b f−1¡ b f (x)¢ ,V(E/F)an v ¢ pv(x) ,
où [x] ∈ P(E)anest le point défini par x.
En conclusion, pour tout point fermé f -projetable x ∈ P(E), i.e., appartenant à P(E) − P(E/F), et tout représentant non nulx ∈ V(E) (de même corps résiduel de x) on ab
hF( f (x)) = hE(x) + 1 [K(x) : K] X v∈VK deg(v) logdv ¡ b f−1¡ b f (x)b¢ ,V(E/F)an v ¢ pv(x)b
2 Hauteur sur le quotient de la théorie géométrique des invariants
2.1 Cadre et notation générale sur un corps global
Soient K un corps global et VKl’ensemble de ses places. Soient X un K-schéma projectif et L un faisceau inversible ample sur X. Le K-schéma X s’identifie canoniquement au spectre homogène de la K-algèbre graduée de type fini
A :=M
d ≥0
Γ(X,L⊗d).
On suppose qu’un K-schéma en groupes réductif G agit sur le K-schéma X et de manière équiva-riante sur le faisceau inversible L. Le K-groupe réductif agit alors linéairement sur la K-algèbre A et la sous-K-algèbre des invariants
AG:=M
d ≥0
est une K-algèbre graduée de type fini.
Soit Xssl’ouvert des points semi-stables de X sous l’action du K-groupe réductif G et par rapport au faisceau inversible L. L’inclusion AG⊂ A induit un morphisme surjectif G-invariant de K-schémas
π : Xss −→ Y
dit morphisme quotient. Comme la K-algèbre graduée AGest de type fini, pour tout nombre entier D ≥ 1 assez divisible il existe un faisceau inversible ample MDsur Y et un isomorphisme de faisceaux in-versibles sur Xss,
ϕD:π∗MD−→ L|⊗DXss,
compatible à l’action de G. À travers l’isomorphismeϕDles sections globales du faisceau inversible MD s’identifient aux sections globales G-invariantes du faisceau inversible L⊗D. En sous-entendant cette identification, le morphismeπ est alors le morphisme de K-schémas associé à l’inclusion de K-algèbres graduée BD:=M d ≥0 Γ(Y,M⊗d D ) −→ AD:=M d ≥0 Γ(X,L⊗Dd)
Le morphismeπ est alors une projection au sens de la section 1.1 et un point x ∈ X est π-projetable (resp. nonπ-projetable) si et seulement s’il est semi-stable (resp. unstable).
2.2 Rappels des résultats locaux
On revient aux notations générales introduites à la section précédente 2.1. Soit v une place de K et uL,v une norme géométrique continue sur le faisceau inversible L. On considère la fonction des minima sur les orbites de G définie pour tout s ∈ V(L)anv par
uL,vG (s) := inf©uL,v(s0) : s0∈ Ganv · sª .
En termes de métriques sur les sections du faisceau inversible L, pour tout point x ∈ Xsset pour toute section non nulle s ∈ x∗L, on a
kskGL,v(x) = sup
x0∈Ganv ·x
kskL,v(x0)
(ici on a fait un abus du terme métrique car chacun des termes vaut +∞ quand x est unstable). Soitπ[M] : V(L|⊗D
Xss) → V(M) le morphisme surjectif de K-schémas induit par l’isomorphisme ϕD. On considère la norme géométrique sur les fibres deπ,
uM,v:= π[M]↓uL⊗D,v: V(M) −→ R+.
Puisque le morphismeπ est G-invariant, pour tout point s ∈ V(L⊗D) au dessus d’un point semi-stable, on a
uM,v(π[M](s)) ≤ uG L⊗D,v(s).
On suppose que la norme géométrique uLsoit plurisousharmonique en tant que fonction sur V(L) et qu’elle soit invariante sous l’action d’un sous-groupe compact maximal de Ganv . Le Théorème II.2.18 affirme alors que l’inégalité précédent est une égalité et la norme géométrique uM,vdes minima sur les fibres deπ est continue.
Soitµv la mesure de non projetabilité en la place v (par rapport au morphimeπ, au faisceau in-versible L et à la norme géométrique uL) : dans le contexte de la théorie géométrique des invariants on l’appelera plutôt mesure d’instabilité.
En vertu du Théorème II.2.18 la mesure d’instabilitéµv: |Xanv | → [−∞, 0] est une fonction continue pour tout point x ∈ Xanv et tout point non nul s ∈ V(L)anv au dessus de x, on a
µv(x) = log
uGL,v(x)
uL,v(x).
En termes de métriques sur les sections du faisceau inversible L, l’égalité précédente se reformule comme il suit : pour tout point x ∈ Xanv et toute section non nulle s ∈ x∗L on a
µv(x) = inf
x0∈Ganv ·x
kskL,v(x) kskL,v(x0).
2.3 Application aux hauteurs
On revient aux notations générales introduites à la section 2.1. Soient uLune famille adélique de normes géométriques sur le faisceau inversible L etL = (L,uL) le faisceau inversible adélique corres-pondant.
On suppose que pour toute place v, la norme géométrique uv soit plurisousharmonique en tant que fonction sur V(L) et invariante sous l’action d’un sous-groupe compact maximal Uv de Ganv . Pour tout nombre entier D ≥ 1, d’après le Théorème II.2.18 la norme géométrique des minima sur les fibres deπ,
uM,v:= π[M]↓uL⊗D,v: V(M) −→ R+
est continue. En outre, sa construction est compatible à la construction des normes géométriques provenant d’un modèle entier (Corollaire II.2.21).
On assume que la collection de sous-groupes compacts maximaux {Uv: v ∈ VK} soit « adélique », c’est-à-dire, qu’il existe un ouvert non videVdeSK et unV-groupe réductifGtel que pour tout point fermé v ∈Vle sous-groupe compact maximal Uvsoit déduit du K◦v-groupe réductifG×VK◦v. La famille de normes géométriques sur le faisceau inversible MD,
uM,v:=©uM,v= π[M]↓uL⊗D,v: v ∈ VKª ,
est alors adélique. On noteMD= (MD, uMD) le faisceau inversible adélique associé. Définition 2.1. Avec les notations introduites avant, on pose
hmin((X,L )//G) := 1
Dhmin(Y,MD) = inf½ 1
DhMD(y) : y ∈ Y point fermé ¾
Puisque la construction de la métrique des minima sur les fibre est compatible aux puissances tensorielles, la définition de hmin((X,L )//G) ne dépend pas du nombre entier assez divisible D ≥ 1 choisi.
Scholie 2.2. Soient X un schéma projectif muni d’un faisceau inversible ample L. Soit G un K-groupe réductif qui agit sur le K-schéma X et de manière équivariante sur le faisceau inversible L. Soient Xss(L) l’ouvert des points semi-stables de X sous l’action de G et par rapport au faisceau inver-sible L et π : Xss(L) −→ Y := Proj à M d ≥1 Γ(X,L⊗d)G ! le morphisme quotient.
Soient D ≥ 1 un nombre entier divisible et MDun faisceau inversible ample sur Y muni d’un iso-morphisme de faisceaux inversibles sur Xss(L),
ϕD:π∗MD−→ L|⊗DXss(L), compatible à l’action de G.
Soit uLune famille adélique de normes géométriques sur L telle que, pour tout v ∈ VK, la norme géométrique uL,v soit plurisousharmonique et invariante sous l’action d’un sous-groupe compact maximal Uvde Ganv . On suppose qu’il existe un ouvert non videVdeSKet unV-groupe réductifG
tel que pour tout point fermé v ∈Vle sous-groupe compact maximal Uv soit déduit du K◦v-groupe réductifG×VK◦v.
Alors, avec les notations introduites avant on a :
i. la famille de normes géométriques sur le faisceau inversible MD,
uMD=©
π[MD]↓uL⊗D,v: v ∈ VK ª
est adélique ;
ii. pour tout point fermé semi-stable x ∈ Xsson a :
hL(x) + 1 [K(x) : K] X v∈VK deg(v)µv(x) = 1 DhMD(π(x)); (2.3.1)
iii. l’inégalité suivante est vérifiée :
hmin(Xss(L),L ) ≥ hmin((X,L )//G) > −∞.