Capacité des élèves à représenter schématiquement

Les résultats d’une étude récente de Hanin et Van Nieuwenhoven (2016) indiquent que la représentation du problème est déterminante pour les étapes subséquentes à la résolution et pour la réussite du problème. Or, la mise en place des relations mathématiques peut s’effectuer à l’aide d’une représentation schématique, qui pourrait s’avérer être une aide importante pour les élèves lors la résolution de problèmes complexes (Fagnant et Vlassis, 2013; Polotskaia, 2014; Savard et Polotskaia, 2014; Thevenot et al., 2015). Une recherche de Fagnant et Vlassis ( 2013) avait déjà permis d’analyser l’impact de la représentation schématique lors de la résolution de problèmes arithmétiques faite par 146 élèves de 4e _{année au Luxembourg. Cette analyse porte}

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sur les données obtenues en trois étapes. Chacune des étapes demandait aux élèves de résoudre quatre problèmes non routiniers6_{, dont les structures proposées étaient les mêmes d’une étape à l'autre, mais}

présentées dans un contexte différent.

Lors de la première étape, les élèves devaient résoudre les quatre problèmes sans instruction spécifique sur la manière de résoudre. 9 des 146 élèves ont produit de leur propre gré une représentation dessinée partielle ou complète de la structure mathématique en jeu dans le problème. Parmi ces 9 élèves, 6 d’entre eux ont obtenu une réponse correcte. Avec un taux de réussite de 27% (version A) et de 23% (version B) les auteurs soulèvent que la majorité des élèves n’ont pas spontanément mobilisé des représentations schématiques même si les problèmes étaient difficiles pour eux.

Lors de la deuxième étape, les élèves avaient à leur disposition pour résoudre chacun des quatre problèmes une représentation schématique du problème de type diagramme (version A) ou de type dessin (version B). Dans chaque classe, la moitié des élèves ont reçu la version A et l’autre moitié ont reçu la version B. La figure 9 présente l’exemple de deux problèmes proposés aux élèves et les schématisations qui pouvaient accompagner ces problèmes.

6 _{Les problèmes non routiniers sont des problèmes qui impliquent des variables avec lesquelles les élèves sont peu ou pas du tout}

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Figure 9 : Exemples de problèmes et leurs schématisations proposées aux élèves dans la partie 2 de l’étude de Fagnant et Vlassis (2013, p. 165)

Le taux de réussite pour l’étape 2 passe à 49 % pour la version A (diagramme) et 42% pour la version B (dessin). En comparant les résultats entre les étapes 1 et 2, les auteures remarquent que la présence des représentations schématiques augmente le taux de réussite global des élèves, et ce, pour les deux types de représentations (diagramme et dessins).

Lors de la troisième étape, les élèves étaient invités à résoudre les problèmes en construisant une représentation schématique du même type (diagramme ou dessin schématique) que celui observé lors de la deuxième partie de l’étude. Dans la version A (diagramme), les élèves avaient en exemples trois diagrammes sans données et sans indications supplémentaires. Dans la version B (dessin), les consignes indiquaient que les élèves devaient faire des dessins contenant les principales informations. Le taux de réussite des élèves fut de 42% pour la version A (diagrammes) et de 37% pour la version B (dessins). Pour les quatre problèmes, le pourcentage moyen des représentations faites par les élèves est de 91% pour les diagrammes et de 84% pour les dessins. Le pourcentage de représentation correcte et complète est de 30% pour les diagrammes et de 15% pour les dessins. Ces résultats laissent entendre que les élèves de 4e _{année réussissent, dans une certaine}

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mesure, à faire une représentation complète et correcte et qu’ils réutilisent plus ou moins efficacement les représentations rencontrées précédemment à l’étape 2.

Pour la plupart des types de problèmes, les auteures précisent qu’un problème sans représentation schématique (étape 1) semble plus difficile à résoudre qu'un problème où l’on demande à l'élève de produire une représentation (étape 3) et que celui-ci semble aussi plus difficile qu'un problème accompagné d'une représentation schématique (étape 2). Le taux de réussite des problèmes étant plus faibles dans la partie 3 que dans la partie 2, les auteurs suggèrent que dans le contexte de leur étude, l’accès à une représentation schématique pour résoudre ces problèmes serait une aide plus efficace à l’élève que si ce dernier doit la construire lui-même. Les auteures avancent que l’exposition à la représentation schématique étant très limitée à l’étape 2, ces élèves avaient plus ou moins d'aisance à produire des représentations schématiques efficaces à l’étape 3. Néanmoins, les auteures pointent le fait que les élèves ont amélioré leurs performances à résoudre ces problèmes grâce aux représentations qu’ils ont faites, puisque le taux de réussite est supérieur à ceux obtenus à l’étape 1.

En complément à cette étude, Savard et Polotskaia (2014) précédemment présenté au point 1.3.2, remarquent que les élèves de première année du primaire font une représentation du problème à l’aide de dessins, en s’attardant davantage à l’illustration du contexte ou de l'histoire, à des nombres ou à un calcul réalisé, mais sans représenter la structure mathématique complète. Il s’avère qu’un enseignement de la représentation schématique est nécessaire afin que cette stratégie soit éventuellement mobilisée par les élèves de manière à ce qu’ils puissent construire la structure mathématique correspondant à un problème donné.

Bien que les élèves soient en mesure de représenter schématiquement selon les deux études présentées précédemment, ces derniers semblent généralement peu portés à représenter une structure mathématique de manière spontanée lors de la résolution de problèmes complexes. Néanmoins, les résultats précédents indiquent un potentiel à considérer concernant les représentations schématiques en tant qu’euristique utile à la résolution de problèmes. Et bien que cette recherche n’envisage pas d’examiner le développement chez les élèves ou l’efficacité des représentations schématiques lors de la résolution de problèmes, ces dernières peuvent faire partie des stratégies mobilisées par les élèves lors de la résolution de problèmes, dans une forme plus ou moins développée. Du point de vue des prises de décision, ces représentations peuvent être utiles à la recherche de sens et guider les opérations à effectuer.