Instabilité, modes rigides

III.3.1 Instabilité

Dans le principe, la mise en place de la procédure itérative exposée précédemment est simple. Exceptés le dimensionnement des incréments et l’ajustement des paramètres numériques (seuils de convergence, nombre d’itérations maximum, …), il ne semble pas y avoir de difficulté particulière. Cependant, deux types de problèmes peuvent se poser, nécessitant alors une analyse physique approfondie et l’utilisation de méthodes numériques spécifiques. Pour écrire l’équation d’équilibre lors d’un accroissement de charge sous la forme dF_ext =K_T∆q, une première hypothèse, forte mais implicite, est nécessaire. La matrice tangente doit pouvoir être définie au point d’équilibre ou aux points d’itération atteints. Lorsque cette matrice tangente existe, cette situation n’est pas suffisante pour pouvoir estimer l’accroissement de déplacement. Elle doit être inversible ce qui constitue une seconde hypothèse sur le comportement de la structure car l’accroissement des déplacements pour un incrément de charge est donné par la relation suivante qui fait clairement apparaître la nécessité de l’inversibilité de la matrice KT :

ext

T dF

K q= −1

∆ (Eq III.8)

Le premier type de problème survient si, en un point du chemin d’équilibre, la structure présente une instabilité de type bifurcation stable ou bifurcation instable. Il existe en ce point deux tangentes correspondant aux deux chemins d’équilibre qui se croisent. La matrice tangente n’y est donc pas définie et les stratégies incrémentales classiques ne sont pas utilisables (Figure III.6). Des techniques spécifiques doivent être utilisées pour déterminer le point de bifurcation et la partie post-critique du chemin d’équilibre, par exemple la méthode de Riks. Les bifurcations se développent principalement dans les structures de type poutres, panneaux ou cylindres soumises à un chargement de compression (Figure III.7). Pour notre application, à la vue des géométries et des charges appliquées, les bifurcations ne sont pas à craindre et les techniques spécifiques permettant de suivre le chemin d’équilibre dans ce cas n’ont pas à être mises en œuvre. Le deuxième type de problème peut apparaître pour deux raisons principales. La première raison de non-inversibilité est l’existence d’un point du chemin d’équilibre pour lequel la matrice est singulière, ce qui se traduit graphiquement pour un exemple à un degré de liberté par une courbe présentant une tangente nulle. C’est une instabilité par point limite représentée sur la Figure III.8. Une partie au moins de la structure est

"négative"). Plus le chargement augmente, plus la contribution du second terme composant la matrice tangente s’oppose à la contribution du premier. Il existe une charge dite "critique" pour laquelle la matrice tangente devient singulière :

[

]

K_T =

∫

Figure III.6 : Bifurcations stable (à gauche) et instables (à droite)

Figure III.7 : Types de structures et sollicitations associées pouvant conduire à la bifurcation

Ce type d’instabilité se produit lorsque des structures courbes ou gauches sont sollicitées en flexion. Les charges transversales agissant vers le centre de courbure, il existe un niveau de charge pour lequel la structure change soudain de forme et sa courbure se renverse (Figure III.9). Ce phénomène caractéristique est nommé "claquage de l’arc" ou "snap-through". Pour le masque, plus la tension dans les brins augmente, plus le bourrelet pivote autour de la ligne de contact et plus il est en tension. Il n’y a aucun risque d’instabilité par point limite pour ce problème. Les techniques spécifiques permettant de suivre le chemin d’équilibre et en particulier sa partie post-critique n’ont pas à être mises en œuvre. La seconde cause de non inversibilité de la matrice est beaucoup plus classique. La matrice ne devient pas singulière en cours de calcul mais elle est singulière au démarrage du calcul car la structure possède des modes rigides.

Charge Déplacement Point de bifurcation Bifurcation stable Charge Déplacement Point de bifurcation Bifurcation instable

Figure III.8 : Schéma pour représenter la notion d’instabilité par point limite

Figure III.9 : Types de structures et sollicitations associées pouvant amener à un point limite

III.3.2 Modes rigides

Pour notre application, la tête est fixe mais le masque, après introduction des conditions de symétrie, a encore trois modes rigides (cf. paragraphe II.10.3). Lors de la résolution d’un problème comportant des modes rigides avec le module d’analyse linéaire de SAMCEF, le programme bloque les degrés de liberté associés aux termes diagonaux nuls ou numériquement considérés comme tels lors du processus d’inversion du système. Il génère un message d’avertissement et continue la résolution. La validité des résultats doit être examinée avec attention, la détection de modes rigides n’étant pas automatiquement synonyme de calcul faux. Dans le cas d’une résolution avec un module d’analyse non linéaire, si la matrice de raideur initiale est singulière, en règle générale le processus itératif ne s’enclenche pas car le programme n’est pas en mesure d’effectuer la première itération du premier incrément. Le programme ne prend pas l’initiative de bloquer certains degrés de liberté pour continuer la résolution.

Plusieurs techniques permettent de lever la singularité, mais toutes ne sont pas disponibles dans tous les codes de calcul. Elles dépendent de l’architecture informatique du code et, dans le cas de problèmes de contact, de la gestion des degrés de liberté potentiellement en contact (cf. Annexe 2). On peut essayer de déterminer s’il existe un point du masque en contact avec la tête qui se déplace suffisamment peu pour effectuer un collage préalable. Il n’y a alors qu’une structure et non deux. Il est nécessaire d’examiner en post-traitement la valeur de l’effort interne au point "collé" pour vérifier qu’il tend vers zéro, traduisant ainsi le fait que ce point n’avait pas tendance à se déplacer et que la condition de collage n’a pas perturbé le problème. Cette technique est

Point limite

Déplacement Charge

rien ne garantit à l’avance la pertinence du choix réalisé. Dans le modèle, on peut introduire des ressorts non linéaires entre la tête et le masque. Il n’y a plus deux structures plus ou moins cinématiquement indépendantes, mais une seule. La raideur des ressorts doit cependant être adaptée en fonction de l’ordre de grandeur des termes de la matrice de raideur structurale. Elle doit diminuer avec la distance et doit devenir nulle quand le contact est établi, les ressorts ne servant alors plus à rien. Cette technique, complètement artificielle, peut être utilisée avec tous les modules de calcul non linéaire, et pas seulement avec le code SAMCEF. Elle ne dépend pas de l’architecture du logiciel, il suffit qu’il existe dans la bibliothèque d’éléments un ressort non linéaire. L’ajustement de la loi d’évolution est assez délicate et le repérage des nœuds liés par les ressorts doit être établi pour chaque couple tête-masque. Cette situation n’est pas compatible avec l’objectif industriel s’il s’avère nécessaire de recourir à des simulations numériques dans un module de calcul non linéaire pour traiter le problème.

Si les structures restent indépendantes (pas de collage ni de ressorts), deux cas de figure se présentent pour lever la singularité due aux modes rigides. Le traitement du contact peut être effectué par itérations couplées. Toutes les non linéarités sont gérées simultanément par le solveur. Quelle que soit l’amplitude de la charge initiale et quelle que soit la technique de gestion du contact (multiplicateurs de Lagrange ou la méthode de pénalité), le programme ne converge pas et ne donne donc pas de solution. La matrice de raideur initiale est singulière et le processus d’inversion est bloqué. Il n’y a alors pas d’autre alternative que d’introduire une interférence initiale entre les structures. Le programme peut travailler par itérations découplées. A chaque itération "structurale", une boucle interne résout le problème de contact en supposant que la structure se comporte linéairement autour du point d’équilibre atteint. Puis les degrés de liberté non soumis au contact ont un accroissement de déplacement estimé de façon "classique". Le calcul du résidu permet alors de déterminer si l’estimation est la solution cherchée ou s’il faut itérer. Puisque le programme commence par établir les conditions de contact, il est non seulement possible que les charges initiales soient nulles, mais il n’est même pas obligatoire qu’il y ait une interférence initiale.

Lorsque ce travail a débuté, le module non linéaire du code SAMCEF ne travaillait que par itérations couplées. La définition d’une interférence initiale était donc une nécessité. Une approche linéaire a d’abord été privilégiée malgré la présence de contact, puisque SAMCEF dispose des outils numériques et des fonctionnalités pour traiter ce type de problème. Or dans le module d’analyse linéaire, la stratégie de résolution est évidemment basée sur des itérations découplées car on traite d’abord le contact, puis on effectue classiquement les opérations de restitution sur les degrés de liberté non soumis aux conditions de contact. Dans ce cas, l’interférence n’est pas indispensable. Ayant comme objectif à terme la réalisation d’une approche non linéaire pour comparer les deux solutions, il fallait partir des mêmes configurations, et effectuer le même post- traitement pour pouvoir interpréter et comparer les champs de déplacements puis les champs de pression. Cela explique le choix de l’interférence dans l’approche linéaire, dont le but était, de plus, de minimiser l’amplitude des déplacements du masque (cf. paragraphe II.13). Suite aux évolutions au sein du code SAMCEF, il est maintenant possible de choisir une stratégie à itérations découplée. L’interférence initiale n’est plus utile pour le calcul proprement dit, mais elle permet toujours de réduire les amplitudes de déplacements.

temps charge 1 2 Tensions minimales Tensions maximales