Mise en place d’un modèle de référence

On construit un modèle éléments finis qui permet en premier lieu de retrouver par simulation numérique les résultats analytiques de la formule de Hertz. La Figure IV.10

Données géométriques Chargement Conditions aux limites

Module d’élasticité Calcul par éléments finis Module d’élasticité donné Ed Détermination du diamètre d’empreinte Module d’élasticité calculé Ec Comparaison Formule de Hertz

simulation puisse être réalisée, il faut que les données contiennent une valeur de module désignée par Ed. A partir de données connues (Ed, F, R, h) qui sont

respectivement le module d’élasticité du matériau indenté, la force appliquée, le rayon de l’indenteur (33 mm), l’épaisseur des tissus constituant un matériau homogène et isotrope, on réalise une simulation numérique de l’indentation et on détermine le rayon de l’empreinte. Cette valeur permet, par application de la formule de Hertz, de calculer le module d’élasticité Ec Il y a accord lorsque les deux valeurs Ed et Ec sont égales, ce

qui signifie que toutes les conditions sont remplies pour l’utilisation de la formule de Hertz. L’échantillon de tissus modélisé est un cylindre "de référence", nommé cylindre- test par la suite, de section circulaire. Le rayon de ce cylindre est arbitrairement égal à 50 mm, sa hauteur est arbitrairement choisie égale à 30 mm (Figure IV.11 et Figure IV.12).

Figure IV.10 : Procédure de recalage de l’indentation numérique

Les conditions de contact de type nœud sur surface sont introduites entre les nœuds de la surface supérieure du cylindre et la bille rigide décrite par sa géométrie (ce qui est élémentaire pour ce modèle puisque c’est une sphère) en donnant le rayon et le centre sur lequel est exercé l’effort axial. La détection du contact et sa gestion sont décrits dans l’annexe 2. Le Tableau IV.1 regroupe quelques résultats significatifs obtenus pour deux épaisseurs de tissus différentes. L’enfoncement est celui du point situé sur l’axe de révolution. Il est exprimé en millimètres. La déformation est la déformation dans la direction de la charge appliquée. Elle est définie au sens de Biot par le rapport : ε =∆l/h0

où ∆l est le déplacement vertical du point situé sur l’axe de révolution, h0 est l’épaisseur

initiale. Le paramètre noté "Rayon" est le rayon de l’empreinte issu de la simulation, et dont le calcul est explicité dans le paragraphe suivant. La base est en appui et constitue la condition à la limite : tous ses nœuds sont fixés dans la direction axiale.

Hauteur Indenteur Paroi Base 25 30 50

Figure IV.11 : Schéma de principe du cylindre indenté (diamètre 100 mm, hauteur 30 mm).

Figure IV.12 : Modèle, dimensions et maillage pour l’indentation du cylindre-test

Épaisseur de 30 mm Épaisseur de 15 mm

Enfoncement (mm) 2,021 1,747

Déformation (%) 6,7 11,6

Contacts 35 35

Rayon (mm) ≈ 8,5 ≈ 8,5

Tableau IV.1 : Résultats numériques pour une force d’indentation de 1 N, et pour deux valeurs d’épaisseur du cylindre-test : enfoncement sous l’indenteur, déformation axiale, nombre de

degrés de liberté en contact et rayon de l’empreinte.

L’analyse des résultats démontre que l’application d’une force de 1 N est incompatible avec le respect des hypothèses de linéarité pour un module d’élasticité de 30 kPa. La forme du champ de déplacement est représentée sur la Figure IV.13. Bien que les déplacements paraissent petits, les déformations transversales ne sont pas faibles et les hypothèses de linéarité géométriques ne sont pas satisfaites. Il est très probable que, pour un taux de déformation de cette amplitude, le comportement matériel des tissus est lui aussi non linéaire. Le diamètre d’empreinte est d’environ 17 mm, pour deux épaisseurs sensiblement différentes. Or le développement théorique suppose cette empreinte petite par rapport au rayon de l’indenteur qui est de 33 mm.

Un calcul avec un effort de compression de 0,25 N donne une empreinte de rayon 5 mm environ et un enfoncement de 0,725 mm pour une épaisseur de 30 mm. Expérimentalement, un essai mené avec cette charge a montré que la marque laissée par la bille n’était pas assez prononcée et était assez irrégulière. C’est la raison pour laquelle la masse de la demi-sphère lestée de sable est de 51 grammes (50 N), compromis entre les paramètres enfoncement, diamètre d’empreinte et qualité de la trace laissée sur la peau. Une série de calculs est menée sur le cylindre-test pour une force de valeur 0,5 N, avec différentes conditions aux limites afin de vérifier que le modèle est représentatif d’un milieu semi-infini. Pour mémoire, sa hauteur est de 30 mm, son rayon de 50 mm, son module d’élasticité de 30 kPa. Pour le premier calcul, la base inférieure est en appui sur un support indéformable. Elle peut donc glisser librement dans le plan d’appui. Les parois verticales sont complètement libres, aucune restriction de déplacement n’y est appliquée. Pour le second calcul, la base est encastrée et les parois verticales sont libres. Pour le troisième calcul, la base est encastrée et les parois verticales ont leur déplacement radial bloqué. Le Tableau IV.2 donne l’enfoncement du point situé sur l’axe de révolution et le déplacement radial d’un point situé à l’intersection de la paroi et de la face supérieure du cylindre, exprimés en millimètres. Les déplacements sont pratiquement identiques et le diamètre de l’empreinte reste le même pour les trois calculs. Le cylindre-test et l’effort qui lui est appliqué conduisent à un résultat qui respecte toutes les hypothèses sur lesquelles est bâtie la théorie de Hertz. Les paramètres de l’essai d’indentation (rayon 66 mm et force de 0.5 N) peuvent être considérés comme optimaux pour le matériau dont on veut déterminer le module d’élasticité. Les dimensions du cylindre de référence sont donc suffisantes pour que le milieu soit semi- infini car les conditions aux limites n’ont pas d’influence notable sur les résultats. La charge a une amplitude adaptée, en ce sens qu’elle donne des déplacements compatibles avec les hypothèses de linéarité géométrique pour un module d’élasticité de 30 kPa.

Enfoncement Dépl. Radial

1er modèle 1,302 0,062

2ème modèle 1,233 0,033

3ème modèle 1,216 0

Tableau IV.2 : Comparaison des déplacements pour différentes conditions aux limites, de manière à valider l’hypothèse de milieu semi-infini pour le cylindre-test Figure IV.13 : Indentation "numérique" du cylindre-test, exemple de résultat pour une