On cherche maintenant la position d’équilibre d’une structure sous charge, sachant qu’il y a certaines restrictions sur le déplacement de certains nœuds du maillage, ces nœuds étant susceptibles de rentrer en contact soit avec une fondation fixe ou mobile, soit avec une autre structure déformable [3], [4], [8], [9], [39], [56]. De fait, certains nœuds ont un déplacement qui n’est pas fixé a priori (nul ou non), mais qui n’est pas non plus complètement libre car ils peuvent rentrer en contact. De manière à repérer les deux parties qui sont susceptibles de rentrer en contact, on appelle l’une des deux pièces l’impactante et l’autre l’impactée, sans préjuger de celle qui a un mouvement (l’une des deux peut être fixe) ou du sens du mouvement. Bien que les structures physiques soient continues à notre échelle, et que les surfaces qui forment leurs enveloppes soient elles- aussi continues, les conditions de contact sont toujours discrètes car du fait même de la technique éléments finis, on discrétise la structure et on modélise son comportement par un ensemble fini de degrés de liberté. Par rapport à une référence et une direction de référence, le déplacement du point matériel A et celui du point matériel B doivent respecter la condition (Figure A2.1) :
d q qA− B ≤
Figure A2.1 : Condition de contact
Deux problèmes se posent : la détection éventuelle du contact, puis son traitement numérique s’il a lieu. Quelle que soit la méthode employée pour la résolution, la gestion du contact est basée sur l’évaluation de la distance normale ou distance de contact, à partir de laquelle on détecte le contact éventuel entre les structures ou parties de
cette « distance » : l’approche nœud à nœud et l’approche nœud sur surface. Dans tous les cas, il ne s’agit pas de la distance au sens mathématique, qui est une quantité toujours positive ou nulle, mais de la différence de position entre deux entités, dans la direction de référence et comptée par rapport à l’entité choisie comme référence. La « distance » peut alors être positive, négative ou nulle.
Les équations de Signorini ci-dessous traduisent le fait que quand il n’y a pas contact, la distance de contact est positive et la force de contact nulle ; quand le contact est établi, la force de contact est non nulle mais la distance de contact est nulle. Dans tous les cas, le produit force-distance est nul.
0 0 0 0 0 = ⇒ ≠ = = > Fd F alors d si F alors d si
En pratique, c’est un peu différent. Ce n’est que lorsque la distance de contact est négative que le contact est numériquement détecté. Si la distance est positive ou nulle, le contact n’est pas établi. Si elle est négative, il y a interférence et il faut gérer cette incompatibilité géométrique. Le traitement du contact et les algorithmes de résolution ne dépendant pas de la méthode utilisée pour le détecter.
0 0 0 0 0 = ⇒ ≠ < = ≥ Fd F alors d si F alors d si
Le nombre de degrés de liberté susceptibles de rentrer en contact est généralement faible par rapport au nombre total de degrés de liberté du modèle. Dans certains logiciels de calcul de structure dont SAMCEF, il est possible de résoudre dans le module d’analyse linéaire un problème comportant du contact. Le système d’équations est ré-ordonné pour séparer ces degrés de liberté de tous les autres. On résout alors « non linéairement » le problème de contact, et linéairement le reste du système d’équations, Dans le cas d’une approche non linéaire classique, c’est tout le système d’équations qui est traité non linéairement, ce qui est alors plus coûteux et ce qui nécessite des compétences en mécanique non linéaire et en analyse numérique.
La résolution d’un problème comportant du contact est nécessairement itérative. Dans le principe, on suppose qu’il n’y a pas de contact et on calcule les déplacements de tous les degrés de liberté. S’il y a des interférences, les bornes autorisées sont dépassées et on applique itérativement des corrections sur le champ de déplacement pour qu’il respecte partout les conditions imposées. La détection du contact, c’est à dire les calculs réalisés pour déterminer la distance et la comparer aux bornes admissibles, peut alourdir inutilement la résolution et augmenter les ressources informatiques vraiment nécessaires.
Certaines parties de structures ne sont manifestement pas soumises au contact sous la charge appliquée et il n’est pas nécessaire de les faire passer dans la boucle de détection. L’utilisateur d’un code de calcul indique généralement quelles sont les entités susceptibles d’être soumises au contact et sur lesquelles les tests doivent être faits, afin de limiter et donc d’optimiser le calcul d’un point de vue informatique. Si les entités sont mal sélectionnées ou en nombre insuffisant, le contact n’est pas détecté et les structures s’interpénètrent.
C’est le premier type de contact développé dans les codes de calcul par éléments finis [3], [8], [9]. La caractéristique principale de ce type de contact est que les maillages des pièces impactante et impactée doivent être « coïncidents » dans la zone de contact, ce qui est une contrainte très forte pour l’utilisateur. Les parties impactante et impactée jouent des rôles parfaitement identiques d’un point de vue numérique. Ce type de contact donne de bons résultats tant que les nœuds restent en vis-à-vis sous la charge, ce qui est l’hypothèse de base de cette méthode : si les mouvements relatifs sont petits, il peut être mis en œuvre dans une analyse non linéaire. Il est exclu de l’utiliser dans le cas de grands déplacements relatifs car la coïncidence des maillages sous charge ne peut pas être assurée, même s’il y a coïncidence des maillages sans charge. Pour toutes les figures de cette annexe, un disque représente un nœud impactant, un carré représente un nœud impacté. On trouve parfois l’appellation « gap element » pour traduire le jeu entre le nœud impactant et le nœud impacté.
Les nœuds impacté et impactant peuvent être initialement superposés, ce qui ne permet pas la détermination automatique par le programme de la direction allant de l’un à l’autre. D’où l’obligation de définir explicitement, pour tous les nœuds impactés, la direction normale selon laquelle est évaluée la distance de contact. Elle peut l’être de deux façons : soit donnée par l’utilisateur dans une direction fixe de l’espace (Figure A2.2), soit orthogonale à la surface de contact qui contient les nœuds impactés (Figure A2.3), ce qui suppose que le maillage soit porté par de la géométrie. Dans le cas de problèmes 2D, la surface se réduit à une ligne de contact, les principes restent les mêmes. Pour un cas de charge donné, les positions d’équilibre peuvent être différentes selon la définition de la direction normale et le mouvement relatif de l’impactant par rapport à l’impacté.
Figure A2.2 : Contact nœud à nœud, direction normale imposée par l’utilisateur
Figure A2.3 : Contact nœud à nœud, direction normale « géométrique »
Si les nœuds impactés appartiennent à des éléments finis de volume, ou à des éléments finis de membrane dans le cas 2D, la direction normale est obligatoirement dirigée vers l’extérieur du volume ou de la membrane. Sachant où est située la matière du coté impacté, le programme détermine automatiquement de quel coté du nœud impacté l’impactant ne peut pas se trouver (Figure A2.4) et jusqu’où peut se déplacer le nœud impactant dans la direction normale, quel que soit le type d’élément fini auquel appartient l’impactant.
Figure A2.4 : Contact avec un élément de volume ou le bord d’une membrane (2D)
Dans le cas où le contact s’établit sur des nœuds appartenant à des éléments de coque, la direction normale peut être dirigée d’un coté ou de l’autre du feuillet moyen, et le programme ne peut détecter tout seul de quel coté il y a pénétration et de quel coté le mouvement relatif est possible. Il faut repérer la normale au nœud, son sens, et en fonction de ce sens, la position possible de la pièce impactante par rapport à l’impactée (Figure A2.5). Les positions initiales peuvent ne pas avoir de réalité physique car il peut y avoir une interférence initiale : le but d’un calcul peut être non seulement de gérer le contact mais également de lever les interférences.
Figure A2.5 : Contact nœud à nœud avec des éléments de coque