3.2 Le senseur de phase
3.2.2 Extraction de l’information cohérente
Formalisme de la V2PM
Pour extraire les flux incohérents et la cohérence du champ propres à l’objet observé, j’utilise le formalisme de démodulation des images par une matrice étalonnée au préalable, et contenant les paramètres instrumentaux représentatifs de la formation des images. Ce formalisme a été développé pour la réduction de données de l’instrument AMBER du VLTI (Millour et al. 2004), et adapté au mode de recombinaison de type ABCD utilisé par GRAVITY par Lacour et al.(2008).
Considérons l’intensité Qi mesurée en sortie d’une voie du recombinateur résultant
de la combinaison de deux champs électriques An et Am issus des télescopes n et m de
visibilité Vn,m. En négligeant les termes de diaphonie causée par la faible transmission des
faisceaux parasites dans cette voie venant des autres télescopes, cette intensité à l’itération 2. On verra dans la partie suivante que les défauts instrumentaux autres que ceux liés au détecteur sont pris en compte par une autre étape de l’algorithme.
t se déduit de la relation suivante : Qti = |√At n+ √ Ti mAtm|2 (3.4) = Tni|Atn|2+ Tmi |Atm|2+ 2ℜ[√Ti nTmi Oin,mAtnAt ∗mVn,mt ] . (3.5) Les termes Ti
n et Tmi correspondent aux facteurs de transmission du flux issus respective-
ment des télescopes n et m dans la voie i du recombinateur, et le terme Oi
n,m correspond
au terme de cohérence complexe instrumentale entre ces deux amplitudes sur cette voie. Typiquement, le module et la phase de cette grandeur caractérisent respectivement le contraste propre à l’instrument et le déphasage introduit par le recombinateur entre les deux voies pour échantillonner les franges sur quatre sorties en quadrature de phase. Ainsi, notant Ft
n= |Atn|2 et Fmt = |Atm|2 les flux incohérents dans le recombinateur issus des té-
lescopes, et Ct
n,m = AtnAt ∗mVn,mt le flux cohérent entre les deux télescopes, cette relation
s’écrit : Qti = TniFnt+ Tmi Fmt + 2√Ti nTmi ℜ [ On,mi ]ℜ[Cn,mt ]− 2√Ti nTmi ℑ [ Oin,m]ℑ[Cn,mt ]. (3.6)
Cette équation se généralise sous forme matricielle pour calculer l’ensemble des 24 inten- sités Qt formées par le recombinateur :
Qt= V2PM Ft, (3.7)
avec Ftle vecteur des flux incohérents et cohérents, formé en trois parties :
Ft=[ [Ft a ]T a∈[1,Na] [ ℜ[Ct b ]]T b∈[1,Nb] [ ℑ[Ct b ]]T b∈[1,Nb] ]T , (3.8)
Na et Nb étant respectivement le nombre de télescopes et le nombre de bases, V2PM est
la Visibility to Pixel Matrix (V2PM), matrice de passage des cohérences aux intensités,
xT la transposée de x. Cette matrice est formée des termes instrumentaux de transmission
Tni et de cohérence Oin,m. Il est à noter que cette matrice V2PM se généralise très faci-
lement pour tenir compte des termes de diaphonie. Ces termes ont été ici négligés pour simplifier l’explication du formalisme adopté. J’attire également l’attention du lecteur sur le changement d’indexation du vecteur des flux cohérents Ct : étant défini pour chaque
base, on peut l’indexer soit par deux entiers n et m dans [1, Na] tels que n 6= m, repré-
sentatifs des deux télescopes combinés, soit par un entier b dans [1, Nb], représentatif de
la base considérée. Dans la suite, j’utiliserai les deux indexations, de façon à simplifier la compréhension des équations.
En supposant cette matrice étalonnée au préalable, j’estime ainsi les flux incohérents et cohérents de la cible à partir des mesures d’intensité par la relation :
Ft= P2VM Qt, (3.9)
où P2VM est la Pixel to Visibility Matrix (P2VM), matrice pseudo-inverse de la V2PM. De la même façon, j’extrais des intensités qt
l correspondantes les vecteurs Flt des flux
incohérents et cohérents de chaque canal spectral l, à partir des P2VM de chaque canal spectral P2VMl étalonnées au préalable :
Flt= P2VMlqtl l ∈ [1, Nλ] . (3.10)
De même, ce vecteur se décompose en trois parties pour chaque canal spectral l :
Flt=[ [Fa,lt ]T a∈[1,Na] [ ℜ[Cb,lt ]]T b∈[1,Nb] [ ℑ[Cb,lt ]]T b∈[1,Nb] ]T l ∈ [1, Nλ] . (3.11)
Analyse de l’information cohérente
Intéressons-nous aux termes complexes de flux cohérents (ou cohérences complexes)
Cn,mt entre deux télescopes n et m, qui se reconstruisent en extrayant les deux dernières
parties du vecteur de flux en bande large Ft :
Cn,mt = ℜ[Cn,mt ]+ iℑ[Cn,mt ]. (3.12)
Je considère ici le cas (et les indexations) propres aux cohérences en bande large de l’équa- tion3.8, mais l’analyse suivante se généralise également à chaque canal spectral l ∈ [1, Nλ].
Considérons pour l’instant un cas monochromatique d’étoile n’émettant qu’à la lon- gueur d’onde λ0. Les amplitudes complexes Atnet Atmdes deux champs électriques recom-
binés sont représentatives de l’onde lumineuse issue de l’étoile filtrée par chaque télescope. Ces termes, propres à la propagation de l’onde depuis la source jusqu’à l’instrument, ont des modules semblables, représentatifs du flux injecté dans le recombinateur, et des termes de phase représentatifs du chemin optique qu’ils ont parcouru jusqu’au recombinateur de l’instrument. Ainsi, le terme At
n se décompose de la façon suivante :
Atn= |Atn| exp(iφtn), (3.13) où le terme de phase est lié au chemin optique parcouru pt
net à la longueur d’onde λ0 par
la relation : φtn= 2πp t n λ0 . (3.14)
Il en va de même pour le terme de phase de l’amplitude complexe sur le télescope m, pour un chemin optique pt
m.
Le terme de visibilité complexe Vt
n,m est lui propre à la cohérence spatiale de l’objet
observé sur cette base :
Vn,mt = |Vn,mt | exp(iΦtn,m), (3.15) son module valant 1 et sa phase 0 si l’objet n’est pas résolu ou s’il est symétrique sur cette base.
Le terme de flux cohérent s’exprime donc en fonction de la phase différentielle ψt n,m=
φtm− φtn par la relation :
Cn,mt = |Atn||Atm||Vn,mt | exp(iΦtn,m+ iψtn,m). (3.16)
La différence de marche entre deux télescopes étant directement proportionnelle à la phase différentielle, on comprend tout l’intérêt de suivre les franges sur une étoile de référence non résolue par l’instrument : si ses phases propres Φt
n,mne sont pas nulles, il est impossible
d’extraire les termes propres aux différences de marche à moins de connaître parfaitement ces termes de phase. Dans la suite, je supposerai donc que la source de référence du suiveur de franges n’est pas résolue par l’instrument3. L’équation précédente se simplifie alors :
Cn,mt = |Atn||Amt | exp(iψn,mt ). (3.17)
Dans le cas polychromatique où l’étoile vue par l’instrument a un spectre Σ étendu en fonction de λ, l’équation 3.5 se généralise en une somme sur toutes les longueurs d’onde du spectre. Les termes réels résultent alors d’une simple somme et les flux incohérents Ft n
correspondent donc aux flux collectés sur toute la bande spectrale. Le terme de cohérence complexe de l’équation3.17correspond lui à une somme complexe :
Cn,mt = |Atn||Atm| ∫
Σ(σ) exp(2iπδn,mt σ) dσ, (3.18)
où σ = 1/λ est le nombre d’onde, et :
δn,mt = ptm− ptn (3.19)
la différence de marche entre les deux télescopes. Après une transformée de Fourier et un changement de variable, on retrouve une expression semblable à l’équation monochroma- tique3.17 :
Cn,mt = |Atn||Atm| E(δn,mt ) exp ( 2iπδ t n,m λ0 )