Analyse didactique de la séance

Nous avons analysé la fiche de préparation afin d’identifier les savoirs et gestes professionnels à mobiliser au moment de la mise en œuvre. Nous allons, à présent, faire l’analyse didactique de la séance pour pouvoir ensuite mettre en parallèle les savoirs et gestes à mobiliser au moment de la mise en œuvre (paragraphe 1) et les conclusions de l’analyse didactique de la séance observée (paragraphe 2). Ainsi, nous pourrons décrire la réalisation de la tâche.

1.2.1. Phase de dévolution Voici comment débute la séance : (l.1)

« Julie : On pose, on ne touche à rien. On pose les feuilles, on pose les petits cubes. On ne touche plus à rien. Vous vous souvenez de l’exercice que vous avez fait la dernière fois avec votre maîtresse, avec les petits cubes ?

Un élève : Oui !

Julie : Alors, aujourd’hui on va faire la même chose : on va aider un petit garçon qui s’appelle Moustic, à construire des tours avec les cubes.

Un élève : C’est un chat !

Julie : C’est un chat Moustic. On va aider Moustic à faire des tours avec des cubes. »

Après cette rapide présentation, Julie prescrit la tâche : (l. 9)

« Vous vous souvenez, les tours, elles doivent être toutes de la même taille. D’accord ? Alors, je vous montre. On va faire le tout premier exercice. Je vous ai distribué une feuille et des petits cubes. La feuille et les petits cubes, ça va vous aider à résoudre le problème de Moustic. D’accord ? Soit vous pouvez le faire par écrit, soit vous pouvez le faire avec les petits cubes. D’accord ? »

Dès la passation de la consigne, Julie n’impose pas l’utilisation de la feuille de brouillon.

Elle dit : « Soit vous pouvez le faire par écrit, soit vous pouvez le faire avec les petits cubes. » Elle présente, alors, le premier exercice :

(l. 12)

« Alors, on va faire juste le premier exercice. (Julie ouvre le tableau sur lequel sont écrits les énoncés des trois exercices)Voilà, juste le premier d’accord ? Celui-là. (Elle désigne le premier des trois énoncés) Moustic veut faire 8 tours de 5 cubes chacune. Combien de cubes doit-il commander ? »

Elle n’insiste pas sur l’importance des calculs (qu’ils soient effectués mentalement ou par écrit) mais valorise l’exactitude du résultat.

(l. 16)

« Attention, il me faut le résultat exact ! Ni plus ni moins ! D’accord ? Donc, voilà. Vous pouvez commencer. »

Dès la passation de la consigne, Julie s’éloigne de son projet. En révisant à la baisse les contraintes imposées aux élèves, elle crée un décalage important entre la tâche qui devait être attendue des élèves (d’après la fiche de préparation) et la tâche prescrite au cours de la séance.

1.2.2. Phase d’institutionnalisation

Au moment de la phase de synthèse, Julie est déstabilisée car elle ne parvient pas à institutionnaliser l’utilisation du signe “ x ”. Comment interpréter les difficultés rencontrées par le stagiaire dans la réalisation du processus d’institutionnalisation ?

- Mise en évidence d’un “malentendu”

Fidèle à ce qu’elle a noté sur la fiche de préparation, Julie cherche à rapprocher les exercices 2 et 3, de façon à établir une « distinction entre la multiplication et l'addition (L'addition sert à ajouter plusieurs nombres et la multiplication sert à ajouter plusieurs fois le même nombre) » et à montrer «l'économie de la multiplication qui permet d'éviter des additions réitérées. »

Dès le début des échanges, Julie invite les enfants à comparer les énoncés des exercices n°2 et 3. Elle les lit à haute voix, en insistant, sur les données numériques.

(l. 89)

« Bon. Alors, qu’est-ce que vous remarquez entre les deux derniers exercices ? Ici, on a fait 12 tours de 15 cubes et ici, on a fait une tour avec 12 cubes et ici, une tour avec 15 cubes. Qu’est-ce que vous remarquez ? »

Un élève intervient : « On a pris les mêmes chiffres mais pas pour les mêmes choses ».

Julie va, ensuite, faire plusieurs tentatives (qui resteront vaines) pour amener les élèves à exprimer une “distinction entre la multiplication et l'addition”.

Tout d’abord, reprenant la remarque de l'élève, la stagiaire cherche à faire exprimer une différence au niveau des procédures utilisées : (l. 92) « On n’a pas fait les mêmes choses, alors, on a fait quoi ? » Elle attend, probablement, des élèves qu’ils associent chaque exercice à une opération différente puisqu'ils n'ont pas fait “les mêmes choses”.

Un enfant exprime alors, une différence quant à la construction des tours.

Désignant du doigt, l'énoncé de l'exercice 3, il explique : (l. 94) « Là, on ne devait pas faire 12 tours de 15 cubes ! » Alors que Julie attend des élèves qu’ils différencient les opérations utilisées, ceux-ci interviennent seulement pour faire des remarques à propos de la construction des tours avec les cubes mis à disposition.

Julie, néanmoins, approuve la remarque formulée et demande aux enfants de trouver une explication à ce décalage : (l. 101) « Il y en a beaucoup plus sur l’exercice où il y avait 12 tours de 15 cubes. Alors, vous pouvez l’expliquer comment ? » Là encore, les enfants ne peuvent lui fournir l'explication attendue : le résultat de12x15 est supérieur à celui de 12+15. Cependant, un enfant propose une justification : (l.

103) « C’est normal qu’il y a plus de cubes parce qu’une tour, c’est moins que 12 ! » S'appuyant sur ce qu’il a vécu au cours de la phase de manipulation, il compare les 12 tours de 15 cubes de l’exercice 2 à l’unique tour de 15 cubes de l’exercice 3 (et néglige la tour de 12 cubes). Julie semble ne pas comprendre ce que l’enfant veut lui dire et celui-ci n’insiste pas.

Les deux tentatives précédentes ayant échoué, Julie fait le choix de poser de façon plus directe la question : (l. 111) « Alors, là, sur l’exercice ici (Julie désigne l’exercice 2), vous avez fait quoi comme opération, en fait ? On avait dit …Qu’est ce qu’on avait fait ? » À nouveau, les enfants - se basant sur leur vécu - détaillent la procédure de dénombrement utilisée. Ils expliquent qu'ils ont compté de 30 en 30 parce que (l.

115) « 15 +15, et après 15 + 15, on avait compté 30 » Julie désigne alors, l'exercice 3, et demande : (l. 116) « Qu’est ce qu’on a fait comme opération ici ? » mais, les enfants répondent suivant la même logique : (l. 117) « On a fait 12 plus 15. »

Elle compare alors les deux procédures : (l. 118)

« Julie : On a fait 12 plus 15. Alors, qu’ici, (exercice 2) on a ajouté combien de fois 15 ? Un élève : 12

Julie : On a ajouté 12 fois 15. Et là, on avait rajouté 30, on avait compté de 2 en 2, donc, on avait compté 6 fois 30. Et ici, en fait, on a compté 12 tours qui avait chacune 15 cubes, donc on avait compté 12 fois 15 cubes. D’accord. Alors, est ce qu’on a fait la même opération ? »

Les enfants répondent par la négative, très vraisemblablement guidés par le ton insistant de la maîtresse, probablement, un peu noyés par ses explications, mais peut-être aussi parce qu’ils interprètent ici, le mot “opération” comme un synonyme de “calculs effectués”. Julie continue, cherchant à opposer 12 + 15 et 12 x 15 : (l. 124) « Et pourtant, on a dit qu’il y avait les mêmes chiffres. Alors, est ce que vous pouvez expliquer ? » Un élève répond par le seul argument qu’il puisse trouver « Une tour de 15 cubes, c’est plus petit que 12 tours de 15 … »

Julie insiste à nouveau. Les enfants réussissent à identifier la procédure utilisée pour répondre à l’exercice 3 comme étant une addition mais, Julie ne parvient toujours pas à les amener à distinguer cette opération de celle utilisée pour répondre à l’exercice 2.

(l. 140)

« Julie : On a compté de 30 en 30 ; donc, on a ajouté plusieurs fois le même nombre. Alors, vous savez quelle opération on a faite là ?

Un élève : de 30 en 30

Un élève : On a compté 30 + 30 !

Julie : qu’est ce qu’on a fait comme opération ? Un élève : C’est une addition. »

Leur réponse est tout à fait pertinente puisque dans l'exercice 2, comme dans l'exercice 3, les enfants mobilisent l’addition.

Enfin, Julie prend la décision d'écrire sur une affiche, sous la dictée des élèves, les calculs effectués et les résultats trouvés. Elle écrit : dans l'exercice 3, nous avons fait une addition mais, elle se trouve à nouveau, en difficulté lorsqu'il s'agit de préciser l'opération correspondant à l'exercice 2. ( l. 168) « C’est compliqué cette opération qu’on a faite ici ! » Elle demande alors aux élèves s’il existe « un système pour aller plus vite pour cet exercice ? » car « C’est compliqué de compter à chaque fois, plein de choses. » Et les élèves proposent une procédure de calcul plus rapide : ( l. 173) « On peut mettre 4 tours ensemble, ça fait 60 ! » Les échanges entre Julie et les élèves se poursuivent ainsi. Près de onze minutes s’écoulent, avant que Julie aille demander conseil auprès du maître-formateur.

Du point de vue de Julie, les exercices 2 et 3 mobilisent deux opérations différentes. Elle sollicite les élèves, les questionne, insiste pour leur faire dire qu’ils ont utilisé l’addition puis la multiplication mais en vain.

Comme le montrent les échanges décrits dans le précédent paragraphe, un “malentendu”

s’installe entre Julie et les élèves. Au cours de cet épisode, Julie utilise seize fois, le mot opération. Cherchant à distinguer addition et multiplication, Julie ne semble pas avoir conscience que la seconde est définie à partir de la première. Elle semble vouloir introduire la multiplication comme une nouvelle connaissance, une nouvelle opération à étudier. Elle donne au mot “opération” un sens proche de la définition mathématique, fonction de qui à (a, b) associe a x b.

Par contre, lorsqu’elle écrit sur l’affiche les procédures utilisées, le mot “opération”

désigne les calculs effectués.

Le tableau ci-dessous, présente la fréquence d’emploi du mot “opération” dans chacun de ces deux sens.

JULIE DEMANDE DE L’AIDE AU MF

EPISODES 3.1 ET 3.2 EPISODE 3.3

Ligne n° 111 116 122 130 130 133 134 138 141 144 157 163 168 179 187 195

Fonction X X X X X X X X X X X X X

Calculs X X X

Ce tableau atteste de la volonté de Julie d’amener les élèves à distinguer deux opérations (au sens de fonction) différentes. Mais, du point de vue des enfants, les exercices 2 et 3, se différencient essentiellement par le temps mis pour construire les tours et par les procédures de dénombrement utilisées (“compter de 15 en 15, de 30 en 30” ou “ajouter 12 et 15”). Ils ne peuvent répondre aux attentes de Julie qui leur demande d’identifier deux opérations différentes alors que dans les deux cas, ils ont additionné.

L’absence d’adéquation entre d’une part, la tâche réalisée par les élèves (dénombrer des cubes) et d’autre part, la tâche attendue par Julie (identifier l’opération associée à chacun des exercices) explique le “malentendu”.

Lorsque la maîtresse-formatrice suggère de demander aux enfants de « trouver une façon d'écrire plus facilement l'opération » ( l.176), la réponse des enfants est immédiate : 12 x 15. Alors que Julie demandait aux enfants de trouver une autre opération, la formatrice demande de trouver une autre écriture des calculs effectués.

Julie clôt la phase de synthèse sans avoir, pour autant, tiré profit de l’intervention de la formatrice puisqu’elle continue à entretenir les mêmes confusions (cf. deux dernières colonnes du tableau).

Lorsqu’une élève lui dit : ( l.185) « 12 x 15 c’est l’opération, c’est l’addition qu’on vient de faire au tableau ! », elle répond : « ce n’est pas forcement la même opération que l’on a faite ! Vous voyez ce que je veux dire ! ». De plus, elle écrit : ( l. 194) Dans l’exercice 2, on aurait pu écrire une opération plus rapide. Si le mot “addition” est cité neuf fois au cours de la séance, à aucun moment, Julie ne prononce le mot “multiplication”. Tout en écrivant l’écriture multiplicative 12 x 15 sur l’affiche, elle conclut la séance par une dernière question : ( l.195) « C’est une opération qui simplifie ou qui complique notre écriture ? » Un élève lui répond que cela la simplifie mais là, encore, l’emploi du mot

“opération” est inutile voire source de confusion pour les élèves.

Ainsi, tout au long de cet épisode, Julie crée et entretient un “malentendu”. Les élèves ne peuvent distinguer l’emploi de deux opérations distinctes à travers l’activité qu’ils ont effectivement réalisée.

- Un “malentendu” prévisible.

Comme nous l’avons indiqué, en autorisant les élèves à utiliser les cubes, Julie s’éloigne de son projet, dès la prescription de la tâche.

De plus, au cours de la phase de recherche, Julie ne semble pas prendre conscience que la tâche réelle des élèves ne correspond pas à la tâche attendue. En effet, elle n’intervient pas pour préciser les contraintes. Les enfants construisent les tours puis dénombrent les cubes utilisés en faisant des groupements et des additions réitérées pour les deux premiers exercices, une addition pour le troisième.

Examinons l’activité effective des élèves.

Le choix des nombres, notamment pour l’exercice 1 et la présence du matériel, facilitent les calculs et les enfants ne ressentent pas le besoin de les écrire.

Quelques groupes rédigent, néanmoins, une phrase réponse. Au moment de la validation, Julie ne demande pas aux enfants s’ils ont utilisé la feuille de papier. Son questionnement reste focalisé sur les procédures utilisées pour dénombrer les cubes, c'est-à-dire, sur les groupements effectués.

Elle lit, ensuite, l'énoncé de l'exercice 2. Alors que la taille des nombres pourrait inciter les enfants à effectuer des calculs sur la feuille et à abandonner l'utilisation des cubes, elle dit : (l. 35) « Alors, c’est des grandes tours que l’on va faire là. Alors, là, vous allez essayer de compter aussi ! » Encourageant les enfants à construire les 12 tours de 15 cubes et à dénombrer (« compter ») les cubes, elle leur laisse penser que la tâche réalisée au cours de l’exercice 1 est bien celle qu’elle attendait d’eux. Durant la validation, elle ne garde pas de trace écrite de la procédure utilisée par les enfants.

Lorsqu'elle leur demande pourquoi c'était plus difficile que l'exercice précédent, elle semble se satisfaire de l’explication donnée :

(l. 62)

« Julie : Pourquoi, c’était plus difficile ?

Un élève : Parce qu’on met beaucoup plus de temps à faire les tours ! Julie : Parce qu’on met beaucoup plus de temps à faire les tours ! Un élève : Oui mais eux, c’est normal, ils étaient 3.

Julie : Oui, ils étaient 3, c’est pour ça qu’ils ont fait plus rapidement que les autres.

Un élève : Et tu les as aidés en plus !

Julie : Oui, je les ai aidés à la fin pour qu’on puisse faire le calcul tous ensemble, plus rapidement ! »

La longueur des calculs à effectuer n’est pas évoquée.

Enfin, pour répondre à la question posée dans l’exercice 3, les enfants construisent une tour de 12 cubes et une tour de 15 cubes. Une élève vient au tableau expliquer sa procédure.

( l. 80)

« Un élève : On a fait les tours et après on a compté de ….

Julie : On avait une tour avec combien ? Montre-nous ! Un élève : Une tour de 15 et une tour de 12.

Julie : Alors, comment tu as fait pour trouver ? On a dit 27 ? Comment tu as fait ? Un élève : J’ai compté les petits cubes.

Julie : Tu as compté les petits cubes. On a rajouté tous les petits cubes .Tout le monde a trouvé le même résultat ?

Un élève : Oui. »

Les hésitations de l’élève confirment que la tâche prescrite pour les enfants est très éloignée de la tâche attendue par Julie. En effet, elle commence sa phrase par « On a fait les tours et après on a compté de … ». Elle pense que Julie attend d’eux une procédure du type : “ compter de ….en …. ”.

Julie a provoqué et a laissé se creuser un décalage important entre la tâche attendue des élèves et la tâche réalisée. Cette dérive progressive, dont elle n’a pas pris conscience la contraint à devoir gérer, au moment de la phase de synthèse, un écart très important entre les savoirs mobilisés par les enfants pour réaliser la tâche prescrite et le savoir qu’elle cherche à institutionnaliser.

1.3. Mise en évidence de modifications au niveau de la réalisation

Mettons, à présent, en parallèle, les conclusions des deux paragraphes précédents (paragraphes 1 et 2) afin de dégager les modifications apportées par Julie, au moment de la réalisation de la tâche, au projet décrit sur la fiche de préparation.

Au cours de la phase de synthèse, Julie ne parvient pas à réaliser la tâche telle qu’elle l’avait définie sur sa fiche de préparation car pour dénombrer les cubes les élèves n’ont pas eu besoin d’utiliser l’écriture multiplicative. Les savoirs mobilisés par les élèves pour réaliser la tâche prescrite ne permettent pas à Julie d’institutionnaliser le savoir mathématique visé par le projet. Julie n’a pas perçu et n’a pas su prévenir le décalage entre la tâche réalisée et celle qu’elle devait attendre des élèves. Au cours de la phase de recherche, elle semble ne pas mesurer combien elle s’écarte du projet décrit dans sa fiche de préparation. Elle n’évalue pas les conséquences de la consigne donnée. ( l. 11) « Soit vous pouvez le faire par écrit, soit vous pouvez le faire avec les petits cubes. »

Par conséquent, les modifications créées par Julie au moment de la réalisation de la tâche se sont enchaînées, renforcées de la passation de la consigne jusqu’à la phase d’institutionnalisation. Ces modifications semblent dues à la difficulté de l’enseignante novice à prévenir et à réduire le décalage entre la tâche réalisée par les élèves et la tâche attendue. Julie ne prend, probablement pas suffisamment d’informations sur la tâche réalisée par les élèves et/ou ne les utilise pas pour réajuster le déroulement de la séance au cours de l’action. La maîtrise de ce geste professionnel apparaît insuffisante. De plus, Julie semble ne pas percevoir que les réponses des élèves sont pertinentes (puisqu’ils ont toujours utilisé l’addition réitérée) puisqu’elle persiste à vouloir les amener à identifier à travers les calculs effectués une nouvelle opération à étudier.

Si, au cours de la réalisation de la tâche, Julie n’a pas su contrôler l’activité des élèves et a négocié la consigne à la baisse, il faut néanmoins s’interroger sur l’origine de ses difficultés ? Ne proviennent-elles pas de la façon dont elle a anticipé sur la réalisation de la tâche ? Ne sont-elles pas dues au fait d’avoir prévu de mettre les cubes à disposition des

élèves ? Comment pensait-elle pouvoir introduire la multiplication sans utiliser les bons de commande et donc sans recourir à l’écrit ? Pour répondre à ces questions, nous devons étudier l’activité du maître en amont de la réalisation de la tâche. Comment Julie se représentait-elle la tâche et comment l’a-t-elle redéfinie au moment de préparer la séance ? 2. Etude de la représentation de la tâche

Pour étudier la représentation de la tâche, nous devons, au préalable, cerner les changements apportés au projet initial du formateur. Ainsi, en cernant l’écart entre le projet initial et le projet de Julie, nous pourrons mieux cerner ce qu’elle pense qu’on attend d’elle au moment où elle rédige la fiche de préparation et émettre des hypothèses à propos de la représentation de la tâche.