Premières hypothèses pour la loi de comportement Il paraît donc raisonnable de supposer que la peau est un matériau macroscopiquement

homogène. Cette hypothèse est pertinente dans l’optique d’un calcul par éléments finis car on ne peut pas séparer les propriétés d’un matériau de sa structure. Elle est cohérente vis-à-vis de l’objectif qui est la détermination de la pression de contact et non l’étude de la peau. Dans la grande majorité des références bibliographiques relatives à la peau, même si l’hétérogénéité de la peau est parfois évoquée dans la partie introductive des travaux, l’hypothèse d’homogénéité est systématiquement posée, souvent de façon implicite et l’approche du comportement de la peau est "globale".

Les "lignes de Langer" matérialisent les directions de tension maximale. Si on pratique une incision parallèle aux lignes de Langer, on obtient un écartement des lèvres de l’incision plus petit que dans le cas d’une incision orthogonale à ces lignes [24], [28], [34], [38]. Ces lignes sont à l’origine des rides qui deviennent de plus en plus visibles avec l’âge. Leur localisation est très importante pour le chirurgien qui adapte son geste de manière à minimiser les cicatrices après l’intervention. Ces lignes sont en relation directe avec les caractéristiques d’anisotropie de la peau qui évoluent avec l’âge. Les références bibliographiques ne font état que de la différence de comportement entre les deux directions définies dans le "plan local" de la peau. Cette différence varie selon l’individu, la zone étudiée, l’âge … La connaissance des deux directions d’orthotropie

pas d’intérêt pour sa pratique chirurgicale. Cela explique sans doute qu’elles n’ont pas pu être trouvées lors de la recherche bibliographique. On effectue deux premières hypothèses fortes concernant la peau recouvrant la tête en la supposant homogène et isotrope sachant d’une part qu’elle est essentiellement soumise à une compression transversale de faible amplitude lors du contact avec le masque et d’autre part, que les porteurs de masque sont des sujets relativement jeunes pour lesquels les rides ne sont pas encore très marquées [17], [18], [33]. Les hypothèses d’homogénéité et d’isotropie sont d’ailleurs réalisées dans les deux références ayant trait au contact entre un visage et un équipement de protection [19], [40]. En fait, la tête normalisée du mannequin Hybrid III (qui sert de support à cette étude américaine) est recouverte d’un matériau vinyle qui est naturellement homogène et isotrope à l’échelle macroscopique. Il n’y a donc pas vraiment d’hypothèse ou de choix circonstancié pour l’élaboration du modèle de comportement de la "peau" du mannequin utilisé pour ces études.

La mise en place du masque ne provoque pas d’étirement ou d’enfoncement de la peau au point de la déformer irréversiblement. Il est clair que les déformations auxquelles la peau est soumise lors de l’application de l’équipement de protection sont d’amplitude modérée voire faible ainsi que le confirment les examens visuels d’individus équipés de masques. Cela n’exclut pas la sensation de douleur au cours du temps. Les dommages qui se produisent lors du port sont dus au couplage entre des actions mécaniques et des facteurs biologiques. Sous l’action du masque, les vaisseaux sont comprimés ce qui modifient la pression intra vasculaire et le débit sanguin. Les tissus s’endommagent, changent de caractéristiques et perdent une partie de leur résistance. Les vaisseaux s’écrasent encore plus et réduisent l’irrigation des tissus qui continuent de s’endommager jusqu’à leur dégradation irréversible. L’altération des tissus et l’apparition de la douleur sous la charge ne sont pas abordées dans le cadre de ce travail. L’objectif est de minimiser la pression de contact pour limiter la douleur et augmenter le temps de port et non de modéliser le comportement temporel de l’interaction tête- masque et l’endommagement progressif des tissus cutanés. En outre, un certain nombre d’essais in vitro ont montré que la peau présente un comportement de type viscoélastique [15], [21], [22], [24], [34], [35], [38] mais les effets viscoélastiques ne sont appréciables qu’à des niveaux de contrainte physiologiquement inacceptables [33]. On suppose donc que la peau a un comportement parfaitement élastique, ce qui signifie que dans le diagramme force-déplacement, le chemin suivi lors de la décharge est confondu avec celui suivi lors de la charge. Cela constitue la troisième hypothèse. Pour caractériser un matériau homogène et isotrope travaillant dans son domaine parfaitement élastique, il suffit de disposer du coefficient de Poisson et de la courbe contrainte-déformation obtenue par un essai de traction uniaxiale. Dans la plupart des références bibliographiques étudiées ayant trait à la caractérisation de la loi de comportement de la peau, la peau qui est principalement constituée d’eau, est qualifiée de quasi-incompressible ou d’incompressible, et est assimilée à un élastomère compact sans que soient précisées les conditions expérimentales, les valeurs enregistrées et l’interprétation des mesures. C’est la quatrième hypothèse que nous réalisons dans le cadre de ce travail. Pour de tels matériaux, la valeur du coefficient de Poisson se situe entre 0,45 et 0,50 dans la plupart des références [15], [16], [17], [24], [26], [34], [86], [87], [88], [96], [97]. Le coefficient est supposé égal à 0,45 dans tous nos modèles numériques de tête souple.

nombreux modèles de comportement élastique non linéaire sont proposés. Ils sont généralement basés sur l’évolution de la densité d’énergie de déformation en fonction des invariants du tenseur des dilatations de Cauchy (lois de Mooney-Rivlin)ou des étirements principaux subis par l’éprouvette (lois de Ogden). Les modèles de comportement adoptent quelques hypothèses simplificatrices. Le matériau est supposé homogène, isotrope, soumis à des sollicitations quasi-statiques [3], [8], [68].

Que l’essai soit piloté en force ou en déplacement, on impose de fait un effort et on mesure un allongement. Pour une traction par exemple, la force est convertie en contrainte de Piola-Kirchhoff de 1ère espèce en la divisant par la section initiale de l’éprouvette. L’allongement est converti en étirement en le divisant par la longueur initiale de l’éprouvette, ce qui permet de déterminer la courbe "contrainte-déformation". La densité d’énergie de déformation est la surface comprise entre l’axe des abscisses et la courbe "contrainte-déformation" (Figure IV.1). Par exemple sur cette figure, la surface notée W1 représente la densité d’énergie de déformation lorsque l’éprouvette a

subi une déformation ε1 correspondant au niveau de contrainte σ1. Quand la courbe

« contrainte-déformation » est une droite, l’élasticité est linéaire et la pente de cette droite suffit à caractériser le matériau : il s’agit du module d’Young ou module d’élasticité. Pour un matériau hyperélastique, le comportement est élastique mais non linéaire ce qui signifie que le lien entre la contrainte et la déformation dépend de la déformation.

Figure IV.1 : Densité d’énergie de déformation W

La loi hyperélastique de Mooney-Rivlin [3], [8], [16], [20], [68], [69] présente un bon compromis entre complexité du problème et facilité d’utilisation. Cette loi phénoménologique a la forme générale :

k j k j i i ijk I I I C W ( 3) ( ₂ 3) ( ₃ 1) , , 1 − − − =

∑

où I1, I2 et I3 sont les 3 invariants du tenseur des dilatations de Cauchy, fonctions des

étirements principaux. Leur expression analytique est connue pour des sollicitations mécaniques spécifiques. I3 mesure le rapport entre le volume final de l’échantillon et

son volume initial. Dans le cas d’un matériau incompressible, ce troisième invariant a pour valeur 1 et il n’apparaît donc plus dans la loi de Mooney-Rivlin dont l’expression générale est alors :

W1

σ

ε ε1

j j i i ij I I C W ( 3) ( ₂ 3) , 1 − − =

∑

Les coefficients Cij et leur nombre sont déterminés par identification et recalage à partir

de la courbe expérimentale ou du réseau de courbes expérimentales. Ils sont homogènes à des contraintes et ont pour unité le Pascal dans le système international. Le modèle néo-hookéen et le modèle de Yeoh, cas particuliers de la loi de Mooney-Rivlin, sont respectivement

(

)

(

)

(

)

Il existe des modèles de lois de comportement plus sophistiqués, utilisés pour la modélisation de la peau, comme celle de Hart-Smith, d’Arruda-Boyce [33], [68], [69], [89]. Ces modèles non linéaires sont appropriés pour la modélisation de greffe des tissus, la prévision des déformations lors d’une opération de chirurgie réparatrice, la modélisation du comportement de la langue [88]. Cependant, ils ne semblent pas a priori apporter de valeur ajoutée dans le cadre de la détermination des performances des nouveaux concepts d’équipements de protection des voies respiratoires.