Morphismes d’espaces analytiques

Soient k un corps complet pour une valeur absolue | · |, X, Y des k-espaces analytiques et f : X → Y un morphisme de k-espaces analytiques.

1.2.1. Extension des scalaires. — Soient K une extension analytique du corps k et f_K: X_K→ YKle

morphisme de K-espaces analytiques déduit par extension des scalaires. Le diagramme d’espaces lo-calement annelés en k-algèbres

X_K ^fK // $X  Y_K $Y  X ^f //_Y est commutatif.

Proposition 1.5 (Compatibilité à l’extension des scalaires). Soit f : X → Y un morphisme de k-espaces analytiques. Soient K une extension analytique du corps k et f_K: X_K→ YKle morphisme de K-espaces analytiques déduit par extension des scalaires.

Si$X: X_K→ X, $Y: Y_K→ Y désignent les morphismes d’extension des scalaires, on a $∗

Yf_↓u = (fK)_↓$∗ Xu.

L’inégalité$∗

Yf_↓u ≤ (fK)_↓$∗

Xu suit de la fonctorialité (Proposition 1.2). L’inégalité$∗

Yf_↓u ≥ (fK)_↓$∗ Xu

est une conséquence du lemme suivant.

Lemme 1.6. Soient f : X → Y un morphisme de k-espaces analytiques et x, x⁰∈ X des points tels

que f (x) = f (x⁰). Il existe une extension analytique K de k et des K-points xK, x⁰_Kde XKtels que i. le point x_K(resp. x⁰_K) s’envoie sur x (resp. x⁰) par le morphisme canonique d’extension des

sca-laires X_K→ X ; ii. les images de x_Ket x0

Kpar le morphisme f_K: X_K→ YK, déduit par extension des scalaires, coïn-cident.

Dans le cas archimédien, le résultat est trivial pour k = C et, dans le cas k = R, découle par action de Galois. Il reste à le prouver dans le cas où k est un corps complet pour une valeur absolue non-archimédienne.

Démonstration. Soient V un voisinage affinoïde du point f (x) = f (x⁰) et A := Γ(V,OY). Il existe des voisinages affinoïdes U et U⁰respectivement de x et x⁰dans X tels que leur image par f soit contenue dans V. On désigne par B et B⁰les sections du faisceau structuralOXrespectivement sur U et U⁰. Le morphisme f : X → Y détermine par restriction des morphisme de k-espaces analytiques f : U → V, f : U⁰→ V et induit donc des homomorphismes de k-algèbres affinoïdes

On note encore x et x0les morphismes canoniques B →κ(x), Bb 0→bκ(x0). Puisque les images de x et x0coïncident, par définition il existe une extension analytique K de k et des homomorphismes isométriques de k-algèbres de Banach

ε :bκ(x) −→ K, ε0:_bκ(x0) −→ K tels que le diagramme suivant

B ^x // b κ(x) ε (( A ϕ 77 ϕ0 '' K B^{0 x0} // b κ(x0) ε0 66

soit commutatif. Les homomorphismes

ε ◦ x : B −→ K, ε ◦ x0: B⁰−→ K définissent, respectivement, des points x_K, x0

Kde X_Ksatisfaisant aux conditions dans l’enoncé. 1.2.2. Cas des cônes affines. — Soit X un cone affine analytique sur k, i.e. le k-espace analytique déduit par analytification du spectre d’une k-algèbre A graduée à degrés positifs et de type fini. L’ho-momorphisme de k-algèbres

A −→ A ⊗ k[t]

qui envoye un élément a de degré d en a ⊗ t^d définit un morphisme de k-espaces analytiques

h : A¹× X −→ X appelé homothétie ou multiplication par les scalaires.

Définition 1.7. Soit X un cône affine analytique sur k. Une application u : |X| → R+est dite 1-homogène

si le diagramme suivant |A¹× X| // |h|  |A¹| × |X| ^u×|·| //_{R+× R+} µ  |X| ^u //_R+

est commutatif (µ désigne la multiplication de nombres réels positifs).

Proposition 1.8. Soient A, B des k-algèbres graduées à degrés positifs et de type fini, etϕ : B → A un

homomorphisme homogène de degré D > 0. Soient X et Y l’analytification des spectres respective-ment de A et B, et f : X → Y le morphisme de k-espaces analytiques induit par ϕ.

Soit u : X → R+une application semi-continue supérieurement, 1-homogène et propre au sens topologique. Si X^min_f (u) est fermé, alors la restriction f : X^min_f (u) → Y de f à X^min_f (u) est propre au sens topologique.

Remarque 1.9. Soit n ≥ 1 un nombre entier et d = (d1, . . . , d_n) un n-uplet de nombres entiers

stricte-ment positifs. La k-algèbre k[t₁, . . . , t_n]_ddes polynômes en n variables de poids d est la k-algèbre k[t₁, . . . , t_n] munie de l’unique graduation deg_dtelle que pour tout i = 1,...,n on ait

On désigne par Aⁿ_d l’analytification du spectre de cette algèbre graduée.

Soit A une k-algèbre graduée de type fini quelconque et soient a_isont des générateurs homogènes de A. Si deg a_i= di, l’homomorphisme surjectif de k-algèbres

k[t₁, . . . , t_n]_d //_A

ti  _//a i

est homogène de degré 1.

Démonstration. Quitte à prendre des générateurs homogènes de la k-algèbre de type fini B on peut

supposer Y = Aⁿ_d.

On suppose par l’absurde que la restriction de f à X^min_f (u) ne soit pas propre au sens topologique. Puisque u est propre au sens topologique il existe suite de points minimaux, {x_i}_{i ∈N}, tels que leurs images f (x_i) soient contenues dans un compact, et u(x_i) tend vers +∞ lorsque i tend vers infini.

Pour tout i ∈ N, il existe une extension analytique Kitelle que le corps résiduel complété_bκ(xi) de xi

se plonge de manière isométrique dans Ki et telle que u(xi) appartient au groupe des valeurs |K^×_i| de Ki. Soitλiun élément de Kitel que |λi| = u(xi) et soitx_eil’image dans X du K-point

x_i

λi

à travers l’application canonique X(K_i) → X.

Par homogénéité de u, les pointsx_eisont encore minimaux et u(x_ei) = 1. Les pointsxe_isont contenus dans la partie compacte {x : u(x) = 1} (u est propre au sens topologique). Par compacité séquentielle, on peut supposer que la nouvelle suite_ex_i converge vers un pointx._e

Par construction u(x) = 1 et_e ex est minimal (X^min_f (u) est fermé).

Le morphisme f est donnée par des polynômes f1, . . . , fr : puisqueϕ est homogène de degré D, le polynôme fαest homogène de degré Ddα. Pour tout i ∈ N et pour tout α = 1,...,r , on a

| fα⁽xe_i)| = |f_α(x_i/λi)| = ^{| fα(xi)|}

u(x_i)Ddα.

Par hypothèse, les points f (x_i) appartiennent à une partie compacte de Y : les nombres réels | f_α(x_i)| sont donc tous majorés par une constante. Comme les u(x_i) tendent vers infini lorsque i tend vers infini, on a

f (x) = lim_e

i →∞f (_ex_i) = 0.

Cette égalité est absurde : d’un côté on a u(x) = 1 par construction, d’autre côté l’égalité précédente_e

entraîne u(x) = 0 car_e x est minimal.e

Corollaire 1.10. Soient A, B des k-algèbres graduées à degrés positifs et de type fini, etϕ : B → A un

ho-momorphisme homogène de degré D > 0. Soient X et Y l’analytification des spectres respectivement de A et B, et f : X → Y le morphisme de k-espaces analytiques induit par ϕ.

Soit u : |X| → R+une application semi-continue supérieurement (resp. continue), 1-homogène et propre au sens topologique. Si le morphisme f est surjectif, l’application f_↓u est semi-continue

supérieurement (resp. continue) si et seulement si X^min_f (u) est fermé dans X.

Démonstration. Pour brièveté on désigne par X^minles points minimaux. D’après la Proposition 1.4, si f_↓u est semi-continue supérieurement, alors X^minest fermé. On suppose donc que X^minsoit fermé dans X. Puisque f est surjective et l’application u est propre, la restriction

de f à X^minest surjective. En outre, par définition de point minimal sur la fibre, le diagramme d’es-paces topologiques suivant

X ^f //_Y f_↓u  X^min OO u //_R+

est commutatif. L’espace topologique X^minest localement compact car il est sous-espace topologique fermé d’un espace topologique localement compact. D’après la Proposition 1.8 la restriction de f à X^minest propre au sens topologique et donc une application fermée. L’application f_↓u est alors

semi-continue supérieurement (resp. semi-continue) si et seulement si la restriction de u à X^minl’est.