Invariance par sous-groupes compacts

8.4.1. Définitions. — Soit k un corps complet pour une valeur absolue | · |. Soit X un k-espace analy-tique muni d’une l’action d’un k-groupe analyanaly-tique G. Soientσ,prX: G × X → X respectivment le mor-phisme de k-espaces analytiques définissant l’action de G et la projection sur X, et soit pr_G: G×X → G la projection sur G.

Définition 8.25. Soit F ⊂ |G| une partie et Y un ensemble. On dit qu’une fonction u : |X| → Y est

F-invariante (ou F-invariante sous l’action de F) si les applications composéesσ∗u, pr∗

Xu : |G × X| → Y coïncident sur pr−1 G (F), σ∗u¯ ¯ pr−1 G(F)= pr^∗Xu¯ ¯ pr−1 G(F).

Si F = {g } est un singleton on dira que u est g -invariante au lieu de {g }-invariante.

Pour toute partie F ⊂ |G|, au niveau ensembliste la partie pr⁻¹_G (F) est la réunion disjointe des parties pr⁻¹_G (g ) avec g ∈ F. En particulier, une fonction u : |X| → Y est Finvariante si et seulement elle est g -invariante pour tout g ∈ F.

Définition 8.26. Soient Y un ensemble et u : |X| → Y une application. Le stabilisateur de u dans G est la partie

Stab_G(u) := {g ∈ G : u est g -invariante} ⊂ |G|.

Soient g ∈ G, K une extension de son corps résiduel complétébκ(g) et gKle K-point du K-espace analytique G_Kassocié. SiσgK: X_K→ XKdésigne l’isomorphisme induit par l’action de g_K, alors le point

g appartient à Stab_G(u) si et seulement si $∗

Ku = σ^∗g_K$∗ Ku,

où$K: X_K→ X est le morphisme d’extension des scalaires.

Proposition 8.27. Soient X un k-espace analytique muni d’une l’action d’un k-groupe analytique G. Soient Y un ensemble et u : |X| → Y une application. Les propriétés suivantes sont satisfaites :

ii. compatibilité aux extension des scalaires : si K est une extension analytique de k, le K-groupe ana-lytique G_Kagit naturellement sur le K-espace analytique X_Ket on a

Stab_G,K($∗

X,Ku) = $⁻¹_G,KStab_G(u)

où$G,K: G_K→ G et $X,K: X_K→ X sont les morphismes d’extension des scalaires.

Définition 8.28. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme géométrique p. Si la valeur absolue de k est archimédienne (resp. non archimédienne) on suppose que la norme géo-métrique p soit hermitienne (resp. non archimédienne).

Le k-groupe analytique GL(E) agit naturellement sur E. Le sous-groupe StabGL(E)(p) de |GL(E)| est appelé le sous-groupe unitaire par rapport à p et noté U(p).

Proposition 8.29. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme géométrique

p. Si la valeur absolue de k est archimédienne (resp. non archimédienne) on suppose que la norme

géométrique p soit hermitienne (resp. non archimédienne). Alors, les propriétés suivantes sont satis-faites :

i. compatibilité aux extensions des scalaires : si K est une extension analytique de k et p_Kla norme géométrique sur le K-espace vectoriel E_:= E ⊗kK déduite par extension des scalaires, on a

U(pK) = $⁻¹K U(p),

où$K: GL(E)_K→ GL(E) est le morphisme d’extension des scalaires ;

ii. si la valeur absolue de k est non archimédienne et la norme géométrique p provient d’un

sous-k◦-moduleE⊂ E tel queE⊗k◦k = E, alors le groupe unitaire U(p) est le k-groupe affinoïde associé

au k◦-schéma en groupes GL(E) ;

iii. le sous-groupe unitaire U(p) ⊂ |GL(E)| est compact.

Démonstration. Le point (i) est un cas particulier de la compatibilité aux extension des scalaires du

stabilisateur (Proposition 8.27).

Pour (ii), soient g un point de GL(E), K =bκ(x) son corps résiduel complété et gK: E ⊗kK → E ⊗kK l’isomorphisme de K-espaces vectoriels associé. Le K^◦-moduleE_k◦⊗K^◦s’identifie au sous-K^◦-module de E ⊗kK formé par les éléments t tels que

|t (x)| ≤ 1 pour tout x ∈ V(E ⊗kK) tel que p_K(x) ≤ 1

(où p_Kest la norme géométrique sur E ⊗kK déduite par extension des scalaires). Le point g appartient alors au sous-groupe unitaire U(p) si et seulement si l’isomorphisme gK se restreint à un isomor-phismeE⊗k◦K^◦→E⊗k◦K^◦, c’est-à-dire, il définit un K^◦-point du k^◦-schéma GL(E).

Pour (iii), si la valeur absolue de k est archimédienne, le résultat est connu par k = C et dans le cas

k = R se déduit du cas complexe par proprété topologique du morphisme d’extension des scalaires.

Si la valeur absolue est non archimédienne, en vertu du Théorème 8.21, il existe une extension ana-lytique K de k telle que la norme géométrique p_Ksur E_K:= E ⊗kK provient d’un sous-K◦-module libre

E⊂ E qui engendre EK. Le sous-groupe unitaire U(p_K) coïncide alors avec le sous-groupe affinoïde de GL(E) déduit du K◦-schéma en groupes GL(E). En particulier U(p_K) est compact et par proprété topologique du morphisme d’extension des scalaires$K: GL(E)_K→ GL(E), le sous-groupe U(p) est aussi compact.

8.4.2. Cas archimédien. — Soit k un corps complet pour une valeur absolue archimédienne. On rap-pelle tout d’abord que si G est un groupe topologique compact, il existe une unique mesure sur G, dite mesure de Haar et notéeµG, invariante par multiplication à gauche (et donc à droite) et de masse totale 1.

Proposition 8.30. Soient E un k-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action linéaire d’un

k-groupe analytique G. Alors pour tout sous-groupe compact H ⊂ |G|, il existe une norme géométrique

hermitienne H-invariante sur E.

Démonstration. On suppose d’abord k = C. Dans ce cas les points de l’espace topologique sous-jacent

au C-espace analytique G coïncident avec les C-points de G. En particulier, |G| est un groupe topolo-gique localement compact et le sous-groupe H est un groupe topolotopolo-gique compact. Pour toute norme géométrique hermitienne p sur E, la fonction

Z

H

p dµH: x 7→ Z

Hp(g · x) dµH(g ) est une norme hermitienne H-invariante.

Si k = R, soient GCle C-groupe analytique qui se déduit par extension des scalaire et$ : GC→ G le morphisme d’extension des scalaires. L’image inverse H_C:= $⁻¹(H) de H dans G_Cest un sous-groupe compact du groupe topologique |GC|. Soit p une norme géométrique hermitienne sur E et pCla norme géométrique hermitienne sur E_C:= E ⊗RC qui se déduit par extension de scalaires. La fonction

Z HC p_CdµH_C: x 7→ Z HC p_C(g · x) dµH_C(g )

est une norme hermitienne H_C-invariante sur E. De plus, puisque H_Cest stable sous l’action de Gal(C/R), pour tout x ∈ V(E)Con a

Z H_C p_C(g · x) dµHC(g ) = Z H_C p_C(g · x) dµHC(g ) = Z H_C p_C(g · x) dµHC(g ) = Z HC p_C(g · x) dµHC(g ). Autrement dit, la norme géométrique hermitienneR

HCpCdµH_Cest invariante sous l’action de Galois et elle descend donc en une norme géométrique hermitienne sur E.

Corollaire 8.31. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Alors,

i. maximalité : les sous-groupes unitaires par rapport à une norme géométrique hermitienne sur E sont maximales (par rapport à l’inclusion) parmis le sous-groupes compactes de |GL(E)| ; ii. conjugaison : si p, q sont des normes géométriques hermitiennes sur E, il existe un k-point g de

GL(E) tel que

U(q) = g U(p)g⁻¹.

8.4.3. Cas non archimédien. — Soit k un corps complet pour une valeur absolue non archimédienne. Proposition 8.32. Soient E un k-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action linéaire d’un

k-groupe analytique G. Alors pour tout sous-groupe compact H ⊂ |G|, il existe une norme géométrique

non archimédienne H-invariante sur E.

Démonstration. Soientσ : G×V(E) → V(E) le morphisme de k-espaces analytiques définissant l’action de G sur E et pr_G: G × V(E) → G la projection sur G. Puisque l’application continue canonique

est propre au sens topologique, la restriction deσ à pr−1 G H, σH: |pr⁻¹_G H| −→ |V(E)|

est une application continue et propre au sens topologique entre espaces topologiques localement compacts. Soient p une norme géométrique non archimédienne sur E et pr_E: G × V(E) → V(E) la pro-jection sur V(E). Pour tout x ∈ V(E) on pose

p^H(x) := σH↑pr^∗_Xp(x) = sup©p(pr_{X(y)) : y ∈ pr}−1

G H,σ(y) = xª.

Par compacité de H et continuité de p, la fonction p^Hque l’on obtient est à valeurs réels. On va mon-trer que p^Hest une norme géométrique non archimédienne continue.

On remarque tout d’abord que pour tout x il existe une extension analytique K de son corps rési-duel complété_bκ(x) et un K-point h du K-espace analytique GKappartenant à H_Ktel que

p^H(x) = pK(h · x)

(où p_Kest la norme géométrique déduite par extension des scalaires). Puisque l’action de G sur E est linéaire, ceci entraîne que la fonction p^Hest une norme géométrique non archimédienne. Il reste à démontrer la continuité, ce qui achevé dans le Lemme qui suit la preuve (à appliquer avec X = pr⁻¹_G H, Y = |V(E)| et u = pr^∗_Xp, en rappelant qu’une application continue et propre au sens topologique entre

espaces localement compacts est fermée).

Lemme 8.33. Soient X, Y des espaces topologiques, f : X → Y une application continue surjective fer-mée et u : X → R une fonction semi-continue supérieurement (resp. continue). Alors, la fonction

f_↑u : Y // _R

y  _{// sup} f (x)=y

u(x)

est semi-continue supérieurement (resp. continue).

Démonstration. Il s’agit de montrer que pour tout nombre réelα ∈ R, la partie Fα:= {y ∈ Y : f↑u(y) ≥ α}

est fermée. D’autre part Fαest l’image de la partie

Eα:= {x ∈ X : u(x) ≥ α}.

Par semi-continuité supérieure deα, la partie Eαest fermée et donc son image f (Eα) = Fαest fermée. On suppose désormais que la fonction u soit continue. On considère la partie des points maximaux sur les fibres de f ,

X^max:= {x ∈ X : f^∗f_↑u(x) = u(x)}.

Un point x ∈ X appartient à X^maxsi et seulement si

f^∗f_↑u(x) − u(x) ≥ 0.

Comme la fonction f∗f_↑u est semi-continue supérieurement et la fonction u est continue, la fonction f∗f_↑u − u est semi-continue supérieurement. En particulier, la partie des points maximaux X^maxest

fermée dans X. La restriction de f à X^max, f : X^max→ Y, est alors fermée et, par définition de point maximal, on a le diagramme commutatif d’espaces topologiques

X ^f //_Y f_↑u  X^max? OO u //_R

Pour toute partie Y de R, l’image réciproque de Y par f_↑u est alors fermée si et seulement si l’image

réciproque de Y par u est fermée. La fonction f_↑u est donc continue.

Corollaire 8.34. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Alors,

i. maximalité : les sous-groupes unitaires par rapport à une norme géométrique non archimédienne continue sur E sont maximales (par rapport à l’inclusion) parmis le sous-groupes compactes de | GL(E)| ;

ii. conjugaison : si p, q sont des normes géométriques hermitiennes sur E, il existe une extension analytique de K et un K-point g du K-groupe analytique GL(E)_Ktel que

U(q_K) = g U(pK)g⁻¹.