C ). L’inclusion canonique O A n

$−1(x)⊂U Γ(U,An C). L’inclusion canoniqueOAn

R,x→ OAⁿ_C,$−1(x)induit un isomorphisme de C-algèbres OAⁿ_R,x⊗RC −→ OAn

C,$−1(x).

Proposition 5.7. Pour tout point x ∈ Aⁿ_R, l’anneau localOAn

R,xest noethérien.

Démonstration. On remarque d’abord que la C-algèbreOAn

C,$−1(x)est noethérienne. La fibre$−1(x) est en fait constitué d’un ou deux points de l’espace affine anlytique complexe et on a

OAⁿ_C,$−1(x)= ^Y $(y)=xOAn

C,y.

En tant que produit fini d’anneaux noethériens, l’anneauOAⁿ_C,$−1(x)est noethérien. Soit I un idéal de l’anneauOAⁿ_R,x. L’idéal I ⊗RC de l’anneauOAⁿ_C,$−1(x)est de type fini : il existe donc f1, . . . , fn ∈ I qui l’engendrent. Pour tout f ∈ I il existe a1, . . . , an∈ OAⁿ_C,$−1(x)tels que

f =

n

X

i =1

aifi.

D’autre part, comme f et les fisont fixes sous l’action de Galois, on a

f = ^{f + τ(f )} 2 = n X i =1 a_if_i+ τ(aif_i) 2 = n X i =1 a_if_i+ τ(ai) f_i 2 = n X i =1 µai+ τ(ai) 2 ¶ fi. Pour tout i = 1,...,n la fonction

bi:=^{ai+ τ(ai)} 2 est fixe sous l’action de Galois et elle appartient donc àOAn

R,x. Les fonctions f₁, . . . , f_n∈ I engendrent alors l’idéal I dansOAn

R,x, ce qui termine la preuve.

Corollaire 5.8. Soit X un R-espace analytique. Alors pour tout x ∈ X l’anneau local OX,xest noethérien.

Soient U ⊂ Aⁿ_Run ouvert, UC:= $⁻¹U et F un faisceau deOU-modules. L’image inverse$∗F est un faisceau deOU_C-modules et il est muni d’une action équivariante du groupe de Galois Gal(C/R). Pour tout point x ∈ U, les germes des sections de $^∗F autour de la fibre$−1(x),

¡ $∗F¢ $−1(x):= lim −−→ $−1(x)⊂V Γ(V,$∗F)

sont alors munies d’une action du groupe de Galois Gal(C/R) et l’homomorphisme injectif Fx → ($∗F)$−1(x)induit un isomorphisme deOU_C,$−1(x)-modules

En particulier l’homomorphisme naturel de faisceaux de$−1OU-modules,$−1F → $∗F, induit un isomorphisme canonique de faisceaux deOUC-modules,

$−1F ⊗RC −→ $^∗F.

D’autre part, le groupe de Galois agit sur le faisceau deOU-modules$∗$∗F et l’homomorphisme d’adjonction F → $∗$∗F induit un isomorphisme de faisceau deOU-modules

θ : F −→ ¡$∗$∗F¢Gal(C/R)

. (5.1.1)

Proposition 5.9. Soient U ⊂ Aⁿ_Run ouvert et UC:= $⁻¹U. Un faisceau deOU-modules F si et

seule-ment si le faisceau deOU_C-modules$∗F l’est.

Démonstration. Comme le foncteur image inverse est exact à droite, si F est de type fini,$∗F l’est aussi. On suppose donc que l’image inverse$∗F soit de type fini. Soit x un point de Aⁿ_R. Il s’agit de trouver un voisinage ouvert U de x et un nombre fini de sections s1, . . . , sn ∈ Γ(U, F) qui engendrent F|U.

On prouve d’abord qu’il existe un voisinage V de la fibre$−1(x) stable sous la conjugaison com-plexe et tel que$∗F soit engendré un nombre fini de sections sur V. Si la fibre$−1(x) de$ en x est constitué d’un seul point y il suffit d’appliquer l’hypothèse de finitude au voisinage de y et de le res-treindre pour le rendre stable sous l’action de Galois. Si la fibre$−1(x) est formée de deux points distincts y₁, y₂on considère pour i = 1,2 un voisinage Vi de y_i tel que$∗F|Vi soit engendré par un nombre fini de sections sur V_i. Puisque l’espace topologique$−1(U) est séparé, on peut supposer que V₁et V₂ne se rencontrent pas. De plus, quitte à les restreindre, on peut aussi supposer que l’ouvert

V = V1t V2

soit stable sous l’action de Galois. Les sections de$∗F sur V s’identifient à la somme directe des sec-tions sur V₁et V₂: l’ouvert V donc convient.

Soit donc V un tel voisinage et soient s₁, . . . , s_rdes sections de$∗F sur V. Comme V est stable sous la conjugaison complexe, les sections de$∗F sur V s’identifient à travers l’injection canonique

Γ($(V),F) −→ Γ(V,$∗F),

àΓ($(V),F)⊗RC : on peut donc supposer que les sections s1, . . . , srsoient fixes sous l’action de Galois,

i.e., elles soient des sections de F sur$(V). Les sections s1, . . . , s_nengendrent alors F|_$(V).

En effet soit x0∈ $(V) et s ∈ Fx0un germe de section de F au voisinage de x0. En mimant l’argument d’avant, on peut trouver un voisinage W de la fibre$x0

stable sous la conjugaison complexe et des sections f₁, . . . , f_r du faisceau structuralOUCtelles que

s =

r

X

i =1

f_is_i.

Comme les sections s et s_isont fixes sous l’action de Galois, on a :

s =^{f + τ(s)} 2 = r X i =1 aisi+ τ( fisi) 2 = r X i =1 fisi+ τ( fi)si 2 = r X i =1 µf_i+ τ( fi) 2 ¶ s_i. Pour tout i = 1,...,r la section du faisceau structural

g_i:= ^{fi+ τ( fi)} 2

est fixe sous l’action de Galois et elle appartient donc àΓ(U,OAⁿ_R). Les sections s₁, . . . , s_r engendrent alors la tige F_x0, ce qui termine la preuve.

Corollaire 5.10. Pour tout R-espace analytique X, le faisceau structuralOXest cohérent en tant que

faisceau deOX-modules.

Remarque 5.11. Soient U ⊂ Aⁿ_Run ouvert, I un faisceau d’idéaux deOUde type fini et Z = Supp(OU/I)

le sous-R-espace analytique fermé définit par le faisceau d’idéaux I. Puisque le morphisme d’espaces localement annelé$ : An

C→ Aⁿ_R est plat, le foncteur image inverse est exact et le faisceau deOUC -modules I_C := $∗I (où U_C := $−1U) est un faisceau d’idéaux deOUC de type fini. On note Z_C := SuppOUC/I_Cle sous-C-espace analytique fermé de U_Cdéfini par le faisceau d’idéaux I_C.

Par platitude de$, on a OUC/I_C= $^∗(OU/I). Il suit de l’isomorphisme (5.1.1) que le morphisme d’espaces localement annelés en R-algèbres$ : ZC→ Z descend en un isomorphisme

Z_C/ Gal(C/R) −→ Z,

où le quotient est pris au sens de quotient catégorique dans la catégorie des espaces localement an-nelés (voir paragraphe 5.1.1).

5.1.6. Détérmination des morphismes à valeurs dans Aⁿ_k. — Soit X un C-espace analytique. La

com-position avec le morphisme naturel d’espaces localement annelés en C-algèbres Aⁿ_C→ Spec C[t1, . . . , t_n] définit une application

ϕC: Mor_C-an(X, Aⁿ_C) −→ MorC-locan(X, Spec C[t₁, . . . , t_n]) = Γ(X,OX)ⁿ. Théorème 5.12 ([Gro61c, Théorème 1.1]). Soit X un C-espace analytique. L’application

ϕC: Mor_C-an(X, Aⁿ_C) −→ Γ(X,OX)ⁿ est une bijection.

Soient k un corps complet pour une valeur absolue archimédienne et X un k-espace analytique. Comme avant, la composition avec le morphisme naturel d’espaces localement annelés en R-algèbres Aⁿ_R→ Spec R[t1, . . . , t_n] définit une application

ϕR: Mor_R-locan(X, Aⁿ_R) −→ MorR-locan(X, Spec R[t1, . . . , tn]) = Γ(X,OX)ⁿ.

Théorème 5.13. Soient k un corps complet pour une valeur absolue archimédienne et X un k-espace analytique. L’application

ϕR: Mor_R-an(X, Aⁿ_R) −→ Γ(X,OX)ⁿ est une bijection.

Démonstration. On suppose d’abord que k soit le corps des complexes C et que X soit un C-espace

analytique. La composition avec le morphisme d’espaces annelés en R-algèbres$C: Aⁿ_C→ Aⁿ_Rdéfinit une application

θ : MorC-an(X, Aⁿ_C) −→ MorR-locan(X, Aⁿ_R), et le diagramme MorC-an(X, Aⁿ_C) θ // ϕC  Mor_R-locan(X, Aⁿ_R) ϕR  Γ(X,OX) Γ(X,OX)

est commutatif. L’applicationϕCétant bijective en vertu du Théorème 5.12, l’applicationϕRest sur-jective : il s’agit donc d’en prouver l’injectivité. Il suffit de montrer que tout morphisme d’espaces localement annelés en R-algèbres f : X → Aⁿ_Rse factorise de manière unique à travers un morphisme de C-espaces analytiques f_C: X → Aⁿ_C.

Soit x ∈ X. Par définition de morphisme d’espaces localement annelés, le diagramme Γ(An R,OAn R) ^f ] //  Γ(X,OX)  OAⁿ_R, f (x) f] x //  OX,x  κ(f (x)) ^f](x) //_{κ(x) = C}

Au niveau ensembliste, l’application f est uniquement déterminée par l’image des sections t_i dans C à travers l’homomorphisme f]_{(x). L’application f}

Cest alors définie par

f_C(x) = (f^](x)(t1), . . . , f]_(x)(t

n))

et, comme f = $C◦ fC, elle est automatiquement continue. De plus, pour tout ouvert U ⊂ Aⁿ_R, il n’existe qu’un seul homomorphisme de C-algèbres

f]

U,C:Γ(U,OAn) ⊗RC −→ Γ(X,OX) rendant commutatif le diagramme suivant :

Γ(U,OAn R) ^f ] U //  Γ(X,OX) Γ(U,OAⁿ_R) ⊗RC f] U,C //_Γ(X,OX)

En vertu de l’isomorphisme canonique de faisceaux de C-algèbres$−1OAn

R⊗RC → OAn

C, on conclut qu’il n’existe qu’un unique morphisme d’espaces localement annelés en C-algèbres fC: X → Aⁿ_C tel que f = $C◦ fC.

On suppose désormais que X soit un R-espace analytique et on va démontrer que l’application ϕRest bijective. La question étant locale sur X on peut supposer d’avoir une immersion de R-espaces analytiquesε : X → Am

R. Soit U le plus grand ouvert de Aⁿ_Roù l’image deε est fermée et I le noyau de l’homomorphisme de faisceaux de R-algèbresε]_:OU→ ε∗OX. On note encore$C: A^m_C → A^m_R le morphisme d’extension des scalaires et on considère l’ouvert U_C:= $−1

C U ⊂ Aⁿ_Cet le faisceau I_C:= $∗

CI d’idéaux deOUCde type fini. On considère le sous-C-epsace analytique fermé X_C= SuppOUC/I_Cdéfinit par le faisceau d’idéaux I_C. Le morphisme$Cinduit un isomorphisme d’espaces localement annelés en R-algèbres

X_C/ Gal(C/R) −→ X

où le quotient est pris au sens de quotient catégorique dans la catégorie des espaces localement anne-lés (voir Remarque 5.11). Se donner un morphisme de R-espaces analytiques f : X → Aⁿ_Rrevient ainsi

à se donner un morphisme Gal(C/R)-équivariant de C-espaces analytiques f_C: X_C→ Aⁿ_C, c’est-à-dire, en vertu du Théorème 5.12, un n-uplet ( f₁, . . . , f_n) de sections globales deOXCfixes sous l’action du groupe de Galois. D’après de l’isomorphisme canonique

Γ(X,OX) = Γ(XC,OXC)^Gal(C/R),

cela revient à un n-uplet ( f₁, . . . , f_n) de sections globales deOX. Cela termine la preuve.

5.1.7. Produit fibré. — Soient X, Y et S des k-espaces analytiques et f : X → S, g : Y → S des mor-phismes de k-espaces analytiques. Un produit fibré de X et Y sur S est un k-espace analytique Z muni de morphismes de k-espaces analytiques p : Z → X, q : Z → Y tels que f ◦ p = g ◦ q satisfaisant à la propriété universelle suivante :

pour tout k-espace analytique Z0muni de morphismes de k-espaces analytiques p0: Z0→ X, q⁰: Z0→ Y tels que f ◦ p⁰= g ◦ q⁰il existe un unique morphisme de k-espaces analytiques (p0, q0) : Z0→ Z tel que p⁰= p ◦ (p⁰, q0) et q0= q ◦ (p⁰, q0).

Théorème 5.14. Soient X, Y et S des k-espaces analytiques, et f : X → S, g : Y → S des morphismes

k-espaces analytiques. Alors, le produit fibré X ×SY existe.

Lemme 5.15. Soient X et Y des k-espaces analytiques et soit f : Y → X un morphisme de k-espaces analytiques. Soient X⁰un k-espace analytique etε : X0→ X une immersion de présentation finie de

k-espace analytique.

Alors le produit fibré X⁰×XY existe, le morphisme de k-espaces analytiquesε × id : X0×XY → Y est une immersion de présentation finie et elle est ouverte, resp. fermée, lorsqueε l’est.

Démonstration. On suppose queε soit une immersion ouverte. Le produit X0×XY est alors donné par le sous-espace analytique ouvert f⁻¹(X⁰) de Y.

On suppose queε soit une immersion fermée de présentation finie. Soit I le noyau de l’homomor-phisme de faisceaux d’anneauxε]_:OX→ ε∗OX0. L’image de l’homomorphisme canonique f^∗I → OY est un faisceaux J d’idéaux deOYde type fini. Le produit X⁰×XY est le sous-espace analytique fermé de Y décrit par l’idéal J.

Le cas d’une immersion en général suit de la combinaison des deux cas précédents.

Lemme 5.16. Soient X₁, X₂des k-espaces analytiques. Pour tout i = 1,2, soit X⁰_i un k-espace

analy-tique etεi: X⁰_i→ Xiune immersion de présentation finie de k-espaces analytiques.

Si le produit X1× X2existe, alors le produit X⁰₁× X⁰₂existe, le morphisme de k-espaces analytiques ε1× ε2: X⁰₁× X⁰₂→ X1× X2est une immersion de présentation finie et elle est ouverte, resp. fermée, lorsqueε1etε2le sont.

Démonstration. On pose Y := X1× X2. D’après le lemme précédent, pour tout i = 1,2, le produit fi-bré Y_i = Y ×XiX⁰_i existe etηi= id ×εi: Y_i → Y est une immersion de présentation finie. Par le lemme précédent, le produit fibré Y₁×YY₂= X⁰₁× X⁰₂existe et le morphisme

η1× η2: X⁰₁× X⁰2= Y1×YY₂→ Y = X1× X2 coïncide avec le morphismeε1× ε2.

Lemme 5.17. Soient X et Y des k-espaces analytiques. Soient {X_i}_{i ∈I}un recouvrement ouvert de X et

{Y_j}_{j ∈J}un recouvrement ouvert de Y. Si, pour tout i ∈ I et pour tout j ∈ J, le produit Xi×Yj existe, alors X × Y existe.

Démonstration. Pour tout i ∈ I et j ∈ J soit Zi j= Xi×Yj. Pour tous i , i0∈ I et pour tous j , j⁰∈ J, en vertu du lemme précédent, le produit

Z_{i j ,i}0j0= (Xi∩ Xi0) × (Yj∩ Yj0)

existe et s’identifie à un ouvert de Zi jet Z_i0j0. Ces isomorphismes permettent de recoller les Zi jen un espace analytique Z, muni de deux projections p : Z → X, q : Z → Y. On vérifie aussitôt que Z est un produit de X et Y.

Soient X, Y des k-espaces analytiques. Pour prouver que X × Y existe on peut se ramener, grâce aux lemmes précédents, au cas où X = A^m_k et Y = Aⁿ_k: par la propriété universelle de l’espace affine, le produit de A^m_k et Aⁿ: k est A^m+n_k .

Soient f : X → S, g : Y → S des morphismes de k-espaces analytiques. Le produit fibré X×SY s’iden-tifie au produit fibré

(X × Y) ×S×SS //  S ∆  X × Y ^{f ×g} //_{S × S}

On conclu grâce au lemme suivant :

Lemme 5.18. Soit S un k-espace analytique. Alors le morphisme diagonal∆S: S → S × S est une

im-mersion de présentation finie.

Démonstration. D’après les lemmes précédents, on peut supposer S = Aⁿ_k. Dans ce cas S × S = A²ⁿ_k et, si t₁, . . . , t_2n sont les coordonnées de A²ⁿ_k , le morphisme diagonal s’identifie à l’immersion du sous-espace analytique fermé décrit par l’idéal engendré par les éléments t_{i +n}− ti avec i = 1,...,n. 5.1.8. Complexification. —

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