La vérification

Le cadre conceptuel a permis de statuer que l’élève qui vérifie porte un regard envers l’acceptabilité d’une réponse ou d’une résolution. La composante vérification s’exerce donc sur le résultat ou la démarche. Cette composante se caractérise par un retour au sens, à la structure ou au contexte du problème. Rappelons que la vérification relève du travail privé de l’élève où il vérifie la vraisemblance du résultat ou de la démarche pour l’espace problème qu’il s’est construit. Nous avons identifié des exemples d’une vérification par un retour à l'anticipation et d’une vérification de la vraisemblance d’un résultat ou d’une démarche ainsi que quelques exemples d’écarts lors de sa mobilisation. Ces exemples permettent de mieux cerner l’enjeu derrière cette composante, un retour au sens.

4.2.5.1 Vérification par un retour à l’anticipation

Comme nous l’avons déjà soulevé, le problème Fête est particulier en ce qui concerne l’anticipation. La question A demande explicitement d’anticiper une propriété de la réponse soit de déterminer si la préparation de la même quantité de sacs par 3 personnes prendra plus ou moins de 120 minutes. L’anticipation devient une nouvelle information, une contrainte à respecter au même titre que les relations, celle-ci pouvant être reprise par l’élève en cours de résolution. Nous remarquons que les retours à l'anticipation sont davantage mis en évidence lorsqu’il y a une contradiction entre l'anticipation et le résultat. Ce constat renforce l'idée que la composante vérification relève du travail privé de l’élève et qu’il demeure un contrôle possible à considérer chez l’élève même

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s’il n’est pas explicité. À titre d'exemple d’un retour à l’anticipation, Gabrielle coordonne la réponse qu'elle a obtenue suite aux calculs, 90 minutes avec l’anticipation obtenue à la question A. Elle explique que « si la vraie réponse ben pour les 4, c'était 120, pis j'ai marqué ici "plus de temps" [en anticipation à la question A], ça peut pas être 90. »

Figure 35 : Traces écrites de Gabrielle pour le problème Fête

La vérification par un retour à l’anticipation permet chez Gabrielle de semer un doute et de constater une contradiction. La vérification amène ensuite Gabrielle à faire un retour sur l’espace problème pour évaluer le travail effectué, puis à proposer un changement qui correspond davantage à la propriété du résultat anticipé, comme en témoignent les traces écrites. Le cas de Gabrielle nous rappelle que la vérification par un retour à l’anticipation implique à la base que l'élève fasse un retour à SA représentation du problème via l’anticipation effectuée dans le but de contrôler la cohérence de sa réponse ou de sa démarche avec cette anticipation. Alice, de son côté, évoque dans ce qui suit une vérification par un retour à la planification des opérations. Elle laisse entendre qu’elle savait déjà comment s’y prendre pour le problème Punch.

« Ben je me suis dit au départ que j'avais déjà une petite idée en tête. Qu'au départ c'était 300 ml de jus de pomme, je me suis dit pour 4 personnes, c'est 100, pis avant d'en arriver à 100, j'ai fait dans ma tête 100 fois 3, pis ça m'a donné 300. Là, je savais que c'était pour 4 personnes, fait que j'ai fait après 4 fois 3, ça m'a donné 12, pis j'ai fait pour tout. J'ai su un peu comment le faire pis j'ai réussi à le faire. » (Alice, Punch)

Une fois le problème terminé, Alice vérifie le fait qu’elle a été en mesure de faire l’opération anticipée (fois 3), tel qu’elle l’avait planifié avant les opérations. Cette vérification permet certes de faire un retour à la structure identifiée en plus de comparer si l’anticipation de la démarche correspond au travail effectué « J'ai su un peu comment le faire pis j'ai réussi à le faire ». Vérifier que l’opérationnalisation de la démarche planifiée est un succès semble indiquer à Alice que cette démarche peut vraisemblablement correspondre à l’espace problème.

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4.2.5.2 Une vérification de la vraisemblance d’un résultat ou d’une procédure

La vérification de la vraisemblance d’un résultat ou d’une procédure est une réflexion de la part de l’élève à propos du degré d’incertitude qu’il a envers sa réponse. Cette réflexion de l’élève vise à accroitre la vraisemblance d’une réponse afin qu’il augmente un peu plus son niveau de certitude. Nous avions remarqué parmi les questionnaires écrits distribués en classe pour la sélection des élèves pouvant participer à l’étude que certains mentionnaient que leur réponse avait du sens. Par exemple, Olivier écrit régulièrement pour justifier qu’il est certain de sa réponse et que celle-ci est sensée.

Figure 36 : Traces écrites d’Olivier pour le problème 2 du questionnaire en classe (réponse erronée 100 kg)

Figure 37 : Traces écrites d’Olivier pour le problème La fête de quartier du questionnaire en classe (réponse correcte 80 minutes)

Au cours des entretiens, il explicite la signification d’une réponse sensée. Pour le problème Punch, il sait que 9 personnes peuvent gouter au mélange de jus, car il explicite la vraisemblance de ce résultat.

Olivier : Le 9 personnes, ben...c'est du calcul mental, mais c'est quand même assez sensé comme réponse.

CH: Ah! C'est quoi une réponse sensée ?

Olivier: Ben...j'aurais pas pu mettre 24 personnes parce que ben...avec le 600 ml...on sait déjà que ça ici, 200 ml de jus d'orange, le jus d’orange, c'est pour 4 personnes...c'est ça, on peut pas mettre plusieurs personnes là. (Olivier, Punch)

Olivier évalue la vraisemblance de la réponse en s’appuyant sur la grandeur des nombres. Ces propos sous- entendent qu’au-delà d'un certain nombre de personnes, comme 24 personnes, la réponse serait refusée. Bien que 9 personnes ne soit pas la bonne réponse (12 personnes), ce résultat demeure vraisemblable pour Olivier étant donné sa grandeur. Le fait de vérifier la vraisemblance d’un résultat permet de faire des liens avec la représentation du problème et implique de réfléchir à la réponse, la mettre en contexte. Nous constatons donc qu’une réponse vraisemblable semble avoir du sens pour l’élève, selon sa lecture, bien qu’il ne soit pas en mesure de certifier que sa réponse est la bonne.

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La vérification de la vraisemblance a pour avantage de semer le doute ou la contradiction. En poursuivant nos exemples avec Olivier, cette fois pour le problème Fête, nous constatons qu’il vérifie à nouveau la vraisemblance du résultat « Ben, je me suis dit que c'est presque impossible...ils sont 3, pis tantôt ils étaient 4 pendant 120 minutes, là ils sont 3, c'est presque impossible qu'ils prennent le même temps » (Olivier, Fête). Olivier explicite que la réponse est presque impossible, ce qui suggère son invraisemblance. Cette composante amène Olivier momentanément vers une autre composante du contrôle opérationnelle, la sensibilité à la contradiction et son dépassement. Il mentionne « J'ai remarqué qu'il restait une chose à faire » et change ses calculs « là faudrait ajouter une personne, vu que là ça va leur prendre plus de temps, une personne de plus, donc 150 [120 + 30] ». Un autre fait intéressant est lorsqu’Olivier obtient la nouvelle réponse, 150 minutes. Il exerce à nouveau une vérification de la vraisemblance sur ce résultat. En effet, il dit à voix haute après un moment d’arrêt suggérant une prise de distance « Ouin, c'est ça. Ça l'a un peu plus de sens 150 minutes... » (Olivier, Fête). Un résultat qui « a un peu plus de sens » avec sa représentation du problème, où il affirme que ça doit prendre plus de temps.

Avec l’exemple d’Olivier, nous avons exemplifié le fait qu’il évalue si la réponse a du sens en contexte. De son côté, Camille parle de vraisemblance de l’ensemble de la démarche. Pour le problème Tartes, elle décrit de manière générale ce qu'elle fait pour vérifier « ben, j'ai vérifié mes données […] est-ce que je peux faire d'autres calculs, est-ce qu'il faut que je fasse d'autres calculs pour trouver ma réponse, pis ben c'est non ». Sous toute réserve, Camille semble poser un regard sur la vraisemblance de la démarche privilégiée et les opérations en s’interrogeant à savoir si la démarche est complète pour la situation proposée. Bien que cet exemple demeure vague, il suggère la possibilité d’une vérification de la vraisemblance de la démarche qui mériterait d’être approfondie par la recherche.

D’autres élèves font autrement pour évaluer la vraisemblance d’une réponse. Pour le problème Tartes, Gabrielle fait d’abord sa propre résolution pour ensuite se rendre compte qu’elle obtient la même réponse que l’élève fictif « Ha! Ça donne exactement la même affaire! (rire)...pis j'ai pas fait la même stratégie ».

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La vraisemblance porte sur le fait qu’elle obtient la même réponse que l’élève fictif (19 dollars) avec ses propres calculs, en résolvant d'abord le problème à sa manière « ben, j'ai refait les calculs un peu comme je l'aurais fait, pis ça m'a donné exactement la même réponse » (Gabrielle, Tartes). Constater que faire le problème autrement et d’obtenir une réponse commune semble lui indiquer que la réponse est la bonne. À ce moment, la vérification par la vraisemblance s’appuie sur ce constat. Cet exemple présente une manière différente de poser un regard critique sur la résolution du problème et semble être un moyen pour l’élève de vérifier si la réponse est vraisemblable.

4.2.5.3 Quelques écarts lors de la mobilisation de la vérification

À l’instar des autres composantes du contrôle opérationnel, nous observons des écarts lors de la mobilisation de la vérification. Ces écarts concernent la manière de mobiliser la vérification. Parmi les vérifications déclarées par les élèves, nous observons que certains d’entre eux ne prennent pas toujours la responsabilité de cette composante. Sarah indique que la vérification de la réponse ne semble pas à priori être sous sa responsabilité lorsqu’elle n’est pas certaine de sa réponse « ben, des fois, je vérifie, ou des fois, quand je suis pas sûre, je le laisse comme ça...parce que, comme l'autre fois, dans un examen, j'étais pas sûre, mais je l'ai laissé comme ça pis je l'ai eu bon. Fait que, souvent je fais ça, des fois je l'ai pas... » (Sarah, Punch). Les propos de Sarah envoient le message qu’elle accorde peu d’importance à son rôle dans la vérification. Parfois, elle le fait, mais pas forcément lorsqu’elle est incertaine. Nous remarquons à cet effet chez quelques élèves une forme de désengagement de la vérification, même s’ils disposent d’un temps illimité pour résoudre.

D’autres élèves demeurent aussi dans le doute face aux résultats obtenus. Par exemple, Judith est incertaine de la stratégie + 3 qu’elle a appliquée pour obtenir le nombre de personnes pouvant gouter au punch (4 + 3 = 7 personnes). Lorsque nous lui demandons ce qu’elle est portée à faire pour être certaine, Judith répond après un moment d’arrêt « ...ben...y'a pas vraiment de trucs ». Les élèves se retrouvent parfois démunis devant le doute, comme nous l’explique Sarah, lors du problème Punch.

Sarah : « Comment vérifier ça...je sais pas trop parce que je sais pas si j'ai la bonne réponse... CH: Donc..tu ne saurais pas comment te vérifier?

Sarah: Ouin. Des fois oui...ça dépend c'est quoi le calcul [...] là dans ça... CH: Sinon...comment vérifier ta réponse, est-ce que tu le fais des fois ? Sarah:...

CH: C'est la même chose, c'est de vérifier le calcul? Sarah: oui

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Pour Sarah, il ne semble y avoir que la justesse du calcul comme moyen possible pour vérifier et être certaine de sa réponse. Elle peut vérifier (refaire les calculs) si elle sait qu’elle a la bonne réponse pour voir si les calculs sont bien faits. Par ailleurs, la justesse des calculs n’est d’aucune aide lorsqu’elle obtient deux réponses différentes dont les calculs sont justes. En effet, pour le problème Tartes, Sarah sait que les calculs de l’élève fictif sont justes. Elle sait aussi que ses propres calculs, bien que différents de l’élève fictif, sont justes. Elle obtient ainsi deux réponses différentes, 19$ et 18$. Elle affirme ne plus savoir comment faire pour savoir quelle est la bonne réponse.

CH: Donc, tu ne savais pas si c'était bon... Sara: ouin

CH: ...tu as fait les calculs...ça c'était plus difficile, de faire les calculs?

Sara: oui, parce que ça m'a pas donné la même réponse, fait que je sais pas lequel...entre les deux

CH: Ok. Est-ce que tu es certaine de ta réponse à toi?

Sara: (elle fait un calcul mental et avec des gestes des doigts)..,hum...quand même…[justesse des calculs]

Sarah semble démunie face au fait qu’elle ne sait pas comment vérifier laquelle des réponses est la bonne, faute de moyens autres que la justesse des calculs. La mobilisation de la composante vérification pourrait être l’un des moyens mobilisés pour contrer le doute et se rapprocher de la certitude, en effectuant un retour au sens accordé à la réponse ou à la démarche. Cet exemple permet de constater que des élèves comme Sarah et Judith semblent démunis lorsque vient le moment de mobiliser la composante vérification.

Par ailleurs, nous remarquons qu’un contrôle axé sur la justesse des calculs amène des élèves à faire un glissement vers la vérification de la vraisemblance de ses calculs pour l’espace problème. Nous développons ce glissement à l'aide des exemples tirés du problème Tartes. Pour ce problème, notons l’effet de la tâche demandée aux élèves, celle de vérifier le travail de l’élève fictif. Dans l’ensemble, les élèves reconnaissent la tâche de vérifier. Pour Judith, le but de la tâche est clair « Il demandait de vérifier si le travail de l'élève était

correct ». Cette tâche semble inciter plusieurs élèves à se centrer sur la justesse du calcul de l’élève fictif comme

moyen de vérifier si la réponse est correcte « On avait pas mal tout, du début, faut pas que l'on cherche grand- chose, il fallait juste s'assurer que les calculs étaient bien faits » (Olivier, Tartes). Olivier refait les mêmes calculs à l’écrit.

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Figure 39 : Traces écrites d'Olivier pour le problème Tartes

Le fait qu’Olivier refait les mêmes calculs nous amène à identifier ce qu’il entend par s’assurer qu’ils sont bien faits « Ben, j'ai refait les calculs, c'était bon, il y avait pas de faute de calcul. ». C’est le seul travail qui sera effectué par Olivier pour justifier le fait qu’il est d'accord avec l’élève fictif. Ainsi, Olivier ne remet pas en cause le sens accordé aux procédures privilégiées ni à la réponse. De plus, le fait que l’élève se glisse vers une structure additive au moment d'ajouter le prix des 3 kilos à celui des 12 kilos déjà calculé passe inaperçu pour Olivier. S’assurer que l’élève n’a pas fait d’erreur de calcul guide Olivier à être certain de la réponse de l’élève fictif, tout comme Ariane et Renaud.

Ariane: ben, je sais que c'est correct parce que j'ai fait le calcul, pis je me suis vérifié deux fois [on observe qu’elle a refait les mêmes calculs] pis ça m'a donné la même réponse fait que moi, je dis que c'est ça. » (Ariane, Tartes)

« Ben, j'ai lu le texte, après j'ai regardé si ça c'était bon [les calculs], j'ai regardé parce qu'ils disent 6 kilos pour 8 dollars, c'est bon, 6 fois 2 égales 12 c'est bon aussi, 8 fois 2 égales 16, c'est bon pis il manque trois kilos pour faire 15 kilos c'est vrai, donc plus 3, 16 plus 3 égales 19. Il paye 19 dollars. » (Renaud, Tartes)

Lorsque nous demandons à Renaud comment il est certain de sa réponse, il répond « Ben, j'ai bien regardé... ». La décontextualisation des nombres et la centration sur la justesse des calculs ne permettent pas d’identifier des calculs qui ne correspondent pas à la structure du problème ou aux relations. En effet, nous pointons chez quelques élèves un glissement, celui de croire que contrôler la justesse des calculs serait l’équivalent de la composante vérification55_{. Les élèves vérifient la justesse de leurs calculs pour attribuer une fausse}

vraisemblance à leur réponse alors que le contrôle sur les nombres et les opérations se limite à la justesse des calculs. Ainsi, nous remarquons que des élèves associent des calculs bien faits à une réponse pertinente. Ce glissement rappelle la mise entre parenthèses du sens (De Corte, 2012) dans lequel les nombres et les opérations sont traités en dehors de la structure mathématique, donc décontextualisés du problème. Afin de développer davantage l’écart par l’absence de la caractéristique de la vraisemblance lors de la vérification, nous observons ce même glissement par d’autres exemples où les élèves justifient qu’ils sont certains que tout est

correct, grâce aux conduites suivantes.

55 _{Selon le cadre conceptuel, la composante vérification consiste à vérifier la pertinence des opérations ou la vraisemblance du sens de}

la réponse en fonction de la structure du problème et nécessite que les opérations et résultats soient contextualisés. Tandis que le contrôle sur les nombres et les opérations, explicité à la section 2.2.2.5 porte sur la justesse des calculs décontextualisés.

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Renaud: « j'ai relu la question pis j'ai re-regardé ma réponse » (Fête)

Camille: « je regarde si mes calculs sont corrects, je regarde si je me suis pas trompée de données à un moment ou à un autre, pis heu...c'est pas mal ça » (Tartes)

Ariane: « Quand j'ai souligné, vu que ça m'aide, j'ai regardé...ici 4 personnes, ok, ça c'est beau, 120 minutes, est-ce que j'ai fait le 120, t'sais, je me regarde comme ça...3 personnes, fait que là, je l'ai fait pis là après, je m'est revérifiée là… » (Fête)

Ariane: « Ben, je sais que c'est correct parce que j'ai fait le calcul, je m'ai revérifiée deux fois (refaire les calculs) pis ça m'a donné la même réponse, fait que moi je dis que c'est ça » (Tartes) Judith: « Ben, parce qu’après ça, j'ai relu le problème, pis j'ai vérifié si j'avais tout fait [suivre les étapes et répondre aux questions selon l’entretien en cours], pis j'avais tout fait » (Punch)

Ces élèves laissent entendre que les conduites déclarées telles que relire, refaire les calculs et suivre une démarche de résolution leur permettent de vérifier la certitude qu’ils ont envers la réponse ou la démarche. Cela dit, l’attention portée à la manière dont ils disent faire cette vérification soulève un écart quant à la mise en place de l’évaluation de la vraisemblance du résultat ou de la démarche. L’analyse plus fine des résolutions effectuées suggère que ces exemples n’impliquent pas une caractéristique de la vérification, celle d’un retour au sens, à la structure ou au contexte. Des élèves comme Sarah mentionnent du même coup « mais ça m’arrive souvent de

ne pas avoir la bonne réponse ». De manière générale, les élèves révisent (lire, refaire, étapes) et si la démarche

ne comporte pas d’erreur à première vue, la réponse est bonne. Ces résultats laissent supposer que même si les élèves affirment s’être vérifiés, cette vérification ne rencontre peut-être pas les caractéristiques soulevées par la recherche. Ce qui laisse entendre que les élèves pourraient avoir une conception de la vérification différente de celle proposée dans le cadre conceptuel.

Un dernier écart observé chez les élèves concerne le fait d’affirmer qu’ils sont certains alors qu’ils ne sont pas en mesure d’expliciter pourquoi ils sont certains de leur réponse ou de leur démarche. En réponse à la question de la chercheure « Qu'est-ce qui fait que tu es certaine? Est-ce que tu as fait des choses pour être certaine? », Sarah, Judith et Vincent répondent, sans mettre en jeu l’évaluation de la vraisemblance de la réponse ou toute autre composante du contrôle opérationnel.