Le contrôle structural - Contrôle exercé lors de la résolution de problèmes mathématiques au pr

2.2 Contrôle exercé lors de la résolution de problèmes mathématiques au primaire:

2.2.1 Le contrôle structural

En résolution de problèmes, la représentation du problème s’avère être un processus fondamental pour plusieurs auteurs (Julo, 1995, 2002; Poirier Proulx, 1999; Richard, 2004; Vergnaud, 1990). Entre autres, pour Julo (2002), « les processus cognitifs de l’activité de résolution de problème ont un versant opératoire (que l’on évoque souvent sous le terme général de stratégie), ils ont également un versant représentationnel dont le rôle est déterminant » (p.35). Notamment, Kamii (1989) précise que la structure du problème qui prend forme chez l’élève au moment où il la construit dans sa tête, que cette structure soit appropriée ou pas, viendra par la suite influencer la manière par laquelle il va résoudre le problème proposé. Ces auteurs préconisent que les résultats de la représentation jouent un rôle déterminant lors du choix des actions qui s’ensuivent pour opérationnaliser cette représentation. Nous supposons donc que cette représentation puisse aussi jouer un rôle dans la mobilisation du contrôle. Dans la section suivante, nous documentons plus en profondeur comment s’effectue le travail de structuration pour résoudre un problème puis dans quelle mesure ce travail de structuration est contrôlé.

2.2.1.1 Construire la représentation du problème

Nous avons déjà abordé au premier chapitre la notion d’espace de recherche (Richard, 2004). Rappelons que l’espace de recherche est l’endroit où se construit la représentation du problème par le croisement de l’espace effectif et sémantique. L’espace effectif met en jeu les variables et contraintes réelles du problème. L’espace sémantique correspond à l’interprétation du problème et la mise en place de contraintes et de restrictions par l’individu. En outre, Richard (2004) précise que les euristiques et les buts encadrent la représentation d’un problème, par la mise en place d’autres contraintes. L'auteur précise que les contraintes liées aux euristiques limitent des règles d’actions possibles et les secondes, celles liées au but, orientent vers des mouvements et des états qui ne s’éloignent pas du but recherché. Richard (2004) mentionne que la construction de la représentation est guidée par un processus de particularisation. Ce processus vise à déterminer, voire inférer un maximum de particularités pour une situation. De ce point de vue, la représentation d’un problème repose grandement sur la gestion de l’espace de recherche et des contraintes de différentes natures qui, au même titre

que la représentation elle-même, jouent un rôle dans le choix des actions à entreprendre pour comprendre et résoudre un problème. Cette représentation s’avère essentielle pour la suite du processus de résolution (Fagnant et Jaegers, 2017; Fagnant et Vlassis, 2013; Hanin et Van Nieuwenhoven, 2016; Julo, 1995; Kamii, 1989).

De son côté, Julo (1995) s’intéresse de très près à la représentation des problèmes en mathématiques. Il mentionne que l'analyse des représentations sert à décrire, mais aussi à comprendre les conditions derrière les prises de décision en situation de résolution de problèmes.

« Elle [l’analyse] sert surtout à décrire et quelquefois, à mieux comprendre les conditions dans lesquelles se fait le choix d’une stratégie et son évolution ultérieure, à mieux comprendre aussi la nature des processus qui permettent d’élaborer (on pourrait dire d’inventer) une procédure de résolution, à mieux comprendre, enfin, pourquoi certaines connaissances générales comme outils mathématiques ou des euristiques sont mises en œuvre ou ne le sont pas » (Julo, 1995, p. 23)

Pour chaque situation à résoudre, l'individu se bâtit une représentation particularisée, c’est-à-dire adaptée à sa compréhension d’« un objet déterminé qui peut être complexe, mais que l’on est capable de décrire comme un ensemble d’informations et de relations entre ces informations » (Julo 1995, p. 15). Cela dit, comment l'individu se représente-t-il une situation?

Pour construire une représentation particularisée, Julo (1995) distingue trois processus, l’interprétation, la structuration et l’opérationnalisation. Ces derniers s’imbriquent de manière dynamique et non linéaire dans la construction d’une représentation. Le premier, le double processus d’interprétation, implique l’interprétation du contexte sémantique et la sélection des informations. Ce double processus vise à établir le contenu à structurer. D’ailleurs, il s’appuie sur les connaissances de l’individu. Julo insiste sur le fait que les connaissances de l’individu permettent d’accorder une signification particulière à des informations, de discerner pour un problème les informations pertinentes des autres qui le sont moins et de rendre ces informations cohérentes avec le processus d’interprétation. En ce sens, les connaissances favorisent le contrôle. De plus, le contexte sémantique de la situation et ses variables (la présentation du problème, l’énoncé, la présence d’objets ou situations familiers ou non familiers, contraintes, habillage…) jouent d’ailleurs un rôle important lors du processus d’interprétation. Ce contexte peut rendre la tâche d’interprétation plus ou moins complexe à gérer, avoir un impact sur les connaissances rappelées et le choix des stratégies privilégiées. Julo illustre que le changement d’une des variables pour une situation influence l’interprétation de cette tâche puisque celle-ci vient jouer sur le contexte sémantique et par conséquent, sur le processus de sélection des informations. L’interprétation du contexte sémantique et la sélection des informations deviennent des aprioris qui font par la suite l’objet d’un deuxième processus, la structuration.

Ce deuxième processus selon Julo, la structuration, consiste à organiser et à coordonner cette interprétation du problème pour former un tout « structuré », où les éléments se tiennent logiquement ensemble selon la personne qui résout. La structuration permet de fixer les relations entre les données du problème. Par exemple, l’élève qui détermine que puisque Marie a 50 crayons et Pierre 10 crayons, alors Marie a 5 fois plus de crayons que Pierre. D'ailleurs, les connaissances spécifiques qu’a un individu du domaine des mathématiques peuvent influencer la structuration d’une situation mathématique à résoudre. D'un côté, l’individu peut associer le problème à ses connaissances mathématiques telles que les catégories de problèmes arithmétiques ou différents schémas de problèmes qu’il a développés. D’un autre côté, les connaissances peuvent aussi limiter les angles de structuration possible. L’activité des neuf points de Maier est un bon exemple qu’utilise Julo pour illustrer dans quelle mesure le contexte sémantique du problème, les connaissances spécifiques et l’interprétation qu’en fait l’individu ont un fort impact sur la structuration. Pour le problème des neuf points de Maier, l’individu est invité à réunir les neuf points par quatre segments de droite tracés sans lever le crayon et sans passer deux fois par le même chemin.

° ° °

La tâche devient impossible dans le cas où l’individu interprète cette situation dans un contexte géométrique où il serait possible de tracer des segments qu’à l’intérieur de l’espace indiqué par les points (interprétation et connaissances qui créent une nouvelle contrainte). Le fait de poursuivre les tentatives de résolution à l‘intérieur des points est interprété par Richard (2004) comme une fixation sur le contexte géométrique. L’activité des neuf points amène Julo à se questionner sur le contrôle qu’un individu est en mesure d’exercer sur sa représentation. Finalement vient le troisième processus de représentation, celui de l’opérationnalisation14_{. C’est le passage à}

l’action par les calculs, les essais, les tracés ou par les opérations mentales. C’est en ce sens que Julo stipule que ce sont « les procédures et les stratégies mises en œuvre qui vont, progressivement, structurer la représentation » (Julo 1995, p.48). Ce processus peut produire un certain effet sur la représentation du problème, grâce aux résultats des actions. Ce qui nous permet de penser que le processus d’opérationnalisation

14_{Le processus de contrôle lors de l’opérationnalisation sera développé séparément au point 2.2.2. Pour l’instant, nous insistons sur le}

rôle de l’opérationnalisation pour la représentation du problème. Notamment, que le processus d’opérationnalisation puisse interagir avec le processus de structuration.

correspond à ce que Richard (2004) nomme une activité de contrôle sur la première représentation. En effet, l’opérationnalisation, basée sur des connaissances opératoires en résolution de problèmes, peut renforcer la représentation initiale ou au contraire l'amener à évoluer, à se restructurer.

La construction d’une représentation particularisée est un processus dynamique qui repose sur un travail progressif qui a lieu tout au long de la résolution. Julo (1995) et Richard (2004) notent qu’une structuration initiale peut être remise en cause et être amenée à évoluer vers une restructuration de la représentation ou vers un changement de point de vue. La représentation issue du processus n’est pas rigide et peut faire l’objet d’une remise en question. En l’occurrence, l’opérationnalisation, les connaissances mobilisées et le contenu de la représentation semblent être au cœur des conditions nécessaires à cette restructuration, selon Julo. Richard évoque les impasses qui remettent en cause des contraintes, mais aussi les insights, soit la prise en compte d’une nouvelle propriété du problème, comme source de remaniement de la représentation.

En somme, la structuration des relations est un indicateur central de l’activité de représentation, dans la mesure où il est possible de voir apparaitre dans l’action de structurer un problème sa représentation élaborée par l’élève, les inférences et relations qu’il établit ainsi que les contraintes, les connaissances (catégories, schèmes) mathématiques sur lesquelles il s’appuie. D’ailleurs, suite aux lectures effectuées, nous pouvons retrouver différents états de structuration : une structuration initiale correcte, une structuration incomplète ou erronée, un blocage (incapacité à restructurer, incompatibilité dans l’espace de recherche) ou une restructuration par un changement dans la représentation.

2.2.1.2 Un contrôle sur la représentation du problème

Pour sa part, Poirier Proulx (1999) indique que se représenter un problème est une activité de construction, dont la coordination des données implique une forme de contrôle.

« Pour bâtir sa représentation, l’individu doit établir une cohérence entre les divers éléments d’information : ceux qui proviennent de la situation ou du contexte ainsi que ceux qui sont inférés. Il doit aussi en assurer la compatibilité avec les informations contenues en mémoire. » (Poirier Proulx, 1999, p. 43)

Un contrôle sur la cohérence et la compatibilité des informations peut prendre place par une prise de distance, un engagement réfléchi tel que décrit par Saboya (2010). En effet, selon la notion de contrôle sur l'activité mathématique de Saboya (voir Saboya, 2010 et Saboya et al., 2015), l'engagement réfléchi favorise un contrôle sur la représentation du problème. Il se traduit par une prise de distance, un arrêt devant la tâche, un esprit critique avant la résolution, par un retour aux fondements ou par la recherche de sens et par le choix d'une interprétation possible parmi plusieurs. Saboya explicite dans ce modèle une autre composante, le contrôle sémantique, qui permet d’approfondir les conditions dans lesquelles un contrôle est exercé sur la représentation du problème. Le contrôle sémantique porte sur la signification des relations, des grandeurs ou des

transformations. Dans un contexte de symbolisation algébrique, Saboya explique que le contrôle sémantique fait référence à une signification des relations entre les données du problème et à leur mathématisation en cours de résolution, en ayant recours au sens des symboles. Pour le problème suivant,

Maggie et Sandra vont à une vente de disques. Maggie a 67$ en poche, et Sandra 85$. Sandra dépense 4 fois le montant de Maggie. Lorsqu'elles quittent la boutique, il leur reste le même montant d'argent en poche. Combien ont-elles dépensé chacune? (Saboya, 2010, p. 99)

le sens accordé aux relations et aux symboles traduit un contrôle sémantique sur le processus de symbolisation, où l’équation 67- x = 85 - 4x explicite les relations de multiplication, les états et la relation d’égalité entre les deux montants d’argent restant. Le contrôle sémantique fait appel à une « la capacité à ne pas se détacher de la signification et/ou de l’interprétation des grandeurs qu’on manipule » (Saboya et Rhéaume, 2015, p. 3). Ce contrôle permet « d'organiser et de se construire une représentation des grandeurs et de leurs relations » (Saboya, Bednarz, et al., 2015, p. 64) pouvant ainsi favoriser une représentation globale du problème.

Deux exemples tirés des travaux de Saboya et de collaborateurs permettent d’illustrer la mobilisation d’un engagement réfléchi et d’un contrôle sémantique lors de la structuration. D’abord, les travaux de Saboya et Rhéaume (2013, 2015) ont permis d’étudier l’engagement réfléchi et le contrôle sémantique lors de la résolution d’un problème impliquant la comparaison de fractions.

Lors des Olympiques scolaires de ton école, tu es responsable du classement des athlètes. Les résultats représentent, en fraction, la distance parcourue par l’athlète. À partir des résultats du saut en longueur, complète le tableau de la remise des médailles. Celui qui parcourt la plus grande distance gagne.

Luc : 3 5 Paolo : 2 7 Julien : 1 2 Alex : 3 8 Yvan : 6 7 1ière_place (Or) 2e_place (Argent) 3e_place (Bronze) 4e_place ₅e_place

Note : Étant donné la grande responsabilité de cette tâche, tu dois expliquer aux juges comment tu as fait. Laisse des traces ta démarche.

Figure 12: Illustration d’un engagement réfléchi et d'un contrôle sémantique

Pour la comparaison des fractions 3₅, 2₇,1₂, 3₈ et 6₇, certains élèves de première année du secondaire prennent une distance concernant la mobilisation de la recherche du dénominateur commun, une procédure qu’ils connaissent bien. L’exemple à la figure 12 illustre le fait que l’élève a considéré cette possibilité, mais qu’il la rejette avant de la mobiliser. Le refus de la recherche d’un dénominateur commun s’appuierait dans ce cas sur une prise de distance envers la grandeur et la diversité des dénominateurs pour lesquels le plus petit commun multiple entre eux n’est pas facile à trouver. Cette prise de distance implique un engagement réfléchi par une réflexion et une prise en considération des contraintes (un grand dénominateur commun soit 280 ou 560), des connaissances nécessaires et procédures possibles pour résoudre, avant de procéder à l’opérationnalisation de la résolution. Ce même exemple illustre également un contrôle sémantique par une représentation du

problème à l’aide d’un dessin où l’élève illustre chacune des grandeurs pour un même tout afin de les comparer. Le symbolisme des fractions et l’interprétation des grandeurs prennent alors un sens.

Saboya et al (2015) remarquent aussi une prise de distance critique avant toute résolution par un questionnement qu’ont certains élèves sur l’énoncé et sur le contexte. Pour le problème Train15_{, des élèves}

formulent « Est ce que dans les 578 passagers, les 2 chauffeurs comptent? » ou « Les trains doivent-ils être saturés? » (p.71). Ces questionnements favorisent la mise en place de certaines contraintes implicites et la représentation de la situation. Ce regard critique constitue un contrôle sur les informations, les contraintes, l’interprétation, les connaissances, identifiées comme des sources jouant un rôle déterminant lors de la représentation. Que se passe-t-il si une première représentation du problème s’avère infructueuse pour l’élève? Quel contrôle peut être exercé lors d’une restructuration au sens de Julo (1995)? Un contrôle sémantique sur la représentation du problème peut graduellement s’autoconstruire au fil des essais, des écritures, une construction progressive à travers les tentatives et les équations tel que documenté par (Saboya, Bednarz, et al., 2015). Les auteurs remarquent que le sens attribué aux grandeurs et au symbole évolue au fil des tentatives. L’exercice d’un contrôle sémantique reposerait sur « l’interprétation de la situation du problème (Vergnaud,1986 ; Coquin-Viennot et Moreau, 2007), interprétation liée à la représentation que l’élève se fait du problème (au sens de Julo, 1995) qui déclenche des associations de type : ‘partager c’est diviser’ ; ‘fois c’est multiplier’. À priori ce type d’interprétation se place souvent en amont du choix d’une opération, d’un calcul » (Houdement, 2011). L’auteure exemplifie un contrôle sémantique lors de la résolution d’un problème où une élève cherche le poids d’une table, connaissant celui pour 25 tables (300 kg).

« C.H. : Pourquoi tu penses que c’est l’opération qui va te permettre de trouver le résultat ? Deborah : Bah, parce qu’on peut faire une multiplication / 300 multiplié par 25, c’est pas possible / C’est beaucoup trop / Ni une soustraction / Donc je pense faire une division / Et aussi parce qu’il faut partager / Il faut / Oui, faut partager » (Houdement, 2011, p. 77)

Deborah donne un sens aux opérations par un regard critique sur chacune d’elles en contexte et établit un sens à la division, celle de partager le poids, 300 kg, parmi les 25 tables. Elle exerce un contrôle qui joue un rôle dans ses décisions. Par ailleurs, certaines données (Houdement, 2011; Saboya, Bednarz, et al., 2015; Saboya et Rhéaume, 2015; Saboya, 2010) permettent aussi d’observer que pendant ou suite aux calculs, un retour à un contrôle sémantique est possible. En somme, l’engagement réfléchi et le contrôle sémantique exercent un

15_{Il y a 578 passagers à transporter entre 2 villes. On dispose de 2 trains pour le faire. Un des trains a uniquement des wagons à}

12 places, et l'autre uniquement des wagons à 16 places. En sachant que les deux trains ont le même nombre de wagons, combien doit-on accrocher de wagons après chacune des 2 locomotives ? Explique comment tu as fait pour trouver.

contrôle sur la représentation du problème et sa structuration même lors de son opérationnalisation. Un contrôle dynamique auquel l’élève peut faire appel tout au long de la résolution.

2.2.1.3 Les actions favorisant la structuration

Générer une représentation du problème, un espace de recherche, une structure suggère de mettre en jeu des actions favorisant une recherche de sens. Plusieurs auteurs (Brousseau, 1998; De Corte, 2012; Fagnant et Vlassis, 2013; Julo, 1995; Poirier Proulx, 1999; Polotskaia et al., 2019; Polotskaia, 2014; Polya, 1945; Richard, 2004; Schoenfeld, 1992, 1985) dressent un inventaire d’actions pouvant, au besoin, aider à la construction des relations et à la représentation d’un problème. Plusieurs d’entre elles se rejoignent. Par exemple, prendre des notes ou faire une liste qui explicite les données importantes, les buts, les contraintes, l’objectif étant de réfléchir à la pertinence des informations à considérer et de les gérer. Un autre exemple serait d’illustrer la situation à l’aide de dessins, de schémas, de diagrammes, d’une représentation graphique. En ce sens, faire appel à des représentations schématiques favorise, en termes de contrôle, la structuration de relations entre les données du problème. Fagnant et Vlassis (2013) rapportent que la construction de modèles permet au solutionneur de donner un sens à une situation mathématique, que nous associons au contrôle structural. Ces auteures précisent que la construction d’une représentation est un processus interne développé par les élèves intégré au processus de résolution.

“ it is thus up to the students themselves to construct the symbols which will help them to create meaning in communication situations. The production of models is seen not as an external aid to problem solving, but as an internal process developed by students and forming part of the problem solving process itself ”(Fagnant et Vlassis, 2013, p.150)

Dans cette optique, construire une représentation schématique correspond à une action utile à la recherche de sens, une euristique potentielle traduisant un contrôle structural.

Ensuite, d’autres euristiques favorisent la recherche de sens ou le changement de point de vue, comme faire une analogie, réduire ou simplifier les nombres, faire appel à un problème similaire ou générer des buts intermédiaires. Faire appel à des connaissances, que ce soit du monde réel (De Corte, 2012) ou des connaissances spécifiques au domaine des mathématiques oriente les prises de décision dans le sens où « les connaissances explicitables et les savoirs interviennent de façon comparable dans le contrôle des jugements de « l’élève ». Ils forment en quelque sorte le « code » à l’aide duquel il construit, justifie, vérifie et démontre ses déclarations de validité » (Brousseau, 1998, p. 100). Les connaissances du contexte propre au problème seraient d’autant utiles à la représentation d’un modèle de situation (De Corte, 2012; Verschaffel et De Corte, 2008), ce contexte venant en support à l’identification des informations essentielles et à la compréhension des relations mathématiques (De Corte, 2012; Moreau et Coquin-Viennot, 2003; Verschaffel et De Corte, 2008). Bien entendu, cet inventaire ne constitue pas une liste exhaustive de toutes les actions et euristiques possibles.

Néanmoins, elles traduisent non seulement une aide flexible et ponctuelle à la représentation, mais aussi des moyens de contrôler la recherche de sens et la réduction de l’écart entre la situation et le but recherché dans l’espace de recherche.

Le choix des euristiques devrait clairement être associé au contrôle. Entre autres, Brousseau (1998) spécifie que les euristiques sont les moyens de recherche de solution par excellence pourvu qu’elles demeurent sous

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