Contact et analyse linéaire

On ne s’intéresse, dans ce paragraphe, qu’au contact entre un masque souple maillé avec des éléments de coque et une tête rigide elle aussi maillée avec des éléments de coque. Pour ne pas alourdir le contenu de ce mémoire, l’annexe 2 est entièrement consacrée au contact et de nombreux aspects qui y sont attachés sont exposés.

Notre problème est la détermination de la position d’équilibre du masque sur la tête lorsque les brins sont en tension, sachant qu’il y a des restrictions sur le déplacement

d qA

qB

des nœuds du bourrelet susceptibles d’entrer en contact avec la tête. De manière à repérer les deux parties qui entrent en contact et qui jouent physiquement des rôles parfaitement identiques, l’une des deux pièces est appelée "impactante" et l’autre "impactée", sans préjuger du sens du mouvement et des conditions aux limites. Quand les pièces sont en contact, l’une touche l’autre et réciproquement… Les structures physiques sont continues à l’échelle macroscopique, mais les conditions de contact sont toujours discrètes dans un modèle éléments finis car la structure est discrétisée. Par rapport à une origine prise en A et une direction de référence orientée de A vers B, le déplacement du point matériel A et celui du point matériel B (Figure II.35) doivent respecter la condition :

d q

q_A − _B ≤ (II.13-1)

Figure II.35 : Schématisation de la condition de contact

La caractéristique principale du contact dit "nœud à nœud" est que les maillages des pièces impactante et impactée doivent être coïncidents dans la zone de contact, ce qui est une contrainte très forte pour l’utilisateur. Compte tenu de l’exposé précédent concernant les géométries de la tête du mannequin et du bourrelet du masque, réaliser des maillages paramétrés coïncidents est illusoire, surtout si on imagine le cas général d’une tête de la base de données et d’un design d’équipement de protection.

En supposant que la coïncidence soit aisée à gérer, se pose néanmoins le problème de la connaissance préalable des positions relatives. Même s’il se déplace peu par rapport au visage, on ne connaît pas la position finale du masque à l’équilibre, après qu’il ait "glissé" sur la tête lors de la mise en tension des brins de l’araignée. D’autre part, en supposant que l’on trouve par itérations une position initiale telle que les nœuds du bourrelet ne se déplacent pratiquement pas sous la charge, on s’interroge sur la validité de ce positionnement initial pour une autre tête ou un autre design appliqué sur la tête. Pour les différentes raisons qui viennent d’être évoquées, l’approche "nœud à nœud" du contact n’est pas utilisée pour la résolution du problème. On lui préfère l’approche "nœud sur surface. Sa caractéristique principale est que les maillages des pièces impactante et impactée sont indépendants, ce qui libère l’utilisateur de la contrainte sur le maillage. On justifie a posteriori le fait que le maillage paramétré de la tête ait été réalisé sans qu’aucune contrainte ne lui soit imposée du fait du masque, et réciproquement pour le maillage du masque, exceptée la définition de la zone de contact potentiel.

Des notions complémentaires apparaissent pour ce type de contact. Les nœuds susceptibles d’entrer en contact forment l’ensemble des "nœuds esclaves". Les éléments susceptibles d’être impactés forment l’ensemble des "surfaces maîtresses", mais ce ne sont pas les surfaces au sens de la CAO. On devrait plutôt les appeler "faces maîtresses" pour éviter toute confusion. Ce sont soit les éléments de coque eux-mêmes, soit les faces des éléments de volume. Le problème n’est plus symétrique en termes de données. Les nœuds esclaves et les faces maîtresses ne sont pas de même nature et ne jouent donc pas le même rôle. Ce choix n’est pas arbitraire car les faces maîtresses se situent du coté de la partie maillée la plus grossièrement dans la zone de contact (cf. annexe 2). Dans le cas présent, la tête est choisie comme partie maîtresse.

De manière à valider numériquement certaines des hypothèses réalisées et à mesurer leur influence, les solutions obtenues avec les approches linéaire et non linéaire vont être comparées, bien qu’il paraisse a priori possible et légitime de traiter le problème dans un module d’analyse linéaire. A part les paramètres spécifiques à la stratégie utilisée en analyse non linéaire, les mêmes données doivent donc permettre les deux types d’analyse. Pour éliminer les modes rigides du masque qui subsistent après l’application des conditions aux limites de symétrie et permettre ainsi l’inversion de la matrice tangente lors des analyses non linéaires, on dispose d’au moins trois "astuces" numériques.

La première astuce consiste à imaginer la position finale du masque sur la tête et à déterminer s’il existe un nœud qui ne change pas de position lors de la mise en charge. Il suffit alors d’introduire, entre ce nœud et le nœud de la tête qui se situe "le plus près", des liaisons cinématiques ou même de réaliser un collage entre ces nœuds (Figure II.36). Le masque n’est plus indépendant de la tête et n’a plus de modes rigides. Il n’y a plus deux structures composant un ensemble dont on étudie l’interaction mais une seule structure dont deux zones rentrent en contact. Rien ne prouve cependant que la position "imposée" soit la bonne et l’examen des résultats peut amener à modifier itérativement le "nœud commun". Cette technique n’est pas exploitable pour l’étude paramétrique d’un nouveau design sur les différentes têtes de la base de données. La seconde astuce consiste à positionner le masque face au visage et à introduire entre ces deux structures un ensemble de ressorts pour les lier. Ainsi, la tête étant fixe dans l’espace et le masque étant lié à la tête, il n’existe plus de modes rigides si le nombre et l’orientation des ressorts sont corrects (Figure II.37). Les résultats obtenus avec cette technique sont dépendants de la raideur des ressorts et de leur position. Si la raideur est insuffisante, la matrice n’est pas correctement conditionnée. Tout se passe comme s’il n’y avait pas de ressorts et le calcul ne tourne pas. Si la raideur est trop importante, les ressorts ont une influence numérique sur la solution alors qu’ils n’existent pas dans la réalité. Le modèle conduit à une solution qui n’est pas représentative. Il peut être délicat de calibrer les raideurs, sachant que la solution n’est pas in fine vraiment "physique".

Une variante consiste à définir une loi de raideur entre le nœud du masque et le nœud de la tête liés par le ressort. Tant que le masque et la tête ne sont pas en contact, le ressort a une raideur fonction de la distance de contact. Quand le masque est en contact, cette raideur est nulle et le ressort n’a alors plus d’influence sur la solution du problème.

Distance Raideur

Figure II.36 : Première astuce numérique : collage

Figure II.37 : Deuxième astuce numérique : ressorts de liaison

Cependant, il n’est pas possible d’introduire ce type de loi non linéaire dans un module d’analyse linéaire, ce qui interdit donc à terme la comparaison souhaitée. Cette technique n’est donc pas utilisée pour la résolution de ce problème (Figure II.38).

Figure II.38 : Troisième astuce numérique : raideur variable dépendant de la distance

La troisième astuce consiste à définir entre le masque et la tête une interférence initiale, ce qui n’est pas plus physique que l’introduction des ressorts précédents. L’équilibre initial, pour lequel il n’y a généralement pas d’efforts, est violé. Le masque et le visage ne respectent pas les conditions de contact. C’est une situation peu habituelle pour l’utilisation des techniques de contact. Généralement, on détecte le contact en cours de mouvement et on contraint le déplacement des nœuds qui arrivent en contact. Ici, les conditions de contact sont initialement mises en défaut du fait de l’interférence et l’algorithme de contact restaure l’équilibre sous l’action des efforts de contact qui repousse le masque hors du visage (Figure II.39).

Lors d’une analyse non linéaire, il est possible de réaliser un calcul d’équilibre initial et d’y inclure une fraction de la charge réelle, ce qui peut avoir un effet stabilisant. En effet, le masque est alors soumis à la double action des efforts de contact qui le

repousse hors du visage et des efforts extérieurs qui le plaquent sur le visage. Cette interférence, physiquement irréaliste puisqu’il y a pénétration de la tête par le masque, n’est pas indispensable pour le solveur linéaire de SAMCEF qui découple automatiquement le problème de contact (cf. annexe 2). Elle était indispensable dans la version du module d’analyse non linéaire utilisée à l’époque des premières modélisations pour lesquelles la résolution non linéaire s’effectuait systématiquement par itérations couplées. Elle n’est plus nécessaire aujourd’hui car le solveur non linéaire peut travailler par itérations découplées. Elle présente néanmoins un grand avantage car elle permet de faire en sorte que les nœuds du maillage aient un déplacement moyen dont l’amplitude reste compatible avec l’hypothèse de linéarité géométrique sur la plus grande partie de la zone de contact.

Figure II.39 : Positionnement numérique par interférence initiale

La Figure II.40 montre l’organigramme de la procédure générale. Les opérations qui permettent l’obtention des deux fichiers IGES ont été décrites à partir du paragraphe II.3 et n’y sont pas détaillées explicitement.