Indépendamment de la manière dont est évaluée la distance de contact, et du traitement numérique associé, la gestion des modes rigides pose un problème. La matrice de raideur est singulière et ne peut donc être inversée : le problème ne peut être résolu. Quand la structure est composée d’une pièce, le problème des modes rigides n’apparaît pas si les conditions aux limites sont correctement définies. Lorsque la structure est un assemblage de pièces indépendantes, dans un certain nombre de cas, la structure ne reste en équilibre que sous l’action du contact, qu’il soit avec ou sans frottement. Tant que le contact n’est pas établi, la structure comporte des modes rigides. C’est par exemple un axe dans un alésage.
Nœud esclave Face maîtresse
Projection
Nœuds de la face maitresse
A B C D E F G 1 2 A B C D E F G 1 2 Nœuds esclaves
Faces maîtresses Nœuds esclaves
grands déplacements) peuvent coexister et doivent alors être gérées par l’algorithme de résolution. Le contact peut être traité comme et en même temps que les autres non linéarités. La résolution est alors dite à « itérations couplées ». Il n’y a aucune restriction particulière et la méthode est simple à mettre en œuvre d’un point de vue programmation. Elle est bien adaptée à la gestion du contact par pénalité ou par multiplicateurs de Lagrange, objet de paragraphes ultérieurs. Cependant, la convergence peut être délicate car il faut tout gérer à chaque itération. Le schéma général de résolution est donné sur la Figure A2.8, indépendamment de la présence éventuelle de modes rigides. La détection du contact et sa gestion font l’objet des paragraphes suivants et ne sont pas explicités dans ce schéma.
Figure A2.8 : Analyse non linéaire, résolution du problème de contact par itérations couplées
Quand le problème comporte des modes rigides, des techniques spécifiques doivent être mises en œuvre. Lorsque tous les degrés de liberté sont traités simultanément, trois techniques peuvent être utilisées pour lever la difficulté.
prédire s’il existe un nœud d’une pièce qui touche un nœud d’une autre pièce ou en est très proche, et qui ne change pas de position relative par rapport à ce nœud lors de la mise en charge. Il suffit alors d’introduire entre ces nœuds des liaisons cinématiques ou même de réaliser un collage entre ces nœuds. En prenant comme exemple l’interaction entre une tête et un masque, cette technique est illustrée sur la Figure A2.9. Les pièces ne sont plus indépendantes et il n’y a plus de modes rigides : il n’y a plus deux structures composant un ensemble dont on étudie l’interaction mais une seule structure dont deux parties rentrent en contact. Rien ne prouve cependant que le choix réalisé a priori soit le bon, si ce n’est l’examen des résultats qui peut amener à modifier itérativement le « nœud commun » : cette technique n’est pas exploitable dans notre contexte car elle nécessite des itérations « manuelles » pour chaque couple tête-masque. La seconde technique consiste à positionner les deux structures, et à introduire entre elles un ensemble de ressorts qui les relie physiquement : il n’existe plus de modes rigides si le modèle comporte suffisamment de ressorts bien positionnés et de conditions aux limites, l’assemblage étant nécessairement contraint en déplacement pour qu’il existe une position d’équilibre (Figure A2.10). Les résultats sont dépendants de la raideur des ressorts et de leur position. Si les raideurs sont insuffisantes, la matrice n’est pas correctement conditionnée, tout se passe comme s’il n’y avait pas de ressorts et le calcul ne tourne pas. Un ou plusieurs des modes rigides ne sont pas éliminés et la matrice de raideur structurale n’est pas inversible. Si la raideur est trop importante, les ressorts ont une influence numérique sur la solution : le modèle conduit à une solution qui n’est pas représentative. Pour éviter ou limiter ces effets numériques, on peut définir une loi de raideur. Tant que les pièces ne sont pas en contact, le ressort a une raideur dépendant de la distance entre les nœuds qu’il relie ; quand les pièces sont en contact, cette raideur est nulle. La pente de la loi dépend de la raideur des deux structures indépendantes. Cette technique est juste un artefact pour éviter les modes rigides, le conditionnement numérique du système global comportant les pièces et les ressorts doit être correct. Cette technique n’est pas utilisée dans le cadre de ce travail (Figure A2.11) car la mise en place des ressorts entre nœuds, définis manuellement pour chaque couple tête-masque, n’est pas compatible avec le grand nombre de simulations envisagées.
La troisième technique consiste à définir une interférence initiale, c’est à dire qu’il y a interpénétration entre les pièces : les modes rigides n’existent plus. Les conditions de contact sont initialement mises en défaut du fait de l’interférence car les bornes sur les déplacements relatifs sont dépassées. C’est une situation peu habituelle pour l’utilisation des techniques de contact. Généralement, on détecte le contact en cours de mouvement et on contraint le déplacement des nœuds qui arrivent en contact. Là, les conditions de contact sont initialement mises en défaut, l’algorithme de contact restaure l’équilibre sous la double action des efforts de contact qui s’opposent à la pénétration et des efforts extérieurs qui accentuent la pénétration (Figure A2.12).
L’annulation de l’interférence peut être réalisée en plusieurs incréments pour améliorer la convergence et limiter les problèmes numériques en cas de forte interférence initiale. Cette technique permet par exemple de simuler le développement du champ de contraintes introduit par un frettage. Lors d’une analyse non linéaire, il est possible de réaliser un calcul d’équilibre initial sous l’action d’une fraction de la charge réelle, ce qui peut avoir un effet stabilisant.
Figure A2.9 : Collage Figure A2.10 : Ressorts Figure A2.11 : Raideur variable
Figure A2.12 : Positionnement numérique