4.1 La mise en place d’un contrôle structural
4.1.1 Quelques actions sujettes au contrôle structural
Lors du processus de représentation, certaines actions viennent progressivement nourrir la représentation du problème et favorisent ainsi la mise en place de relations. Entre autres, déterminer le but, identifier les
46 Cette limite relève de nos questions de recherche qui visent avant tout à documenter et comprendre les prises de décision sous l'angle
du contrôle. La description et la caractérisation du contrôle sont centrales pour dégager une première compréhension. Une autre étude pourrait poursuivre par une analyse du dynamisme et des interactions entre les différentes composantes du contrôle, celles-ci une fois décrites par la présente étude.
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informations jugées pertinentes, mobiliser des connaissances, questionner ou utiliser d’autres euristiques de recherche (par exemple calculs, schémas, dessins, comparaison de deux problèmes) sont quelques-unes des
actions que nous avons déjà identifiées dans le cadre conceptuel.
Nous exemplifions dans ce qui suit ces actions et la manière dont elles peuvent contribuer à la mise en place d’une structure lors de la résolution d’un problème. Précisons que la présentation de ces actions vise la mise en évidence des informations dégagées par l’élève grâce à ces actions. Ces informations pourraient faire l’objet d’un contrôle structural.
4.1.1.1 Déterminer un but
Les résultats démontrent que certains élèves sont en mesure de reformuler brièvement, en peu de mots, un but précis ou des sous-buts au problème. Ils repèrent une ou des étapes à faire. Dans ce sens, Judith et Béatrice reformulent chacune à leur manière les buts ou sous-buts du problème Punch « dans le fond, il faut que je dise comment ça va en prendre [ml par jus]. Après ça, il faut que je sache combien de personnes pourraient gouter le mélange » (Judith, Punch) ou « faut que tu ajustes les autres quantités pour que ce soit égal, pis faut que tu dises aussi combien de personnes pourront goûter… » (Béatrice, Punch). Cette action oriente aussi Sarah pour le problème Fête « Ben...parce qu’il demandait de trouver le nombre de minutes ». Ainsi, les élèves sont en mesure de réfléchir à la résolution et de cerner ce qu’ils croient devoir trouver sans faire à priori la résolution. Déterminer un but délimite l’espace de recherche pour Judith, Béatrice et Sarah en fixant des objectifs à atteindre.
4.1.1.2 Identifier les informations jugées à priori pertinentes
La sélection des informations fait partie du processus d’interprétation (Julo, 1995). Pour les problèmes proposés, la plupart des élèves sont en mesure d’identifier des informations qu’ils jugent à priori pertinentes à considérer pour résoudre le problème. C’est le cas de Loïc qui organise dans cette retranscription, les informations sélectionnées dans l’énoncé.
Figure 24 : Retranscription de Loïc pour le problème Fête
C’est aussi le cas d’Olivier qui indique lors de l’entretien que les données 300 ml et 100 ml de jus de pomme représentent des informations importantes, le point de départ de la résolution. Même constat du côté de Sarah. Pour le problème Tartes, elle résume « Il vend 6 kilos, le prix c'est 8 dollars. » comme porte d’entrée dans la résolution.
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4.1.1.3 Mobiliser des connaissances
Selon les principes formulés lors du cadre conceptuel, résoudre un problème mathématique nécessite d’avoir recours à des connaissances mathématiques ou contextuelles, où l’individu rappelle ce qu’il sait ou ce qu’il sait faire. À cet effet, quelques élèves font référence aux tables de multiplication « C’est facile, je connais bien mes multiplications » (Olivier, Punch), « trois fois un, ça fait 3 » (Judith, Punch) et aux opérations utilisées « J’utilise les divisés » (Julien, Fête). De plus, pour répondre à la question A du problème Fête « À ton avis, la préparation de la même quantité de sacs prendra plus ou moins de temps ? », des élèves expriment une certaine connaissance liée au contexte du problème qui favorise un raisonnement logicomathématique. Par exemple, Loïc sait que « … plus on est, plus ça va vite […] tu vas faire plus de sacs [si tu es 4] que 3 en 120 minutes. » (Loïc, Fête). Loïc illustre la mobilisation de ses connaissances pour ce contexte. Rappelons que cette mobilisation favorise une représentation particularisée d’une situation (Julo, 1995). Loïc se représente cette situation comme étant proportionnellement inverse et il répond à la question A « plus [de temps], car ils sont moins ».
Nous observons donc que déterminer un but, identifier des informations jugées à priori pertinentes et mobiliser
des connaissances représentent certaines actions dans la mise en place de l’espace sémantique crée par
l’élève. Cela dit, cet espace sémantique peut faire l’objet d’un contrôle exercé par l’élève, que nous décrirons plus bas. Mais auparavant, deux autres actions viennent fournir d’autres pistes qui sont utiles à la résolution, le fait de se questionner et d’utiliser des euristiques de recherche.
4.1.1.4 Questionner pendant l’interprétation
L'interprétation est une recherche parfois ponctuée d’embuches. À ce moment, les élèves questionnent pour chercher un sens ou indiquer un manque d'information. Pour le problème Punch, Renaud et Charles présentent un premier cas de figure.
« Pourquoi ils mettent deux cuillères? C'est ça que je comprends pas […]. Je ne sais pas ce que ça vaut » (Renaud)
« Là, y'a juste les deux cuillères à table de grenadine que ...je sais pas ça fait combien de millilitres » (Charles)
Ces deux élèves questionnent la capacité des cuillères en millilitres. Pour la résolution du problème Tartes, Vincent semble éprouver une difficulté à interpréter les informations dans l’espace sémantique « Ils disent ici 6 kilos de pommes pour 8 dollars. Pis là, après ça, il dit... [Combien coutera l'achat de] ces pommes si le prix du kilo est le même. Ça veut dire quoi? 1 dollar du kilo? ». Ces questionnements de Renaud, Charles et Vincent traduisent une incompréhension ou une entrave au processus de représentation. Le fait de formuler un questionnement nous semble une action efficace chez l’élève pour identifier une incompréhension qu’il doit éclaircir.
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4.1.1.5 Utiliser d’autres euristiques de recherche
Parmi les résultats obtenus, nous avons relevé deux euristiques de recherche, soit celle de faire appel à un problème similaire4748 ou de faire des essais et des calculs. À cet effet, Vincent reconnait, lors de l’entretien,
des similitudes entre le problème Fête qu’il doit résoudre et celui déjà résolu en classe précédemment. Vincent: « Ben là, je me souviens là...
CH: Tu te souviens?
Vincent: Attends! Non...c'est pas la même affaire [relit le problème]. Ok. C'est juste un tout petit peu de...c'est juste un tout p'tit peu de l'autre fois.
CH: Qu'est-ce qui change? Est-ce que tu te souviens?
Vincent: Elles seront 3 personnes qui prépareront la même quantité de sacs. L'autre fois, c'était 6 personnes. » (Vincent, problème Fête)
Vincent est en mesure d’identifier que le nombre de personnes est l’élément qui distingue les deux versions. Cette distinction, prise en compte, pourrait favoriser une nouvelle structuration, à partir du problème similaire. Cet exemple semble traduire une approche ergonomique (Houdement, 2011) de l’élève où il cherche à établir des liens entre ce problème et celui fait en classe.
D’autres élèves font des calculs pour chercher des idées et poursuivre la résolution. C’est entre autres le cas de Camille.
CH: « Qu'est-ce que tu voulais faire avec 30 ? Tu as calculé 120 divisé par 4, qu'est-ce que tu voulais faire avec le 30 par la suite?
Camille: Heu...aucune idée [rires]...
CH: Tu as fait un calcul, tu voulais voir ce que ça donnerait?
Camille: Oui, c'est ça...souvent je fais ça. Pis là, je fais comme Ha! ben là, je peux faire ça, pis aaaah !...[elle pointe différents éléments de la feuille comme si elle pouvait faire le lien entre eux et fait une expression qui sous-entend ah! J’ai trouvé, je comprends]
CH: Donc, des fois, quand tu fais certains calculs, ça va t'aider à avancer dans ton problème?
47 Rappelons que pour le problème Punch, la version proposée en classe demande d'ajuster les quantités des ingrédients de la recette
de punch au départ pour quatre personnes à une recette pour six et pour huit personnes, tandis que la version présentée à l’élève lors des entretiens demande d’ajuster les ingrédients de la recette pour que le punch goute la même chose si l’on met 300 ml de jus de pomme au lieu de 100 ml. Pour le problème fête, la version proposée en classe demande de calculer le nombre de minutes nécessaires pour produire la même quantité de sacs s’il y a 6 personnes au lieu de 4 personnes, tandis que la version présentée à l’élève lors des entretiens mentionne qu’ils ont maintenant 3 personnes.
48 En ce qui concerne le fait de faire appel à un problème similaire, il est important de rappeler que les choix méthodologiques viennent
influencer les résultats. En effet, deux problèmes présentés lors des entrevues, Punch et Fête sont des problèmes similaires à ceux présentés lors du questionnaire distribué en classe. Ces derniers ont le même habillage et le même contexte, mais une variable sur les nombres, vient modifier légèrement la structure du problème. Par ailleurs, ces problèmes n’ont pas été corrigés en classe.
122 Camille: Oui, c'est ça! » (Camille, Fête)
Camille fait des calculs sans qu’elle sache déjà ce qu’elle veut trouver. Elle cherche une idée. C’est le résultat du calcul qui va ensuite lui indiquer la prochaine étape. Afin de mieux illustrer la recherche de sens en cours de résolution à partir des résultats obtenus suite à des calculs, nous présentons l’exemple d’une autre élève, Maryse.
CH: « Tout à l'heure, tu as commencé tes calculs et tu m'as dit "Je sais, j'ai une idée". J'ai remarqué que tes calculs t'ont un peu aidé à avancer.
Maryse: Oui.
CH: Qu'est-ce qui fait qu'en faisant des calculs, ça t'aide?
Maryse: Ben moi, ben dans le fond c'est que moi, quand je fais des problèmes, chaque calcul m'amène à un autre calcul pour me donner ma réponse. Fait que c'est pas mal ça...parce que moi, au début, quand je fais un problème, je sais pas déjà tous les calculs, quoi faire. C'est que je fais un premier calcul, pis là après ça, ça me fait faire un autre calcul, qui me fait faire un autre calcul... » (Maryse, Tartes)
Ainsi, Camille et de Maryse rapportent que les résultats qu’elles obtiennent en faisant des calculs les aident à cheminer dans l’espace de recherche, en trouvant une prochaine étape à réaliser. Dans ces deux cas de figure, nous remarquons que la structuration se poursuit par des informations obtenues grâce aux calculs.
Ces quelques actions ci-haut présentées favorisent le processus de représentation du problème, dans la mesure où elles contribuent à l’espace sémantique qui est utile à la structuration des relations. De plus, les exemples précédents donnent un aperçu des informations que l'élève obtient et des contraintes auxquelles il est confronté et qui pourraient faire l’objet d’un contrôle structural. Elles fournissent ainsi une base pour la mise en place de raisonnements et de relations mathématiques.