Un exemple : les représentations homogènes

Ψ∗ TM_T,D¢⊗d ψ⊗d T,D //_{¡MD⊗ β}∗OS ¡ χD(T)¢¢⊗d Ψ∗ T¡M_T,Dd¢ ψT,Dd //_{MDd⊗ β}∗OS ¡ χDd(T)¢ est commutatif.

Démonstration. Il suffit d’appliquer la Proposition 3.12 à l’action de G sur X^ss(L)/H et M_D.

3.4 Un exemple : les représentations homogènes

3.4.1. Représentations homogènes. — Soit S un schéma. Soient n ≥ 1 un nombre entier, e = (e1, . . . , e_n)

un n-uplet de nombres entiers strictement positifs et E = (E1, . . . , E_n) un n-uplet de faisceaux deOS -modules localement libres, E_ide rang e_i. On considère les S-schémas en groupes :

GL(E) = GL(E1) ×S· · · ×SGL(En), SL(E) = SL(E1) ×S· · · ×SSL(E_n).

Définition 3.14. Soit F un faisceau non nul deOS-modules localement libres de rang fini. Une

repré-sentation, i.e. un morphisme de S-schémas en groupes,ρ : GL(E) → GL(F) est homogène de poids m = (m₁, . . . , m_n) ∈ Zⁿsi, pour tout S-schéma T et pour tous T-points t₁, . . . , t_nde G_m, on a :

ρ(t1· idE₁, . . . , tn· idE_n) = t^m1

1 · · · t^mn

n · idF.

Exemple 3.15. Soient F un faisceau non nul deOS-modules localement libre de rang fini etρ : GL(E) →

GL(F) une représentation homogène de poids m = (m1, . . . , m_n). Les représentations homogènes sont

stables sous constructions tensorielles :

Construction Représentation Poids d’homogénéité

dual ρ∨: GL(E) −→ GL(F^∨) −m = (−m1, . . . , −mn)

puissance tensorielle r -ième ρ⊗r: GL(E) −→ GL(F^⊗r) r m = (r m1, . . . , r mn) puissance symétrique r -ième Sym^rρ : GL(E) −→ GL¡SymrF¢

r m = (r m1, . . . , r mn) puissance extérieure r -ième Vrρ : GL(E) −→ GL¡VrF¢

r m = (r m1, . . . , r m_n)

Exemple 3.16. Soient F, F⁰des faisceaux non nuls deOS-modules localement libres de rang fini et

ρ : GL(E) −→ GL(F), ρ0: GL(E) −→ GL(F⁰)

des représentations homogènes respectivement de poids m = (m1, . . . , mn), m⁰= (m⁰₁, . . . , m⁰_n). La re-présentation

ρ ⊗ ρ0: G −→ GL(F ⊗ F⁰), ³

ρ ⊕ ρ0: G −→ GL(F ⊕ F⁰) ´

qui se déduit par produit tensoriel (resp. par somme directe) est homogène de poids m + m⁰(resp. est homogène si et seulement si m = m0et si cette condition est satisfaiteρ ⊕ ρ0est un représentation homogène de poids m = m0).

Proposition 3.17. Soient n ≥ 1 un nombre entier et E = (E1, . . . , E_n) un n-uplet de faisceaux deOS -modules localement libres, E_ide rang fini e_i. Soient F un faisceau non nul deOS-modules localement libres de rang fini et

ρ : GL(E) = GL(E1) ×S· · · ×SGL(En) −→ GL(F)

une représentation homogène de poids m = (m1, . . . , m_n) ∈ Zⁿ. Si le faisceau des invariants F^SL(E)de F par le S-schéma en groupes SL(E) = SL(E1) ×S· · · ×SSL(E_n) est non nul, alors :

i. pour tout i = 1,...,n, le rang de Eidivise m_i;

ii. pour tout S-schéma T, pour toute section SL(E)-invariante s de F sur T et pour tout T-point g = (g1, . . . , gn) de GL(E), on a

ρ(g) · s = ¡det(g1)^m1/e1· · · det(gn)^mn/en¢ s.

Par induction sur n on se ramène à le prouver quand n = 1. Soient E un faisceau de OS-modules localement libre de rang fini e, F un faisceau non nul deOS-modules localement libre de rang fini etρ : GL(E) → GL(F) une représentation homogène de poids m. Comme le sous-S-schéma en groupes SL(E) est normal, l’action linéaire de GL(E) sur F induit une action linéaire de GL(E) sur le faisceau des invariants F^SL(E)de F par SL(E) et la représentation correspondante

GL(E) −→ GL^³F^SL(E)´

est homogène de poids m et sa restriction à SL(E) est par définition triviale. On se ramène donc à prouver l’énoncé suivant :

Lemme 3.18. Soient E un faisceau deOS-modules localement libre de rang fini e, F un faisceau non

nul deOS-modules localement libre de rang fini etρ : GL(E) → GL(F) une représentation homogène de poids m.

On suppose que la restriction deρ au S-schéma en groupes soit triviale, c’est-à-dire, le S-schéma en groupes SL(E) soit contenu dans le noyau deρ. Si on note

e

ρ : Gm= GL(E)/ SL(E) −→ GL(F) la représentation déduite par passage au quotient, on a :

i. le nombre entier d = rkE divise le nombre entier m ;

ii. la représentation_eρ est homogène de poids m/d, i.e., pour tout S-schéma T et pour tout T-point t du S-schémas en groupes Gm, on a :

e

ρ(t) = tm/d

· idF.

En particulier, pour tout S-schéma T et pour tout T-point g du S-schémas en groupes GL(E), on a : ρ(g) = det(g)m/d

· idF.

Démonstration. Pour tout S-schéma T et pour tout T-point t du S-schéma en groupes G_m, par défi-nition de représentation homogène, on a :

ρ(t · idE) = t^m· idF. (3.4.1)

Puisqu’on a supposéρ =eρ ◦ det, d’autre côté on a :

On considère le morphisme de S-schémas en groupesλ : Gm→ GL(E), t 7→ t · idE. Les équations 3.4.1 et 3.4.2 se reformulent en disant que le diagramme

t _  Gm λ //  GL(E) ρ  t^e Gm e ρ //_GL(F) (3.4.3)

est commutatif (e est le rang de E).

Quitte à recouvrir le schéma S par des ouverts affines, on peut supposer que le schéma S soit un schéma affine Spec A et que les faisceaux deOS-modules E, F soient libres.

Soit v₁, . . . , v_f une base du faisceau deOS-modules libre F ( f le rang de F). Soit v^∨₁, . . . , v^∨_f la base du faisceau deOS-modules libre F^∨duale à la base v₁, . . . , v_f, c’est-à-dire la base définie par v_i^∨(v_j) = δi j

(delta de Kronecker). À travers l’isomorphisme canonique Hom(F, F) = F^∨⊗ F les éléments xi j= v^∨_j ⊗

v_i pour tout i , j = 1,..., f définissent une base du faisceau de OS-modules libre Hom(F, F) : le fais-ceau quasi-cohérent enOS-algèbres SymOSHom(F, F) est alors isomorphe au faisceau quasi-cohérent enOS-algèbres associé à la A-algèbre A[x_{i j}: i , j = 1,..., f ].

Les morphismesρ ◦ λ eteρ correspondent respectivement à des homomorphismes de A-algèbres (ρ ◦ λ)^],_eρ^]: A[x_{i j}: i , j = 1,... f ]

· 1

det(xi j) ¸

−→ A[t , t⁻¹].

Avec ces notations, affirmer que la représentationρ est homogène de poids m est équivalent à dire que pour tout i , j = 1,..., f on a :

(ρ ◦ λ)^](x_{i j}) = δi jt^m. (3.4.4)

D’autre part pour tout i , j = 1,..., f l’image de l’élément xi j par l’homomorphisme_eρ]_{s’écrit sous la} forme

e

ρ^](x_{i j}) =^X

r ∈Z

αi j rt^r, (3.4.5) avec lesαi j r ∈ A. D’après la commutativité du diagramme 3.4.3 et en vertu de 3.4.4 et 3.4.5, pour tout i , j = 1,..., f on a :

δi jt^m= (ρ ◦ λ)^](xi j) =^X

r ∈Z

αi j rt^er.

Il existe donc un nombre entier n₀tel que m = er0, i.e., le rang e de E divise le nombre entier m. De plus, le coéfficientαi j r0est égal à 1 et, pour tout r 6= r0, le coéfficientαi j r est nul ; en particulier, pour tout i , j = 1,..., f , on a :

e

ρ^](x_{i j}) = t^m/eδi j.

En d’autres termes, la représentation_eρ est homogène de poids m/e, ce qui termine la preuve. 3.4.2. Application de la construction générale. — Soient S un schéma noethérien, n ≥ 1 un nombre entier et e = (e1, . . . , en) un n-uplet de nombres entiers strictement positifs. On considère les S-schémas en groupes réductifs

G := GL(e1)_S×S· · · ×SGL(e_n)_S H := SL(e1)S×S· · · ×SSL(en)S.

Soient F un faisceau non nul deOS-modules localement libre de rang fini etρ : G → GL(F) un mor-phisme de S-schémas en groupes. Le S-schéma en groupes G agit sur le S-schéma projectif et plat X =

P(F) et de manière équivariante sur le faisceau inversible L = OF(1). On considère l’ouvert des points semi-stables X^ss(L) de X sous l’action du S-groupe réductif H et

π : Xss (L) −→ X^ss(L)/H := ProjS Ã M d ≥0 ³ Sym^dOSF^´H ! le morphisme quotient.

À tout n-uplet E = (E1, . . . , E_n) de faisceaux deOS-modules localement libres de rang fini, avec rk E_i=

eion associe le G-torseurs

T_E:= IsoS(E₁,Oe1

S ) ×S· · · ×SIso_S(E₁,Oe_n

S ).

Par abus de language on parlera de formes tordues par E au lieu de formes tordues par TE et on le désignera avec un E en indice. Avec cette convention, on a

G_E= GL(E1) ×S· · · ×SGL(En)_S, H_E= SL(E1) ×S· · · ×SSL(E_n)_S,

XE= P(FE), L_E= OFE(1),

où F_E est la forme de F tordue par E. Le S-schéma en groupes G_E agit sur le S-schéma projectif et plat X_E= P(FE) et de manière équivariante sur le faisceau inversible L_E= OFE(1). On considère l’ouvert des points semi-stables X^ss_E(L_E) de X_Esous l’action du S-groupe réductif H_Eet

πE: X^ss_E(L_E) −→ X^ss(L_E)/H_E:= ProjS Ã M d ≥0 ³ Sym^dOSF_E^´HE ! le morphisme quotient.

Théorème 3.19. On suppose que la représentationρ : G → GL(F) soit homogène de poids m = (m1, . . . , m_n) ∈

Zⁿ. Alors, l’action du S-schéma en groupes G sur le S-schéma X^ss(L)/H est triviale et pour tout n-uplet de faisceaux deOS-modules localement libres de rang fini E = (E1, . . . , E_n), E_i de rang e_i, il existe un isomorphisme de S-schémas

ΨE: X^ss(L)/H −→ X^ss_E(L_E)/H_E.

De plus, si le schéma S est de type fini sur un schéma universellement japonais, pour tout nombre entier assez divisible D ≥ 1, il existe un isomorphisme de faisceaux inversibles sur X^ss(L)/H,

ψE,D:Ψ∗ EM_E,D−→ MD⊗ β^∗ n O i =1 (det Ei)^⊗miD/ei

tel que, pour tout nombre entier d ≥ 1, le diagramme ¡ Ψ∗ EM_E,D¢⊗d ψ⊗d E,D // Ã M_D⊗ β^∗ n O i =1 (det Ei)^⊗miD/ei !⊗d Ψ∗ E¡M_E,Dd¢ ψE,Dd //_M⊗d D ⊗ β^∗ n O i =1 (det Ei)^⊗miDd /ei est commutatif.

Démonstration. Pour tout nombre entier d ≥ 1, la représentation qui induit l’action linéaire du

S-schéma en groupes G sur les sections globales du faisceau inversibleOF(d ), G → GL(Sym^dF), est ho-momogène de poids d m. D’après la Proposition 3.17, si le faisceau des invariants (Sym^dF)^Hest non nul, alors pour tout i = 1,...,n le rang ei de E_i divise le nombre entier d m_i et G agit par homothéties sur (Sym^dF)^Hà travers le caractère

χd: (g₁, . . . , g_n) 7→ det(g1)^{d m}1/e1· · · det(gn)^{d m}n/en. Pour autant, l’action du G sur le quotient

X^ss(L)/H := ProjS Ã M d ≥0 ³ Sym^dF^´H !

est triviale. Il suffit d’appliquer le Théorème 3.13 pour obtenir l’isomorphisme canonique ΨE: X^ss(L)/H −→ X^ssE(LE)/HE.

On suppose désormais que le schéma S soit de type fini sur un schéma universellement japonais. Soient D ≥ 1 un nombre entier assez divisible et MDun faisceau inversibleβ-ample sur Xss(L)/H. D’après le Théorème 3.13, on peut supposer que MDsoit engendré par ses sections globales respec-tivement àβ : il s’agit donc de calculer le caractère à travers lequel le S-schéma en groupes G agit sur les sections globalesβ∗M_D. Ces dernières s’identifient à travers l’isomorphismeϕDau faisceau des invariants

¡

α∗(L^⊗D)¢H

= (Sym^dF)^H.

Comme rappelé avant, en vertu de la Proposition 3.17 le S-schéma en groupes G agit par homothéties sur (Sym^dF)^Hà travers le caractère

χD: (g₁, . . . , g_n) 7→ det(g1)^Dm1/e1· · · det(gn)^Dmn/en.

Si E = (E1, . . . , E_n) est un n-uplet de faisceau deOS-modules localement libres, E_i de rang e_i, alors le faisceau inversibleO(χD(E)) s’identifie comme G_m,Storseur au faisceau inversible

n

O

i =1

(det Ei)^⊗miDd /ei, ce qui achève la preuve.

Dans le document Applications de la théorie géométrique des invariants à la géométrie diophantienne (Page 188-192)