2.2 Contrôle exercé lors de la résolution de problèmes mathématiques au primaire:
2.2.2 Le contrôle opérationnel
De Corte (2012) souligne la visée de la résolution de problèmes mathématiquesen contexte scolaire, celle d’amener l’élève à être en mesure de savoir quand et comment utiliser les mathématiques de manière efficace au quotidien. À notre avis, savoir quand et comment utiliser les mathématiques nécessite comme nous venons de le présenter, un contrôle structural, mais aussi un contrôle opérationnel, ce dernier favorisant la supervision du processus de résolution et du résultat.
En ce sens, résoudre implique de prendre des décisions concernant la manière d’opérer la structuration du problème, l’opérationnalisation au sens de Julo (1995). Le contrôle opérationnel implique à la base un engagement réfléchi, orienté cette fois vers le savoir quand et comment utiliser les mathématiques lors de l’opérationnalisation. Cet engagement réfléchi peut s’exprimer lors du choix et de la mise en place des opérations par une prise de distance, un arrêt devant la tâche, un retour à certains fondements, un esprit critique « avant, en cours et/ou à la fin de la résolution » (Saboya et Rhéaume, 2015).
Dans les sections suivantes, nous développons dans quelle mesure peut s’exercer un contrôle opérationnel, par l’anticipation, la vérification, la sensibilité à la contradiction et son dépassement, le discernement et le contrôle
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sur les nombres et leurs manipulations. Le choix et l’identification de ces composantes inspirées par la notion de contrôle de Saboya (2010) reposent sur l’analyse des résultats obtenus au chapitre 4, tel que nous l’avons explicités au début de la section 2.2. Ce sont les composantes observées chez les élèves rencontrés.
2.2.2.1 Un contrôle par l’anticipation
Essentiellement, l'anticipation porte sur le résultat (Burgermeister et Coray, 2008; Coppé, 1993; Margolinas, 1989; Saboya, 2010) et/ou sur la planification du processus de résolution (Focant et Grégoire, 2008; Richard, 2004) avant même d’y entrer de manière effective. La première forme d’anticipation, celle portant sur le résultat requiert de déterminer des caractéristiques que doit posséder ce résultat.
« Il s'agit de poser une condition de validité du résultat avant de le connaitre: estimation de l'ordre de grandeur, anticipation de la nature du nombre obtenu, analyse préalable des propriétés que doit posséder le résultat. L'anticipation est liée à un retour sur la réponse en lien avec la question, le problème posé. » (Saboya, 2010, p. 406)
Par exemple, la réponse devrait être un entier si le problème nécessite de chercher un nombre de personnes (Saboya, 2010). Un autre exemple documenté par l’auteure concerne la grandeur du nombre attendu. L’auteure illustre qu’à la lecture du problème des robots17, l’élève pouvait anticiper que le nombre de robots est
hypothétiquement trop grand, sans avoir encore résolu le problème. En effet, plusieurs élèves ont à priori déterminé cette caractéristique du résultat « elle panique, car elle voit qu'il y a une surcharge de robots », « …trop de robots», « ... beaucoup de robots », «...un nombre gigantesque de robots » (p. 474).
Cet exemple traduit dans une certaine mesure les affirmations de Margolinas (1989) qui définit spécifiquement le contrôle comme étant l’anticipation de la validation. Ces deux composantes, l’anticipation et la validation, sont étroitement reliées du point de vue du contrôle, la première contribuant à la réalisation de l’autre. Pour Margolinas, qui base ses réflexions sur la validation autour de la résolution d’équation, la validation amène l’élève à conclure, grâce à ses propres justifications, que son travail, sa démarche ou sa réponse est valide. En ce sens, l’anticipation est une réflexion pour déterminer les critères à respecter, où l’individu doit d’abord identifier certaines caractéristiques de la réponse sur lesquelles s’appuyer lors de l’étape de validation. Par ailleurs, le choix effectué quant à la manière de résoudre le problème dépendra des caractéristiques anticipées de la réponse.
17 Problème « Les robots » : Un expert travaille dans une usine de fabrication de robots. En cinq minutes, un robot construit une copie
de lui-même et se déplace ensuite dans une caisse où il est emballé pour être expédié vers l’extérieur. L’expert a une idée géniale et découvre une façon d’augmenter le rendement. Il fabrique un robot capable de construire deux de ses semblables en cinq minutes. Le robot-mère se déplace ensuite dans une caisse où il est emballé pour être expédié vers l’extérieur. L’expert court voir sa supérieure pour lui expliquer qu’il a doublé la production et met en route le robot au préalable pour être à même de lui montrer sa nouvelle invention. Lorsqu’il arrive, sa supérieure est en réunion, et il doit attendre 3 heures avant de pouvoir la rencontrer. Quand elle est libre, l’expert lui explique son invention, celle-ci regarde l’horloge et court, alarmée, jusqu’à l’usine. Pourquoi panique-t-elle ? Combien de robots l’expert s’attend-il qu’elle trouve ? (inspiré de Confrey, 1994)
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La deuxième forme d’anticipation, celle reliée au processus de résolution, est l’occasion d’envisager une manière de résoudre encore hypothétique à partir des relations déjà établies, qui pourrait conduire l’élève à se rapprocher d’une solution. À partir des travaux de Hoc (1987), Richard (2004) identifie l’anticipation comme l’action de construire une représentation des actions avant même leur exécution, une propriété relevant de la planification. Cette dernière porte davantage sur l’identification des principaux objectifs, soit « la construction et/ou l’utilisation de représentations anticipatrices hiérarchisées (plans) pour guider l'activité » (Richard, 2004, p. 315). Cette planification serait le principe directeur des étapes menant à l’anticipation des gestes à poser. L'auteur cite comme exemple le jeu d’échecs, où un individu peut planifier de protéger le roi ou la reine, qui se traduira par l'anticipation de certains coups et déplacements de pions. Selon Focant et Grégoire (Focant et Grégoire, 2008), l’élève choisit « le plan d'actions qui lui semble le plus pertinent et le plus efficace, puis le met en œuvre » (p. 205). Selon ces mêmes auteurs, c’est au moment de sa mise en œuvre qu’elle devient une marque de contrôle.
Ce contrôle lors de la planification s’exerce à partir de l’adéquation entre les caractéristiques de la situation et les procédures à envisager. Néanmoins, Richard (2004) mentionne qu’au-delà du fait d’avoir les connaissances procédurales suffisantes, il s’avère aussi nécessaire d’avoir une certaine connaissance de la situation à résoudre ou du domaine auquel la situation fait référence pour planifier les étapes à venir. Le fait d’être en mesure d’anticiper pourrait traduire chez un élève une abstraction de la notion mathématique en jeu ou du moins, une interprétation par l’élève claire et cohérente de la situation, même si cette dernière est erronée. Dans le cadre de cette thèse, nous retenons pour l’anticipation le fait d’être en mesure de construire des représentations anticipatrices au sens de Richard (2004).
En somme, l’anticipation traduit un engagement réfléchi par une réflexion, qui permet d’envisager, d’imaginer, de prévoir, de faire certaines propositions avant de s’engager formellement dans la résolution de la situation, et ce, sans avoir une rétroaction immédiate par les opérations en cours. À l'aide de ses connaissances du domaine et de la situation mathématique, l’élève anticipe son activité mathématique, en planifiant ses choix vers un ou des buts, mais favorise aussi autrement le contrôle par l’adéquation de la solution avec l’anticipation du résultat effectuée. Ainsi, certaines actions présentées au tableau 3 indiquent la mise en place de la composante anticipation : prédire des propriétés du résultat, planifier des sous-objectifs à atteindre, planifier une ou des manières possibles de résoudre le problème.
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Indicateurs de la composante Anticipation
Actions Description
Prédire les propriétés d’un résultat L’élève dégage une ou des propriétés, des caractéristiques que doit posséder le résultat, telles que l’ordre de grandeur ou la nature du nombre. L'élève détermine des conditions de validité du résultat à venir.
Planifier des sous-buts et des opérations L'élève formule des sous-buts à atteindre, tels qu’une planification des étapes à rencontrer ou des informations à obtenir.
L'élève identifie les opérations qu’il devrait faire pour résoudre. L’élève construit un plan d’action.
Tableau 3: Indicateurs de la composante anticipation
2.2.2.2 Un contrôle par la vérification
Certains auteurs (Coppé, 1993; De Corte, 2012; Focant et Grégoire, 2008; Rhéaume et Oliveira, 2015; Richard, 2004; Saboya, 2010) se sont intéressés à la vérification et aux éléments du processus de résolution de problèmes qui peuvent faire l’objet d’une réelle vérification. La vraisemblance et la validité sont des caractéristiques qui permettent de mieux cerner cette composante du contrôle. Selon les auteurs, un retour à la représentation du problème ou à l’anticipation ou à des fondements mathématiques soutient l’élève lors de la vérification.
2.2.2.2.1 Une vérification par l’évaluation de la vraisemblance d’un résultat
Dans ses travaux, Coppé (1993) a investigué la vérification en situation de devoirs surveillés auprès d’élèves de 16 ans. Elle y définit la vérification en termes d’arguments ou d'actions de l’élève, visant à évaluer le caractère de vraisemblance d'un résultat:
« Dans une situation de résolution de problème, un élève a identifié un résultat partiel ou final et il pose la question de la validité son résultat. Nous appellerons vérification tout argument avancé ou toute action mis en œuvre par l’élève pour limiter l’incertitude sur le résultat, si l'élève en a besoin, à ce moment-là et dans cette situation. Une vérification a pour conséquence, soit d’accroitre la vraisemblance et éventuellement d’acquérir la certitude du résultat, soit d’engendrer un doute plus grand et éventuellement de déboucher sur une phase de rectification. » (Coppé, 1993 p.30)
Vérifier consiste à argumenter sur la vraisemblance du résultat, mobiliser les raisons ou les actions qui permettent de penser que le résultat pourrait être vrai ou faux. Ces propos de Coppé laissent entendre qu’il est possible que certains élèves disant se vérifier puissent tout de même remettre un résultat sans être certains de leur réponse, n’ayant pas acquis la certitude recherchée. Ce qui laisse entendre que vérifier n’offre pas l’assurance d’avoir une bonne réponse, mais suppose davantage de prendre position envers un résultat. Coppé présente à titre d'exemple les propos de Karine.
58 « INT 14 : qu’est-ce que tu savais de ton résultat? Kar : ben je pensais que c‘était possible.
INT 15 : tu pensais que c’était juste.
Kar : oui, enfin peut-être pas juste, mais je savais que c’était réel enfin même si c’était pas ça, qu’elle nous demandait y’avait une part de vrai dans ce que j’écrivais parce que de toute façon je vérifiais avec mon dessin.
INT 16 : j’essaie de résumer tu n’étais pas sûre vraiment, mais tu pensais que c’était peut-être pas faux.
Kar : enfin si, j’étais quand même plus sûre que non je voyais quand même bien que ça correspondait bien avec tout ce que j’ai écrit avant ça coulait de source on peut dire voilà. » (Coppé, 1993, p. 33)
Un autre point soulevé par Coppé est que les vérifications ont un statut particulier, celui de faire partie du travail privé de l'élève. À cet effet, l’auteure insiste sur l’utilité du travail privé pour la mobilisation de la vérification, le travail « qui est fait hors de la vue du maître et qui ne sera jamais évalué par celui-ci » (p.69). Ce travail privé favorise une certaine liberté d’action, une flexibilité dans la mobilisation de moyens d’évaluer la vraisemblance, comme les brouillons, calculs, dessins, faire des essais avec les valeurs numériques trouvées, faire une analogie. Il peut s’agir aussi d’un travail plus implicite sur les arguments, basés sur « des prises de décision, des réflexions, des évaluations du travail fait qui restent au niveau du non-dit, que l’élève garde pour lui » (p.67). Les élèves peuvent mettre en jeu leurs savoirs et savoir-faire mathématiques, des propriétés nécessaires (mais parfois non suffisantes) ou déduire en faisant appel à la logique de la situation. De notre point de vue, le statut privé de la vérification correspond à l’objet de recherche de cette thèse, les prises de décision des élèves dans la résolution de problèmes.
Par ailleurs, parmi les conditions d’apparition des vérifications, Coppé précise l’importance d’un état d’incertitude. Selon l’auteure, pour que la vérification soit mobilisée, l’élève doit d’abord être en mesure de porter une première appréciation générale, un premier regard sur le résultat. Cette étape requiert de notre point de vue un certain regard critique sur la vraisemblance du résultat. Ensuite, Coppé stipule que si l’élève doute de la vraisemblance ou croit que sa réponse est fausse, alors le processus de vérification peut être mobilisé, dans la mesure où l’élève remplit certaines conditions : qu’il dispose de moyens pour se vérifier, qu’il dispose de temps pour le faire et qu'il soit assuré que cette vérification est fiable. Pour que l’élève prenne en charge la responsabilité du résultat, il doit avoir les connaissances nécessaires, et évaluer le cout des vérifications, ce qui « permet à celui-ci de décider s’il met en œuvre ou non un processus de vérification et lequel » (Coppé 1993, p.87). Cela dit, le retour à la représentation du problème et la considération du contexte de la situation dans cette évaluation jouent un rôle important.
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2.2.2.2.2 Une vérification par un retour à la représentation ou à l’anticipation du
problème
Coppé indique que la vérification dépend étroitement de la représentation qu’a l’élève de la situation. D’ailleurs, le fait que cette composante soit en lien étroit avec la représentation du problème aurait pour conséquence de vérifier parfois sur de fausses prémisses.
« …les vérifications qui sont faites, dépendent de la représentation du problème qu’a l’élève et peuvent être entièrement aberrantes du point de vue de l’enseignant, mais que pour l’élève il s’agit bien de vérifications. Dans ce cas, elles seront totalement inefficaces, scolairement et mathématiquement parlant » (Coppé, 1993 p.35).
De Corte (2012) souligne aussi l’importance de la représentation lors de la vérification. Notamment, il suggère que la représentation du problème par l’élève serait tributaire du contexte du problème offert. Plus précisément, De Corte mentionne que les problèmes mettant en jeu une réalité contextuelle18 favorisent la construction d’un
modèle de situation approprié, que nous interprétons comme étant une structuration au sens de Julo (1995) et que cette construction serait par conséquent utile à l’évaluation de la réponse ou à la remise en cause de la pertinence du calcul en contexte.
Les travaux de Richard (2004) sont également l’occasion d’expliciter plus en profondeur les liens entre représentation et vérification. Selon Richard (2004), l’évaluation des résultats de l’action est l’occasion d’obtenir certaines informations, dont l’adéquation de la solution trouvée ou l’évaluation d’états intermédiaires. L’individu vérifie la compatibilité entre la solution obtenue (ou les états intermédiaires) et le problème. Richard rappelle par les travaux de Delorme (1985) que cette vérification implique de mettre en relation les différentes informations du problème, sa représentation et identifier, s’il y a lieu, une incompatibilité entre la solution et les données ou des connaissances générales.
Houdement (2011) nomme contrôle pragmatique le contrôle qui établit des liens entre représentation et vérification, axé sur la régulation du résultat. L’auteure remarque que certains élèves exercent un contrôle pragmatique lorsque ceux-ci associent différentes réponses qu’ils obtiennent à l'interprétation qu’ils ont du problème. Ce contrôle aide l’élève à choisir quelle réponse serait la plus appropriée ou réfuter des réponses. Un contrôle pragmatique s’exerce lorsque « la connaissance de la réalité évoquée par le texte du problème »
18 La réalité contextuelle renvoie à des problèmes qui traduisent de vraies situations de la vie quotidienne à mathématiser. Par exemple,
installer une balançoire à un arbre mène l’élève à se questionner sur la quantité de corde nécessaire en fonction de la hauteur désirée du banc, la hauteur de la branche, la manière d’utiliser la corde pour attacher le banc, le type de noeud… Cela dit, notre objectif, qui s’inscrit en contexte scolaire, nous amène à reproduire le type de problème que nous retrouvons généralement dans les manuels et dans les classes.
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(p.73) permet d’évaluer si le résultat est réaliste pour le problème posé. L’élève qui s’interroge à savoir si 12 euros est un prix raisonnable pour un chemisier illustre un contrôle pragmatique sur l’ordre de grandeur d’un résultat dans un contexte d’achat, selon Houdement (2011). Ce contrôle semble valoriser l’importance de la réalité, au même sens que la réalité contextuelle chez De Corte. Selon les exemples de Houdement, qualifier un résultat dans son contexte (prix d’un chemisier, pourcentage, nombre de personnes) favoriserait ce rapprochement entre résultat et contexte, en obtenant à priori une grandeur contextualisée. Déterminer si une réponse est raisonnable chez Houdement rejoint à notre avis l’idée de vraisemblance chez Coppé.
Parmi les différentes caractéristiques de la composante vérification, Saboya (2010) insiste sur le caractère réfléchi de la vérification, qui se traduit par un regard critique de la part de l’élève sur ce qu’il a produit pour un contexte, un but ou une situation proposée. En ce sens, Saboya rappelle que la vérification « requiert un retour à la tâche, à la question posée » (p. 407). La vérification peut se traduire par un questionnement et un retour sur les calculs, la démarche, le choix de cette démarche ou le sens du résultat obtenu. « Elle se manifeste à travers un questionnement sur le caractère pertinent de ce résultat, sur sa nature, sur sa forme globale » (Saboya, 2010, p. 407).
Outre une vérification sans anticipation préalable où le sens du résultat est remis en contexte, la vérification peut aussi s’exercer selon Saboya par un retour à une anticipation, confrontation qui pourrait créer une incertitude : « Une vérification provenant d'une anticipation, on anticipe le résultat et on exerce ensuite une vérification face au résultat obtenu pour le confronter à celui anticipé » (Saboya, 2010, p. 407).
Dans le même ordre d’idées, le regard critique lors de la vérification en résolution de problèmes peut aussi reposer sur la mobilisation de fondements mathématiques, tel que développé au point suivant.
2.2.2.2.3 Une vérification par un retour à des fondements mathématiques pour
valider
La vérification peut s’appuyer sur un retour à des fondements mathématiques. Les connaissances du domaine en jeu sont nécessaires à l’exercice d’un regard critique (Ennis,1996) puisque ces dernières deviennent des critères à rencontrer. Au-delà de la vraisemblance du résultat (voir section vérification 2.2.2.2.1), le retour à des fondements mathématiques permet à l’élève de valider son travail, par le fait que les résultats sont conformes à des normes ou qu’ils correspondent à des connaissances qu’il reconnait comme étant vraies :
« -La validation s'appuie sur des fondements (qui vont être explicités) qui permettent de juger du caractère vrai, faux, partiellement vrai de ce qui est avancé. […] Ce type de validation permet le développement d'une sensibilité aux erreurs, aux difficultés. » (Saboya, 2010, p.407)
En plus des fondements mathématiques, Saboya suggère que la validation peut également se manifester par le passage d'un cadre de référence à l'autre, car ce changement nécessite un retour à des fondements
61
mathématiques. Par exemple, une articulation entre arithmétique et algèbre, où l’élève peut être amené à valider par l'arithmétique les valeurs possibles de x, y et z telles que 33 = 3x.3y.3z puisque « La validation peut également
s'exprimer à travers l'utilisation d'écritures équivalentes, une flexibilité dans le passage d'une écriture à l'autre; elle requiert un retour au sens des concepts en jeu » (Saboya, 2010, p. 407). Un autre exemple qui traduit la validation par le passage à un autre registre est celui d’un jeu d’écritures équivalentes où l’élève cherche à valider l’énoncé 5-3 = -125. Il a recours à un énoncé qu’il sait vrai 5-3 = 0,008 puis à des écritures équivalentes
0,008