous-groupe dérivé G0de G et Z le centre de G : comme G est réductif, le premier est un groupe algébrique semi-simple, l’autre est un tore [Bor91, §14.2]. De plus, l’application naturelle induite par les inclusions,

π : G0× Z −→ G,

est un morphisme surjectif et son noyau est fini. Par quant montré plus haut, le R-groupe analytique G0an× Z^anadmet un sous-groupe compact Zariski-dense : son image parπ est donc un sous-groupe compact Zariski-dense de G^an.

9.2 Cas non archimédien

Dans ce numéro on montre que la situation non archimédienne est analogue à celle archimé-dienne en rassemblant des résultats présents dans la littérature, notamment [BT72], [BT84], [Ber90, §5], [Sat63], [Rou77] et [RTW10].

Soit k un corps complet pour une valeur absolue non archimédienne | · |.

Définition 9.3. Soit G un k-espace analytique en groupes. Un sous-groupe H ⊂ |G| est dit compact

maximal s’il est compact et, pour toute extension analytique K de k, le sous-groupe compact H_K⊂ |GK| est maximal (par rapport à l’inclusion) parmis les sous-groupes compacts de |GK|.

Proposition 9.4. Soit G un k-schéma en groupes affine et lisse. S’il existe un sous-groupe compact maximal de |G^an|, alors G est un k-groupe réductif.

On adapte ici la preuve de la Proposition 1.2 dans [Sat63].

Démonstration. On suppose que le k-schéma en groupes G ne soit pas réductif, autrement dit qu’il

existe un sous-groupe N distingué lisse connexe et unipotent distinct de son sous-groupe unité (voir Définition 3.10). Soit Z le centre du sous-groupe N : quitte à passer à une extension finie de k, il existe un nombre entier n ≥ 1 et un isomorphisme de k-schémas en groupes

θ : Z −→ An k.

Lorsque le groupe algébrique G opère sur lui-même par conjugaison, il agit linéairement sur Aⁿ_k à travers l’isomorphismeϕ.

On suppose que le k-espace analytique en groupes G^anadmet un sous-groupe compact maxi-mal U ⊂ |G^an|. En vertu de la Proposition 8.32 il existe une norme géométrique non archimédienne continue p sur le k-espace vectoriel kⁿinvariante sous l’action du sous-groupe compact U. Pour tout nombre réel r > 0, le disque de rayon r par rapport à p,

Dp(r ) = {x ∈ A^n,an_k : p(x) ≤ r }

est un sous-groupe compact (pour la somme) de A^n,an_k . Soit Z(r ) l’image réciproque par l’isomor-phismeθ du sous-groupe compact Dp(r ).

Puisque la norme géométrique p est invariante sous l’action du sous-groupe U, le sous-groupe Z(r ) est normal respectivement à U. Ceci signifie la chose suivante. Soient

pr₁, pr₂,τ : Gan

respectivement la première et la deuxième projection, et le morphisme définissant l’action de G sur lui-même par conjugaison. Alors l’image parτ de la partie

¡pr−1

1 U¢ ∩ ¡pr−1

2 Z(r )¢ ⊂ |Gan × G^an|

est contenue dans Z(r ) (et donc égale). Soit m : G^an× G^an→ G^anle morphisme définissant la loi de groupe de G^an. Comme dans le cas de groupes classiques, l’image par m de la partie

¡pr−1

1 U¢ ∩ ¡pr−1

2 Z(r )¢ ⊂ |Gan × G^an|

est le sous-groupe U · Z(r ) de |G^an| engendré par U et Z(r ), c’est-à-dire, le plus petit sous-groupe de |G^an| contenant U et Z(r ). Puisque les sous-groupes U et Z(r ) sont compacts, alors le sous-groupe U · Z(r ) l’est aussi. De plus, U est contenu dans U · Z(r ) : par hypothèse de maximalité, pour tout r > 0 on a alors U · Z(r ) = U. En particulier Z^an=^[ r >0 Z(r )

est contenu dans U et il est donc compact. Ceci entraîne que A^n,an_k est compact, en contradiction avec

n ≥ 1.

9.2.1. Immeuble de Bruhat-Tits d’un groupe réductif déployé. — On suppose que la valeur absolue de k ne soit pas triviale et considère son anneau des entiers k^◦.

SoitGun k^◦-groupe réductif déployé, c’est-à-dire qu’il existe un k^◦-tore maximalTde G iso-morphe en tant que k^◦-schéma en groupes à un produit de groupes multiplicatifs G_m,k◦. Soient donc

Tun tel k^◦-tore maximal,

X^∗(T) := Mork◦−gr(T, G_m,k◦)

le groupe des caractères deTetΦ = Φ(T,G) l’ensemble correspondant de racines. Pour toute racine α ∈ Φ, le sous-k◦-schéma en groupesUα^{est le sous-k◦-schéma en groupes deGqui a pour algèbre} de Lie l’espace propre correspondant au caractèreα ou 2α. Pour tout racine α ∈ Φ on fixe un isomor-phisme

ϕα:Uα−→ A¹_k◦.

On choisit un système de racines positivesΦ+et on poseΦ−= −Φ+. On fixe aussi un ordre total surΦ+etΦ−. Le morphisme induit par la multplication deG,

Y

α∈Φ−

Uα×k◦T×k◦ ^Y

α∈Φ+

Uα−→G

est une immersion ouverte. Son imageΩ, la « grosse cellule »deG, ne dépend pas de l’ordre choisi surΦ+etΦ−. SiN= NormG(T) est le normalisateur deTdansG, le groupe de Weyl W de la donnée radicielleΦ s’identifie au quotientN(k^◦)/T(k^◦). Pour tout w ∈ W soit nw un représentant de w dans

N(k^◦). On a alors

G= ^[

w ∈W

Ω · nw. (9.2.1)

On note en majuscule d’imprimerie les objets déduit par extension des scalaires à k des objets en lettres gothiques (e.g., G =G×k◦k).

On considère le R-espace vectoriel V(T) = HomZ-mod(X∗(T), R), où X∗(T) est le groupe des carac-tères de T (et il s’identifie à X∗(T)). Pour tout point t ∈ T^anon considère l’homomorphisme de groupes abéliens

ν(t) : X∗(T) //_R

L’applicationν : Tan

→ V induit un homomorphisme de groupes abéliens ν : T(k) → V(T). Soit A(T, k) l’espace affine (au sens naïf ) d’espace vectoriel sous-jacent V(T). Comme le groupe de Weyl W opère par transformations linéaires sur V(T), l’homomorphismeν induit une action de N(k) = NormG(T)(k) sur A(T, k) par transformations affines : si n ∈ N(k) s’écrit sous la forme tnw avec t ∈ T(k) et w ∈ W, pour tout x ∈ A(T,k) on pose

ν(n) · x = w · x + ν(t).

On note encoreν l’homomorphisme de groupes ν : N(k) → Autaff(A(T, k)) définissant cette action. Pour toute racineα ∈ Φ et pour tout nombre réel ρ on considère le sous-groupe des k-points de Uα:=Uα×k◦k,

Uα(k)ρ:= {u ∈ Uα(k) : log |ϕα(u)| ≤ ρ}.

Les sous-groupes Uα^(k)ρ^{forment une filtration croissante du groupe U}α(k). Pour tout point x ∈ A(T,k) et pour toute racineα ∈ Φ ⊂ X∗(T),α(x) est un nombre réel et on pose Uα,x:= U_α,α(x).

Pour tout point x ∈ A(T,k) on considère le sous-groupe Px de G(k) engendré par Ker(ν|T(k)) et par les sous-groupes Uα,x ^lorsqueα varie dans Φ. Si N(k)x désigne le stabilisateur du point x dans N(k) = NormG(T)(k), on considère le sous-groupe

b

P_x:= Px· N(k)x.

Définition 9.5. L’immeuble de Bruhat-TitsB(G, k) de G sur k (par rapport à la donnée radicielle

va-luée induite parG) est le quotient de l’ensemble G(k) × A(T,k) par la relation d’équivalence (g , x) ∼ (h, y) si et seulement s’il existe n ∈ N(k) tel que y = ν(n) · x et g⁻¹hn ∈ bP_x.

Pour tout point (g , x) ∈ G(k) × A(T,k) on désigne par [g , x] sa classe dans B(G, k). L’immeuble B(G, k) est naturellement muni d’une l’action de G(k) définie par h · [g , x] = [hg , x] et par définition le stabilisateur du point [1_G(k), x] coïncide avec le sous-groupebP_x.

Proposition 9.6. Le stabilisateurPb0du point [1_G(k), 0] coïncide avec le sous-groupeG(k^◦).

Démonstration. Par définition le sous-groupe P₀est le sous-groupe engendré par Ker(ν|T(k)) =T(k^◦) et les sous-groupes

Uα,0= Uα(k)α(0)= Uα(k)0 = {u ∈ Uα(k) : log |ϕ_α(u)| ≤ 0} =Uα(k^◦).

En particulier P₀est contenu dansG(k◦). Ensuite, un point n = tnw ∈ N(k) avec t ∈ T(k) et w ∈ W stabilise le point 0 si et seulement si

0 = ν(n) · 0 := w · 0 + ν(t) = ν(t)

ce qui a lieu si et seulement si log |χ(t)| = 0 pour tout χ ∈ X^∗(T). Cela revient à dire que t appartient à

T(k^◦). Le groupe N(k)0est donc contenu dansG(k^◦). PuisquePb0est par définition engendré par P0et N(k)0, il est contenu dansG(k^◦). D’autre part, l’égalité (9.2.1) entraîne

G(k^◦) = ^[

w ∈W

Ω(k◦) · nw, et commeΩ est par définition l’image de l’immersion ouverte

Y

α∈Φ−

Uα×k◦T×k◦ ^Y

α∈Φ+

Uα−→G,

On rappelle qu’une partie F ⊂ G(k) est dite bornée si elle est relativement compacte dans G^an, i.e., son adhérence dans G^anest compacte. Pour tout x ∈ B(G,k) le stabilisateur Gx:= StabG(k)(x) = bP_xest borné. De plus, en vertu de [BT72, Proposition 8.2.1], les sous-groupesbP_xsont maximaux (par rapport à l’inclusion) parmis les sous-groupes bornés. De plus, si le corps k est maximalement complet la Proposition 8.2.1 combinée avec la Proposition 7.5.4 dans loc. cit. permet d’affirmer que tout sous-groupe borné maximal est de la formePb_xet tout sous-groupe borné est contenu dans un sous-groupe borné maximal.

Soit K une extension analytique du corps k. Le K^◦-schéma en groupesG×k◦K^◦est un K^◦-groupe réductif et le sous-K^◦-toreT×k◦K^◦est maximal et déployé. On peut alors considérer l’immeuble de GK:= G ×kK sur K (par rapport à la donnée radicielle valuée induite parG×k◦K^◦)

B(G, K) := B(G×k◦K^◦, K).

L’application naturelle G(k) × A(T,k) → G(K) × A(TK, K) est compatible aux relations d’équivalence sur ces ensembles. On obtient ainsi une application injective G(k)-équivariante :

ιK:B(G, k) → B(G, K).

9.2.2. Existence d’un sous-groupe compact maximal. — Soit k un corps complet pour une valeur absolue non archimédienne quelconque.

Proposition 9.7. SoitGun k^◦-groupe réductif (non forcément déployé) et G :=G×k◦k. Alors, le

sous-groupe affinoïde U(G) ⊂ |G^an| associé àGest maximal.

Démonstration. Tout d’abord, quitte à étendre k on peut supposer que sa valeur absolue soit non

tri-viale. Soit K une extension analytique de k et H un sous-groupe compact de |G^an_K | contenant U(G)_K= U(G×k◦K^◦) : il s’agit de montrer que H et U(G)_Kcoïncident.

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie etρ : GK→ GL(E) une représentation fidèle. D’après la Proposition 8.32 il existe une norme géométrique non archimédienne p sur E_Kinvariante sous l’action de H. En particulier

H⁰:= ρ⁻¹U(p)

est un sous-groupe compact de G^an_K contenant H. On est donc ramené à prouver que H⁰et U(G)_K coïncident.

Quitte à étendre K on peut supposer que la norme géométrique p provient d’un sous-K^◦-module libre deEtel queE⊗K◦K soit isomorphe à E. Le sous-groupe U(p) est alors le sous-groupe strictement affinoïde associé K^◦-schéma en groupes GL(E). Le sous-groupe H⁰est alors aussi strictement affinoïde. En particulier, les points x ∈ H0de corps résiduel complété de degré fini sur K sont denses dans H0.

Quitte à étendre à nouveau K, on peut supposer qu’il soit algébriquement clos et que le K◦-groupe réductifG×k◦K◦soit déployé. On considère l’immeubleB(G, K) de G sur K. D’après la Proposition 9.6 les K-points de U(G)_K, c’est-à-dire, les K◦-point du k◦-schémaG, sont le stabilisateurbP₀du point [1_G(K), 0] ∈ B(G, K). En vertu de résultat du Bruhat-Tits cité avant ([BT72, Proposition 8.2.1]), U(G)_K(K) est donc un sous-groupe borné maximal de G(K).

Puisque le sous-groupe H⁰est compact, le groupe de ses K-points H⁰(K) est borné dans G(K). Par maximalité de U(G)_K(K), on a alors

U(G)_K(K) = H⁰(K).

Comme H⁰(resp. U(G)_K) est strictement affinoïdes, ses K-points sont denses dans H⁰(resp. U(G)_K). L’égalité précédente passe donc aux adhérences dans G^an_K ,

U(G) = U(G)_K(K) = H0(K) = H⁰,

Dans le document Applications de la théorie géométrique des invariants à la géométrie diophantienne (Page 109-113)