L’Anticipation

L’anticipation est une réflexion envers les actions à entreprendre avant de résoudre un problème, et ce, sans accès aux rétroactions immédiates obtenues par les calculs. Du point de vue du contrôle, cette réflexion permet à l‘élève d’organiser ses idées à partir d’une première représentation de la situation. Cette réflexion permet aussi d’envisager ou de faire une ou des propositions avant de s’engager plus formellement dans la résolution. Voici quelques exemples obtenus auprès des élèves participants à cette recherche et qui permettent de caractériser la mobilisation de la composante anticipation.

4.2.1.1 Illustration de la planification des opérations

D’abord, nous remarquons que l’explicitation de la planification des opérations peut être brève et générale « Ben, surtout quand j’ai lu, ben j’ai pensé à faire une division » (Sarah, Fête) ou au contraire, plus détaillée « Je sais un peu comment m'y prendre...ben en fait ça va être ajouter une demi [voulant dire fois 2] à chaque parce que "elle se trompe, elle met 100 ml de jus de pomme" tu en rajoutes deux [2 x 100 ml], pis je pense qu'il va falloir X 2 chaque ingrédient... 1 fois 2 plus 1 ça donne 3 [ 2(x) + x = 3x] » (Olivier, Punch). D’ailleurs, nous observons dans ce deuxième exemple une planification mentale des opérations en cohérence avec la représentation qu’a l’élève de la situation. À moins d’un blocage ou d’une restructuration, nous constatons pour l’ensemble des élèves qui planifient des opérations une planification qui correspond à leur structuration, que cette structuration soit correcte ou incorrecte. Ces élèves élaborent un plan d’actions.

En outre, les résultats nous laissent entrevoir un lien très étroit entre représentation du problème et anticipation. Nous observons avec l'exemple d’Olivier que plus l’élève se construit une représentation claire du problème, plus ses anticipations sont aussi formulées de manière claire et détaillée. En contrexemple, Camille tente d’expliciter la planification des opérations pour le problème Fête. D’emblée, elle mentionne que le problème est clair parce qu’elle a toutes les données et qu’elle sait déjà comment elle va le résoudre. Toutefois, elle nous fait part d’une planification ponctuée d’incertitudes et de moments d’arrêt « Ben heu...je veux...pendant 120 minutes...divisé par quatre, heu...[moment d’arrêt] fait que ça va faire combien de temps par personne. Après ça ben...[long moment d'arrêt, 15 secondes] ben je vais faire heu [arrêt]...la même opération avec 3 personnes ? [elle finit avec une intonation interrogative] » (Camille, Fête). Bien qu’elle mentionne avoir toutes les données, la structuration du problème ne lui était pas explicite et Camille planifie des opérations de manière hésitante. Il semble même qu’elle chemine encore dans la structuration, pas à pas grâce à la planification des opérations.

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Cette planification semble donc amener Camille à faire un retour au travail de structuration, aux relations. La planification des opérations pourrait donc permettre un retour et un certain contrôle sur la structuration et la représentation du problème, la renforcer ou la clarifier.

La planification semble aussi favoriser pour certains élèves un engagement réfléchi envers l’arrimage des opérations avec la représentation du problème. À cet effet, Julien planifie les premières étapes « Je vais faire en lien avec les divisions, ça fait que là vu qu'ils sont 4 personnes au début, je vais y aller avec 120 divisé par 4... ». Puis, Julien présente un engagement réfléchi pendant sa planification « je sais pas si ça marche 120 divisé par 4... [pause, puis fait le calcul par écrit et obtient 30]. Ça marche pas mon affaire... [moment d’arrêt] ». Même dans la planification, Julien prend du recul envers sa proposition et se questionne. À ce stade, Julien porte un jugement et explicite qu’il n’est plus d’accord avec des opérations qu’il comptait faire par la suite, sans que nous sachions lesquelles puisqu’elles demeurent un travail privé de l’élève (Coppé, 1993). Il exerce néanmoins un contrôle sur la planification par un moment d’arrêt avant d'aller plus loin dans la planification des opérations. Ce moment d’arrêt met de l’avant que Julien a besoin du résultat de cette opération pour poursuivre la planification. Par le fait même, cet exemple illustre donc à quel point il peut être ardu pour un élève du primaire d'anticiper les opérations sans connaitre explicitement le résultat de l’opération qui précède. Après ce moment d’arrêt, il poursuit et il explicite son plan en gardant en tête les relations « ça fait que je vais faire 120 divisé par 4, comme ça je vais pouvoir trouver combien de minutes qu'ils font en tout, pis après ça, je vais faire...pis là ils sont 3, ben là, je vais enlever 1 personne, je vais enlever le temps de la personne à 120 » (Julien, Fête). La suite de cette planification l’amène jusqu’à la prédiction du résultat qui serait, selon lui, entre 90 et 100. Julien opérationnalise dans sa tête sa structuration du problème pour planifier les opérations à faire. Avec ces relations en tête, la planification des opérations favorise un retour vers ces relations et d’en contrôler l’opérationnalisation.

4.2.1.2 La planification des sous-buts

La planification d’un sous-but dans l'espace de recherche illustre que l’élève est en mesure d’avoir une vue d’ensemble du problème et d’y identifier un ou des points de repère qu’il devrait atteindre. Par exemple, Camille identifie un sous-bout qui lui semble utile à la résolution « Ben, pour quatre personnes, je veux voir combien...à mettons combien de minutes si y'était juste une personne » (Fête) tandis que Julien, pour le même problème indique « Je veux trouver combien de minutes ils font en tout… ». Louis, pour le problème Tartes, mentionne qu’il vise à « trouver c'est combien de kilos pour faire 1 dollar ». L’élève est en mesure de décortiquer en sous- parties la planification de la résolution du problème. La planification des sous-buts50 _{guide l’élève vers des}

calculs à envisager. En ce sens, l’élève cherchera quels calculs lui permettent d’atteindre un sous-but identifié.

50 _{Nous distinguons « Déterminer un but » lors du contrôle structural de « planifier un sous-but » lors du contrôle opérationnel à partir de}

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4.2.1.3 La prédiction des propriétés d’un résultat

À propos de la prédiction du résultat, nous avions prévu pour le problème Fête une question qui, à sa lecture, inciterait l’élève à anticiper une propriété du résultat, soit celle de prévoir si la préparation de la même quantité de sacs par 3 personnes (au lieu de 4 personnes) prend plus ou moins de temps que 120 minutes. Vincent, Gabrielle, Louis, Alice et Maryse prédisent que la production de la même quantité de sacs prend plus de temps grâce à un raisonnement de proportionnalité inverse qualifiant que lorsque l’on est moins de personnes, ça prend plus de temps pour faire une même quantité de sacs. Dans ce cas, la prédiction de cette propriété demeure une information qui permet à la fois de mieux cerner le problème et, si cette dernière est gardée en tête, d’être réinvestie comme contrainte à respecter lors de la résolution. De son côté, Julien prévoit une propriété au résultat du problème Fête, soit qu’il sera « entre 90 pis 100 » (Julien, Fête).

Nous avons aussi relevé, pour le problème Punch, d’autres exemples qui traduisent la prédiction d’une propriété du résultat. Un premier exemple vient d’Alice qui prédit que le nombre de personnes pouvant gouter le mélange sera plus grand, sans avoir une idée plus précise du nombre de personnes.

Alice: Mettons qu'elle en met 300 ml, ben ça va être pour plus de personnes [plus de 4 personnes]. Je vais essayer de voir c'est pour combien de personnes.

CH: Est-ce que tu as déjà une idée du nombre?

Alice: Heu...ben je le sais pas là là vraiment... (Alice, Punch)

Les résultats pour le problème Tartes s’avèrent semblables. Vincent, Louis et Maryse prédisent que la réponse de l’élève est incorrecte en décelant un élément de la résolution de l’élève fictif qui leur semble illogique. À titre d'exemple, un élève compare les données 6 Kilos = 8 dollars, alors 3 Kilos ≠ 3 dollars, et qu’il est donc en désaccord avec l’élève fictif. À ce moment, il est en mesure d’anticiper avant de faire la résolution qu’il devrait obtenir un résultat différent de l’élève fictif.

Dans l’ensemble, prédire une propriété peut être associé à ce que Richard (2004) nomme les contraintes du problème telles que le sujet se les représente et qui viennent délimiter l’espace de recherche.

4.2.1.4 Une anticipation multiple

Nous avons remarqué parmi les résultats que parfois, un élève mobilise plusieurs manières d’anticiper pour un même problème. L’anticipation de Vincent pour le problème Fête est un bon exemple d’une anticipation multiple.

« Ben, 4 personnes ensemble pendant 120 minutes, fait que là, je vais regarder combien de minutes par personne ça l'a pris, fait que là, à mettons, 120 divisé par 4, fait que là le...fait que là j'vais faire le nombre que ça me donne X 3, parce qu'ils sont juste 3 personnes, pas 4...mais je pense que ça va me donner 90 minutes...non attend, il faut que je fasse 120 minutes PLUS le nombre que ça m'a donné, parce qu'ils sont juste 3 personnes pis ça va prendre...ça va pas prendre moins de temps, ça va prendre plus de temps. » (Vincent, Fête)

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À la planification des opérations s’ajoute la planification d’un sous-but (je vais regarder combien de minutes par personne) et la prédiction d’une propriété du résultat (je pense que ça va me donner 90 minutes). Vincent contrôle l'anticipation en coordonnant cette prédiction du résultat avec une autre prédiction d’une propriété du résultat qu’il avait faite auparavant dans cet entretien (ça va prendre plus de temps). Il exerce un engagement réfléchi sur les informations obtenues en confrontant dès l’anticipation les grandeurs en jeu avec les prédictions. Une marque de contrôle qui guide les prises de décision dans l’anticipation, car cette confrontation amène Vincent à refuser cette anticipation, s’ajuster et modifier la planification des opérations. Dans ce cas, l’anticipation représente une première proposition que Vincent valide dans l’espace de recherche avec la représentation du problème. Cet exemple illustre d'ailleurs le rôle de la représentation du problème lors de l’anticipation pour établir un plan d’action jugé pertinent pour l’élève avant sa mise en œuvre. En quelque sorte, Vincent présente à quel point une interprétation claire et cohérente de la situation par l’élève s’avère essentielle pour favoriser une anticipation tout aussi claire et cohérente pour l’élève. Cet exemple illustre aussi clairement le moment d'anticipation, un lieu où la planification de l’opérationnalisation s’effectue par un lien très étroit avec le travail de structuration. L’élève parle de sa structuration maintenant en termes d’opérations à anticiper. Cette composante contribue à contrôler la suite de la résolution du problème.

4.2.1.5 Quelques écarts dans la mobilisation de l'anticipation

Nous remarquons parmi les résultats quelques écarts lors de la mobilisation de l’anticipation. D’abord, cette composante ne s’avère pas toujours simple à mobiliser51_{. Certains élèves, comme Loïc, éprouvent de la difficulté}

à mettre logiquement en place l’ensemble des opérations lors de l’anticipation.

CH: « Est-ce que tu sais déjà comment tu vas t'y prendre pour résoudre ce problème Loïc: Oui...

CH: Comment tu penses t'y prendre?

Loïc: Je vais prendre le divisé 120 par 4...pour savoir combien une personne va faire...ben une personne va travailler, à mettons...va faire 30%...mmm, non. Je sais pas non [ il abandonne l'anticipation]. » (Loïc, Fête)

Comme Loïc, des élèves abandonnent l'anticipation, car ils ne semblent pas être en mesure d’articuler entre elles, de manière abstraite, les informations et les relations pour en faire une opération cohérente. D’autres élèves semblent perdre le fil des relations lorsqu’ils planifient mentalement les opérations. Ils n’aboutissent pas à une anticipation des opérations. Cet exemple indique un lien fort entre structuration et opérations.

51 _{Nous tenons à préciser que nous ne considérons pas comme étant un écart le fait de ne pas mobiliser l’anticipation. En effet, la}

mobilisation des composantes du contrôle devrait être le choix de l’élève. Nous illustrons dans ce qui suit ce que nous remarquons lorsque les élèves tentent de mobiliser l’anticipation.

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Un autre exemple d’écart autour de la planification des opérations concerne le choix du calcul à faire, comme le présente Louis. Celui-ci mentionne qu’il planifie comme sous-but à atteindre de « trouver c'est combien de kilos pour faire 1 dollar ». Du même coup, il ajoute « Je sais pas quel calcul faire... » (Louis, Tartes). Cet exemple nuance le fait que l’élève puisse identifier lors de l’anticipation ce qu’il cherche, mais ne pas être en mesure52

par la suite d’anticiper les opérations pouvant atteindre le but identifié.

D’ailleurs, nous observons que les élèves coordonnent parfois les informations anticipées avec un autre moment de la résolution, comme la vérification. Toutefois, il s’avère aussi que cette coordination n’a pas lieu53_{. Des}

exemples illustrent que les élèves sont en mesure d’anticiper, mais qu’ils oublient ensuite de réinvestir le produit de leur anticipation plus tard dans la résolution. Par exemple, Maryse répond que la préparation des sacs prendra plus de temps (plus de 120 minutes), à la question A du problème Fête. Lorsque Maryse révise le travail effectué, elle décide de changer la procédure privilégiée ( + 30 pour - 30), n’ayant vraisemblablement plus en tête que le résultat doit être plus grand que 120 minutes.

Figure 30 : Traces écrites de Maryse pour le problème Fête

Il est donc possible que des élèves perdent de vue l’anticipation en cours de résolution ou qu’ils ne puissent rappeler cette dernière au moment opportun. Nous formulons aussi une autre possibilité, liée au fait que l'anticipation plus de temps provienne d’une question imposée par le problème (question A) et non par le fait que l’élève ait mobilisé de lui-même cette composante du contrôle. C’est une anticipation qui est en quelque sorte imposée à l’élève. D’ailleurs, Maryse ne semble pas faire le lien entre les deux questions puisqu’elle ne revient pas à la première question une fois qu’elle a répondu à la deuxième.

D'autres élèves refusent de réinvestir le produit de leur anticipation. L’exemple fourni par Alice va en ce sens. Alice prévoit avant la résolution que 3 personnes prendront plus de temps pour faire la même quantité de sacs.

52 _{Nous ne stipulons pas que les élèves doivent être en mesure d'anticiper les procédures à tout coup.}

53 _{Bien que ces constats ne concernent pas strictement la mobilisation de l’anticipation, nous jugeons pertinent de souligner dans cette}

partie que parfois les anticipations ne sont plus considérées dans la suite de la résolution, pour différentes raisons. Ces constats concernent davantage un écart lors de la vérification par un non-retour à l’anticipation effectuée (Maryse) et par un écart lors du discernement (Alice).

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À priori, la réponse devrait être selon elle plus grande que 120 minutes. Toutefois, Alice ne considère plus cette propriété (plus de 120 minutes) une fois le résultat trouvé.

Ses calculs, 120 – 30, et sa réponse, 90 minutes, reposent sur le fait que « vu que là, ils sont 3, une personne de moins, donc j’ai enlevé un 30 minutes ». Cet exemple permet d’observer que l’anticipation peut être évacuée suite aux calculs, parce que ces derniers sont plus fiables aux yeux de cette élève. Suite à cette réponse, la chercheure questionne Alice « Tu te souviens, tu as dit tantôt à la première question que ça allait prendre plus de temps […] Qu'est-ce qui fait que cela a changé? ». Alice explicite qu’elle priorise les résultats au détriment d’une anticipation.

« Ben parce que me semble que d'habitude, quand t'es plus, ça prend moins de temps [regarde la chercheure pour validation] quand tu enlèves, ça va être plus long parce qu’y'aura une personne de moins, mais là après, quand j'ai fait mes calculs, j'ai regardé, j'ai tout fait mes calculs pis je me suis dit ah! C'est bizarre, parce que là, ça prend moins de temps pis là, j'ai compris que ça va prendre moins de temps, pis c'est ça là... » (Alice, Fête)

Même si Alice exerce un raisonnement qualitatif sur les relations, pour formuler une anticipation qui lui semble logique, elle accorde fort probablement une plus grande crédibilité aux résultats des calculs écrits, car « j'ai compris que ça va prendre moins de temps ». Elle hiérarchise les calculs au-dessus de l’anticipation, puisqu’elle ne conteste pas les calculs qu’elle a faits.

Dans l’ensemble, nous observons des écarts dans la mobilisation de l'anticipation chez les élèves. Certains d’entre eux éprouvent de la difficulté à aller au bout d’une anticipation ou à coordonner le produit d’une anticipation avec l’espace problème. D’autres anticipations demeurent contradictoires avec des résultats sans qu’elles ne fassent l’objet d’un regard réflexif de la part de l’élève. Les cas d’Alice et de Louis nous laissent supposer que les produits de l'anticipation pourraient aussi être contrôlés par l’élève grâce à d’autres composantes du contrôle, telles que la vérification, le discernement ou par des euristiques de recherche. Ces écarts permettent d’identifier des difficultés liées à l’activité d’anticipation lorsque les élèves mobilisent cette composante. Ces résultats nous amènent aussi vers un tout autre questionnement. Lorsque les élèves mobilisent la composante anticipation, sont-ils en mesure de saisir la pertinence et l'utilité d’anticiper?

4.2.1.6 Retour sur les observations effectuées pour la composante anticipation

Nous avons illustré dans ce qui précède la manière dont les élèves qui participent à cette étude mobilisent la composante anticipation lors de la résolution des problèmes de proportion. Nous retenons que des élèves de 5e

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année sont en mesure d’anticiper avant la mise en place effective des opérations, et ce, de manière plus ou moins élaborée. Anticiper est une activité intellectuelle qui consiste à opérer, en tout ou en partie, de manière spéculative une représentation du problème avant des calculs écrits, en gardant en tête les relations et sans avoir accès à tous les résultats et rétroactions possibles par les opérations effectives. Nous avons aussi observé des anticipations basées tant sur des représentations correctes que sur des représentations erronées. En ce sens, ces anticipations traduisent une première proposition cohérente avec la représentation qu’a l’élève du problème qui guide ses décisions concernant les opérations à effectuer. Ce qui rejoint le propos de Focant et Grégoire (2008) quant au rôle de la planification, ces derniers stipulant que l’élève peut choisir le plan d'actions qu’il juge pertinent et/ou efficace avant de le mettre en œuvre. Dans l’ensemble, cette exemplification de l’anticipation demeure fidèle à celle élaborée lors du cadre conceptuel. Elle porte sur la planification des opérations et de sous buts ou la prédiction d’une des propriétés du résultat.

Nous observons par ces résultats que cette composante se caractérise par l’exerce d’un contrôle opérationnel sur la structuration du problème, grâce à une réflexion portant, entre autres, sur la cohérence entre les opérations planifiées et l’espace problème, la structuration développée par l’élève. L’anticipation demeure une proposition qui peut faire l’objet d’une surveillance par le regard critique, comme nous le présente Julien, ou grâce à d’autres composantes du contrôle. Par exemple, la vérification du résultat obtenu avec le résultat anticipé ou la vérification des opérations effectuées avec celles planifiées.

Nous avons aussi remarqué quelques écarts dans la mobilisation de l’anticipation. Dès lors, l'anticipation demeure une activité loin d’être simple à mettre en place pour plusieurs élèves ou du moins, semble être une composante parfois difficile à exercer pour d'autres élèves.