série d'exercices multiplicatifs : (10 min)

+ cubes

Recherche individuelle par 2 au brouillon suivie d'une validation du résultat par la manipulation des cubes par un élève.

L'énoncé du problème est écrit au tableau

Lorsqu’elle interprète le projet du formateur, Julie comprend que le matériel doit permettre la validation des calculs puisqu’elle lui attribue cette même fonction dans sa fiche de préparation mais elle n’a, probablement, pas conscience que pour cela, les cubes doivent être remis aux élèves en échange des bons de commande.

De plus, elle semble ne pas se représenter clairement la tâche du maître au cours de la phase de synthèse. D’après le projet décrit par les formateurs, le maître doit s’appuyer sur les écritures produites par les enfants afin de présenter l’écriture multiplicative comme un moyen plus rapide d'écrire les calculs effectués. Or, dans sa fiche de préparation, elle prévoit de mettre en évidence « l'économie de la

multiplication qui permet d'éviter des additions réitérées », sans préciser s’il s’agit d’une économie d’écriture ou de calcul.

A travers la représentation qu’elle se fait de la tâche du maître, Julie semble peu s’interroger à propos du parcours cognitif que celui-ci doit proposer aux élèves. Elle prend peu en compte la tâche à réaliser par les élèves. Son analyse semble davantage centrée sur le rôle du maître, le déroulement de la séance, le savoir à institutionnaliser que sur la tâche attendue des élèves. Nous faisons l’hypothèse qu’elle n’a pas prit conscience de la pertinence du projet proposé par la formatrice car elle n’a pas su identifier le lien entre la tâche attendue des élèves et le savoir à institutionnaliser.

3. Etude de la redéfinition de la tâche

A travers l’analyse de cette séance, nous cherchons à mettre en évidence les modifications apportées par Julie au projet initial du formateur. Comme nous l’avons déjà indiqué, Julie utilise le guide pédagogique accompagnant le fichier Cap Maths. Le fait d’avoir recours au guide est un moyen utilisé par Julie pour redéfinir la tâche prescrite par le formateur. Pour étudier la redéfinition de la tâche, nous devons, donc au préalable, cerner l’écart entre le projet décrit dans le guide de Cap Maths et le projet de Julie.

3.1. Décalages entre le projet de Julie et le projet du “Guide des activités” du fichier Cap Maths

Le fichier Cap Maths présente une progression sur l'année organisée par quinzaine.

L'introduction de la multiplication constitue l'objectif principal de la quinzaine abordée dans la classe de la maîtresse-formatrice : « Mettre en place écriture multiplicative et construire une première signification pour la multiplication, en référence à l'addition itérée et à la possibilité d'utiliser le mot « fois ». »²⁹. Les auteurs proposent plusieurs séances mettant en scène les personnages récurrents du fichier (Alex, Lisa et Moustik) construisant des tours avec des cubes.

Dans une séance introductive, au cours de la quinzaine précédente, les enfants découvrent le contexte. Ils doivent aider Alex et Lisa à construire « des tours toutes pareilles ». Le problème posé est le suivant : Alex veut réaliser cinq tours qui auront toutes, quatre cubes de hauteur. Combien doit-il demander de cubes ? Il faut qu'il commande juste ce qu'il faut, pas un cube de plus, pas un cube de moins. Le matériel n’est pas mis à la disposition des élèves mais est montré pour les aider à se représenter le problème :

« Un exemple de tour (et un seul) est montré aux élèves et laissé sur le bureau, il pourra être mis à la disposition de certaines équipes, en cas de blocage durable. » Pour répondre à la question posée, les enfants doivent écrire les calculs effectués, l'objectif étant « d'amener les élèves à utiliser l'addition répétée de façon à distinguer le rôle des deux nombres (nombre d'itérations, ici le nombre de tours) et la valeur itérée (ici, le nombre de cubes par tour). »

L'écriture multiplicative n'est pas attendue. Si les auteurs prévoient que certains élèves suggèreront d’utiliser la touche  de la calculatrice, ils précisent néanmoins à l’intention du lecteur : « On ne refusera pas une telle proposition mais on ne l'exploitera pas non plus immédiatement ».

29 Quinzaine 8, Le guide des activités, Cap Maths CE1, p.149

Au cours de la quinzaine 8, trois séances ont pour titre : « Se familiariser avec l'écriture multiplicative. »

La première séance reprend la situation présentée à la quinzaine précédente. Mais, ici, le nombre total de cubes étant connu, les enfants doivent chercher le nombre de tours réalisables. Chaque équipe de deux doit « chercher sur une grande feuille ». Au cours d’une mise en commun, le maître, dans un premier temps, recense les réponses proposées et dans un second temps, cherche à les valider en explicitant les procédures qui ont permis de les trouver. Les procédures attendues sont :

- le dessin des tours - le comptage de n en n - l'addition itérée

- l'écriture des produits, seulement si elle est proposée.

Sur une affiche - qui pourra être conservée dans la classe comme référence - le maître doit, selon les auteurs, présenter en parallèle les différentes procédures possibles :

Dessin Comptage Écriture additive Expression

avec « fois »

L’écriture additive et l’expression avec « fois » correspondent à deux écritures différentes d’une même procédure. L'expression avec « fois » est très proche de l'écriture multiplicative, mais, les auteurs font le choix de réserver l’introduction du signe “ x ” à l'étape suivante : « la vérification des calculs ».

« Si l'écriture multiplicative n'a pas été, comme il est probable, suggéré par un élève, l'enseignant indiquera qu'il existe une opération qui permet de calculer « les fois quelque chose » avec le signe x de la calculatrice. Ainsi, on peut vérifier que « 5 fois 6 » peut être calculé aussi bien avec 5 x 6 (dit « 5 multiplié par 6 ») qu’avec 6 x 5 (dit « 6 multiplié par 5 »). Les deux écritures correspondantes sont inscrites dans une colonne ajoutée au tableau. »

La deuxième séance, a pour titre : « Se familiariser avec l'écriture multiplicative ». Elle correspond à la séance préparée par Julie. « Cette séance a pour objectif d'entraîner à l'utilisation de l'écriture multiplicative, à partir de questions pour la plupart liés au contexte de la situation initiale (construction de tours). »

Au cours de la troisième séance visant à « Se familiariser avec l'écriture multiplicative », la calculatrice n’est pas autorisée. Les élèves, ne pouvant utiliser ce moyen de calcul, sont contraints à réinvestir «la signification de a x b (en référence aux tours, à l'addition réitérée, au mot « fois ») pour réaliser leur travail. »

Dans le tableau ci-dessous, apparaissent les similitudes et les différences significatives entre la séance décrite dans le « Guide des activités » (la deuxième séance décrite dans la progression du fichier Cap Maths) et la fiche de préparation de Julie.

Fiche de préparation rédigée par Julie Fiche du guide pédagogique

Enoncés

Moustik veut faire 8 tours de 5 cubes chacune.

Combien de cubes doit-il commander ?

Moustik veut faire 12 tours de 15 cubes. Combien de cubes doit-il commander ?

Alex a fait une tour avec 12 cubes et Lisa a fait une tour avec 15 cubes. Combien de cubes ont-ils utilisés en tout ?

Moustik veut lui aussi construire des tours :

-Pour faire 8 tours de 5 cubes chacune, combien lui faut-il de cubes ?

-Pour faire 12 tours, très hautes, de 15 cubes chacune, combien lui faut-il de cubes ?

-Alex a fait une tour avec 12 cubes et Lisa en a fait une autre avec 15 cubes.

Combien ont-ils utilisé de cubes ensemble ?

A propos de la phase de synthèse

Après avoir rassemblé les stratégies des élèves, nous allons rédiger ensemble une synthèse sur les découvertes de la journée en mettant en avant les deux points suivants :

La distinction entre la multiplication et l'addition.

(L'addition sert à ajouter plusieurs nombres et la multiplication sert à ajouter plusieurs fois le même nombre).

L'économie de la multiplication qui permet d'éviter des additions réitérées.

La synthèse porte sur :

-la distinction entre le sens de 12+15 et celui de 12x15 ;

-l'économie de calcul apporté par l'usage du signe x avec la calculatrice, lorsque les calculs sont très longs.

Matériel

Feuille de brouillon

Cubes Cahier de brouillon

Calculatrice

Ce tableau met, tout d’abord, en évidence les modifications apportées par Julie aux énoncés des exercices 1 et 2. Celle-ci utilise le verbe “commander”, très probablement pour montrer qu'elle tient compte, même partiellement, des recommandations de la formatrice qui lui avaient suggéré de prévoir une situation de communication avec échange de bons de commande.

Ce tableau met aussi en évidence des similitudes au niveau des indications concernant la phase de synthèse. Julie s'appuie, de toute évidence, sur le “Guide des activités” du fichier Cap Maths lorsqu’elle prévoit de mettre en évidence « la distinction entre la multiplication et l'addition », et « l'économie de la multiplication ». On peut noter cependant que la formulation utilisée par Julie est moins précise que celle des auteurs du Cap Maths. Là, où Julie cherche à distinguer de façon ambitieuse la multiplication et l'addition, les auteurs du Cap Maths se contentent d'amener les élèves à différencier le sens de 12 +15 et celui de 12 x 15. En outre, il est difficile de cerner ce qu'entend Julie par “l'économie de la multiplication par rapport à l'addition réitérée”. Est-il question de l’économie d’écriture ou de calculs ?

Enfin, ce tableau montre une différence notable quant au matériel autorisé. Les auteurs de Cap Maths préconisent l’usage de calculettes alors que Julie prévoit la manipulation de cubes.

3.2. Une recomposition de deux projets distincts

L’étude de la représentation de la tâche a montré que Julie s’éloigne du projet proposé par la formatrice car elle ne perçoit pas le rôle de la situation de communication par rapport à l’objectif visé. Par ailleurs, l’étude de la fiche de préparation révèle que Julie utilise, pour préparer sa séance, le guide pédagogique Cap Maths.

Le schéma ci-dessous fait apparaître le projet de Julie comme une recomposition de deux projets distincts : celui proposé par la maîtresse-formatrice et celui décrit dans Cap Maths.