Simulations de suivi de franges modifié par la métrologie

Compte-tenu des modifications de l’algorithme pour tenir compte du suivi de franges à des consignes non-nulles, je vais maintenant présenter les simulations réalisées pour analyser l’impact de la perte de deux sorties du recombinateur sur la stabilisation des franges à différentes consignes.

Description des simulations

Pour cela, j’ai réalisé des simulations avec le schéma de recombinaison habituel (voir partie 4.2.1), ainsi qu’avec un recombinateur modifié (que l’on appellera « recombinateur ABC » pour simplifier dans la suite) afin de pouvoir comparer facilement les deux cas. Pour simuler le recombinateur ABC, j’ai supprimé deux lignes de la matrice V2PM afin de créer des images de 22 pixels par canal spectral. Les lignes supprimées correspondent aux voies D des bases 1–4 et 2–3. La matrice pseudo-inverse de cette V2PM modifiée est utilisée pour estimer les cohérences complexes de chaque base à partir de l’image bruitée. Les phases et retards de groupe de chaque base sont ensuite estimés avec les algorithmes habituels à partir des cohérences complexes.

J’ai utilisé de simples intégrateurs pour asservir les franges dans ces simulations. En effet, cette modification du recombinateur n’affecte que l’estimation des différences de marche, et non le calcul des commandes. Cependant, j’ai utilisé deux versions de l’in- tégrateur : dans l’une les pistons sont calculés par inversion directe de l’estimation des différences de marche, tandis que dans l’autre cette inversion est pondérée par le bruit sur les différences de marche, de façon à améliorer leur estimation par les relations de clôture entre les bases (voir partie 3.3.1).

comme décrit précédemment :                  φ12= 0 φ13= Φ φ14= Φ φ23= Φ φ24= Φ φ34= 0 (4.16)

J’ai simulé quatre consignes Λc de différence de marche différentes pour ces simulations :

0, λ/4, λ/2, et −λ/4.

Chaque simulation est répétée dix fois avec à chaque fois des séquences de perturba- tion différentes, simulées de la même façon qu’en partie 4.2. Les résultats dans la suite présentent systématiquement des moyennes sur ces dix simulations.

Résultat des simulations à haut rapport signal-sur-bruit

Afin de valider l’adaptation des algorithmes à des consignes non nulles telle que décrite précédemment, j’ai tout d’abord réalisé de simples simulations à haut rapport signal-sur- bruit, avec une étoile de magnitude K = 6, à 1 kHz, avec 10 µm de turbulence atmo- sphérique, et sans vibration ni variation de flux. Dans la figure4.21, je présente l’erreur moyenne à la consigne en fonction de la consigne nominale Λc, pour chaque base, avec les

deux contrôleurs (pondéré et non pondéré), et avec les deux versions de recombinateur dif- férentes (modifié ou non par la métrologie). La figure4.22présente l’écart-type des résidus de différence de marche pour chaque base en fonction de la consigne nominale, également pour chacune de ces situations.

On constate que les différences de marche sont correctement asservies à la consigne imposée, à une précision inférieure au nanomètre, quelle que soit la valeur de la consigne. La modification de l’algorithme de façon à suivre les consignes non nulles est donc appropriée, même pour des consignes proches de λ/2. On constate également qu’à haut rapport signal- sur-bruit, la perte de deux sorties du recombinateur n’impacte pas la précision du suivi de franges. De même, à haut rapport signal-sur-bruit, le fait de suivre les franges à des consignes non nulles n’a aucun impact sur la stabilité de cet asservissement : les résidus de différence de marche restent stable à 68 nm rms près quelle que soit la consigne, le recombinateur, ou le contrôleur utilisé.

Résultat des simulations à bas rapport signal-sur-bruit

L’impact des consignes non nulles et/ou de la modification du recombinateur sur l’ef- ficacité du suiveur de franges se révèle à faible rapport signal-sur-bruit. Pour le mettre en relief, j’ai réalisé ces mêmes simulations pour suivre les franges d’une étoile de magnitude

K = 10, à une fréquence de 300 Hz, avec des pertes de flux provoquées par un tip-tilt

résiduel de 15 mas, avec une turbulence atmosphérique de 10 µm, et 150 nm de vibra- tions. La figure4.23présente les erreurs moyennes aux consignes fixées pour chaque base, en fonction de la consigne nominale Λc pour chaque situation simulée, et la figure4.24les

écarts-types correspondants.

Commençons par analyser les erreurs aux consignes (figure 4.23). On constate tout d’abord qu’à faible rapport signal-sur-bruit, elles ne sont plus systématiquement nulles, mais sont clairement proportionnelles à la consigne imposée : plus la consigne est grande, plus l’erreur d’asservissement à cette position est grande ; les bases 1–2 et 3–4, dont les

Figure 4.21 – Erreur à la consigne en fonction de la consigne Λc, pour chaque base. À chaque valeur de Λc en abscisse , six points sont représentés (un par base). Les deux bases susceptibles d’être modifiées par la métrologie sont en couleur (elles ne sont modifiées que dans les schémas du bas) ; les deux bases pour lesquelles la consigne est systématiquement nulle sont représentées par des signes +, les deux autres par des signes ×. Simulations à haut rapport signal-sur-bruit, sans vibrations ni pertes de flux.

Figure 4.22 – Écart-type des résidus de différence de marche de chaque base, en fonction de la consigne Λc, à haut rapport signal-sur-bruit.

Figure 4.23 – Erreur à la consigne en fonction de la consigne Λc, pour chaque base. Les deux bases susceptibles d’être modifiées par la métrologie sont en couleur ; les deux bases pour lesquelles la consigne est systématiquement nulle sont représentées par des signes +, les deux autres par des signes ×. Simulations avec une étoile de magnitude K = 10, avec 150 nm rms de vibrations, 10 µm de turbulence atmosphérique, et 15 mas de tip-tilt résiduel.

Figure 4.24 – Écart-type des résidus de différence de marche de chaque base, en fonction de la consigne Λc, pour une étoile de magnitude K = 10, avec 150 nm rms de vibrations, 10 µm de turbulence atmosphérique, et 15 mas de tip-tilt résiduel.

franges sont stabilisées à la différence de marche nulle, n’ont quant à elles aucune erreur dans leur asservissement.

De plus, cette erreur est légèrement plus importante sur l’ensemble des bases à consigne non nulle avec un recombinateur ABC qu’avec un recombinateur normal : pour une consigne de λ/2, l’erreur est de ∼ 750 nm avec un recombinateur ABC au lieu de ∼ 650 nm avec un recombinateur ABCD, lorsque l’inversion des différences de marche en piston n’est pas pondérée. Ce même phénomène se produit également dans la version pondérée des si- mulations. On constate également que toutes les bases à consigne non nulle sont affectées de la même façon avec la même erreur, qu’il s’agisse d’une base modifiée par la métrologie ou non. C’est simplement dû aux relations de clôture, qui contraignent l’ensemble des rési- dus selon les relations 4.13. Ainsi, avec un recombinateur ABC, toutes les bases pâtissent de la perte de précision sur l’estimation de deux différences de marche.

Par contre, le fait de pondérer l’inversion des différences de marche pour utiliser au mieux les relations de clôture lors de l’estimation des pistons est beaucoup plus efficace pour suivre les franges à la consigne assignée : pour une consigne de λ/2, l’erreur sur la consigne n’est plus que de 15 nm avec le recombinateur ABCD au lieu de 650 nm, et de ∼ 35 nm au lieu de 750 nm avec le recombinateur ABC.

Analysons maintenant la stabilité des franges (figure4.24). On constate tout d’abord que dans la version modifiée du recombinateur, les différences de marche estimées sur les deux bases modifiées du recombinateur ABC sont clairement moins bien stabilisées que sur les quatre autres bases : il y a plus de 100 nm rms de différence dans la version non pondérée des simulations, et près de 50 nm rms de différence dans la version pondérée. Cette perte d’efficacité est effectivement attendue compte-tenu du fait que les différences de marche de ces deux bases sont estimées avec une moins bonne précision, à partir de trois intensités en quadrature de phase au lieu de quatre.

Par contre, on se serait attendu à ce que la stabilité des franges varie de façon plus importante en fonction de la consigne, et qu’en particulier l’écart-type des résidus sur ces deux bases modifiées pour une consigne de λ/4 soit du même ordre que celui sur les bases non-modifiées : en effet une consigne de λ/4 correspond à asservir la frange sombre sur la voie D du recombinateur, et ainsi à limiter la perte de flux sur ces deux bases. On constate cependant que les écarts-types des résidus sont en effet minimisés pour cette consigne avec le contrôleur pondéré, mais qu’ils restent cependant supérieurs aux autres bases. Cette perte de stabilité malgré la consigne appropriée est due au fait que les différences de marche sont estimées à partir de seulement 3 mesures d’intensité au lieu de quatre. Le fait de mesurer une intensité nulle sur un quatrième pixel est malgré tout une information en soit qui aurait amélioré la précision sur l’estimation de la différence de marche. Cet effet se retrouve également dans l’analyse de la matrice V2PM modifiée par la perte de deux lignes. Elle a en effet toujours 16 valeurs singulières non nulles, car l’estimation des quatre flux et des six cohérences complexes de l’objet est toujours possible, malgré la perte de deux voies sur des bases opposées. Cependant, quatre valeurs singulières sont significativement plus faibles que pour la matrice V2PM non modifiée et montrent que deux cohérences complexes seront estimés avec une incertitude plus grande. Ainsi, même en stabilisant les franges à une consigne de λ/4 sur ces deux bases modifiées, la différence de marche reste malgré tout moins bien estimée.

Enfin, on constate comme attendu que les franges sont mieux stabilisées avec un contrô- leur pondéré tirant au mieux profit des relations de clôture qu’un contrôleur non pondéré, avec des écarts-types des résidus réduits de plus 1 µm. Les franges sont également glo-

Figure 4.25 – Erreur à la consigne (haut) et écart-type des résidus de différence de marche (bas) de chaque base, en fonction de la consigne Λc, pour une étoile de magnitude K = 10, 1, avec 150 nm rms de vibrations, 10 µm de turbulence atmosphérique, et 15 mas de tip-tilt résiduel.

balement mieux stabilisées avec le recombinateur ABCD qu’avec sa version modifiée par la métrologie (∼ 1630 nm rms avec la version ABCD contre ∼ 1700 nm rms avec la ver- sion ABC pour un contrôleur non pondéré, et 440 nm rms contre 500 nm rms avec un contrôleur pondéré). Cependant, cette perte de stabilité avec le recombinateur modifié est simplement due à la perte de flux liée à l’obstruction de deux sorties sur 24 de l’optique intégrée, ce qui correspond à une perte de sensibilité de 0,1 magnitude. En effet, la fi- gure 4.25présente les erreurs moyennes aux consignes et écarts-types des résidus dans le cas d’une étoile de magnitude K = 10, 1, avec seulement un recombinateur non modifié par la métrologie. On voit que les écarts-types valent également 1700 nm rms dans le cas d’un contrôleur non pondéré, et 500 nm rms avec un contrôleur pondéré, soit exactement la même efficacité de suivi qu’avec le recombinateur ABC pour une étoile de magnitude 10.