Analyse préalable du projet Nous avons suivi deux Ateliers :

- Pierre et Cécile sont accueillis dans une classe de CM1/CM2 avec deux autres professeurs-stagiaires.

- Julie est accueillie dans une classe de CM1 avec trois autres professeurs-stagiaires.

Avant d’étudier les séances menées par Pierre, Cécile et Julie, faisons l’analyse préalable de l’activité du maître à partir du projet tel qu’il a été présenté par le professeur d’IUFM.

Quels sont les savoirs que le maître doit mobiliser et les gestes professionnels qu’il doit maîtriser pour mener à bien cette séquence ?

3.1. Représentation de la tâche

Se représenter la tâche du maître suppose répondre, implicitement, à un certain nombre de questions.

3.1.1. Comment obtenir la suite gagnante : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 ?

Nous avons souligné que Julie n’avait pas noté d’argument justifiant le fait de retrancher 3.

Pour percevoir ce qui justifie la stratégie gagnante, il faut réaliser que pour pouvoir écrire 20, le joueur A doit contraindre son adversaire à écrire 18 ou 19. Par conséquent, le joueur A doit avoir écrit 17.

De manière générale, pour dire n, le joueur A doit contraindre son adversaire à écrire n-2 ou n-1. Par conséquent, il doit avoir écrit n-3.

3.1.2. Quel est le lien entre la suite gagnante et la division ?

Dans les notes prises par Julie, la suite gagnante obtenue par soustractions réitérées figure à côté de l’écriture de la division euclidienne. Comprendre ce qui justifie le recours à la division euclidienne suppose d’établir le lien entre les deux.

Un joueur peut utiliser la stratégie gagnante sans pour autant percevoir le lien entre cette stratégie et la division.

Brousseau explique :

« La connaissance qui détermine la stratégie gagnante est celle qui consiste à prendre dès qu'on le peut la suite gagnante 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. »

« Le savoir qui correspond à cette connaissance est celui du calcul du reste de la division par 3 du but. » Trouver la stratégie gagnante suppose résoudre un problème dont la modélisation est peu familière. En effet, il s’agit ici d’utiliser la division euclidienne pour trouver le dernier nombre obtenu lorsqu’on retranche de manière itérée un même nombre à partir d’un

n-3

+1 +2

n-2 n-1 +2 +1

n n

Figure 1

nombre donné. Contrairement à une situation dans laquelle on chercherait le nombre de part ou la valeur d’une part, le quotient trouvé est une donnée inutile à la stratégie. Seul le reste de la division euclidienne importe. Enfin, le nombre par lequel diviser n’apparaît pas dans l’énoncé de la règle. Le joueur doit le déduire des nombres que chacun est autorisé à ajouter.

Pour se représenter la tâche qui sera la sienne, le maître doit donc percevoir avec suffisamment de précision comment modéliser la recherche de la stratégie gagnante et en déduire les liens qui existent entre la connaissance de la suite gagnante et le savoir correspondant : le calcul du reste d’une division euclidienne.

3.1.3. Quels sont les “théorèmes” à valider ?

Dans son analyse de la situation de la course à vingt, Brousseau constate que les élèves énoncent des “théorèmes”. « On y voit apparaître l'axiome “ il faut jouer 20 ” dès la première partie, la tactique “ jouer 17 si l'autre a dit 16 ” à la deuxième et le théorème “ Il faut jouer 17" ” (à partir de 15 ou de 16) dès la quatrième partie. »

Ce sont ces “théorèmes” que les enfants devront valider à l’aide du maître au cours du jeu des propositions (phase 4). La formulation attendue des élèves, est, selon le professeur d’IUFM : « Pour gagner, il faut dire … ». Or, les affirmations ainsi énoncées par les élèves ne sont pas sans ambiguïté et ce pour deux raisons. Considérons le “théorème” « Pour gagner, il faut dire 2»⁴⁵

Dire « Pour gagner, il faut dire 2» peut laisser penser qu’il est nécessaire de dire 2 pour gagner. Or, si son adversaire ne maîtrise pas la stratégie gagnante, le joueur peut ne pas dire 2 et pourtant réussir à dire 20 en premier.

Dire « Pour gagner, il faut dire 2» peut aussi laisser penser qu’il suffit de dire 2 pour gagner.

Or, il ne suffit pas de dire 2 pour gagner. Encore faut-il “bien jouer” c'est-à-dire connaître la stratégie gagnante et la mettre en œuvre.

« Pour gagner, il faut dire 2» pourrait être complété ainsi : « Pour gagner, il faut dire 2 et bien jouer».

De la même façon, dire « Qui ne dit pas 2 perd» peut laisser penser qu’il est impossible à celui qui dit 3 de gagner. Or, si son adversaire ne connaît pas la stratégie gagnante, celui qui dit 3 peut gagner.

Par conséquent, pour se représenter la tâche des élèves et donc celle du maître au moment de la validation des découvertes, le stagiaire doit prendre conscience de la part d’implicite contenue dans la formulation de ces “théorèmes”.

45 On pourrait remplacer 2 par n’importe quel nombre de la suite : 5, 8, 11, 14, 17 et tenir le même raisonnement.

3.1.4. Quel est l’objectif de cette séquence et quel est le rôle de chacune des phases ?

Le maître doit identifier l’objectif de cette séquence et s’interroger sur ce qui motive le choix de la mise en œuvre de cette situation. Est-ce un problème pour chercher, une approche de la division voire une révision de la division ?

D’après les notes prises par Julie, le professeur d’IUFM utilise la division euclidienne pour rendre compte de la procédure à utiliser pour trouver le nombre que le joueur doit dire en premier pour gagner mais il n’y fait pas référence lorsqu’il présente le déroulement de la séquence. En d’autres termes, la division euclidienne intervient pour décrire la procédure experte aux professeurs-stagiaires mais pas pour décrire la procédure à utiliser par les élèves.

Rappelons que le professeur d’IUFM déclare qu’il a bien précisé auprès des stagiaires qu’il ne s’agissait pas d’introduire (ou de réviser) la division euclidienne.

Le maître devra, néanmoins, pour se représenter la tâche qui sera la sienne s’interroger, au préalable, sur la tâche attendue des élèves, en fixer les limites : décider dans quelle mesure cette situation porte sur la division euclidienne : se représenter l’objectif indiqué, c'est-à-dire, « organiser un raisonnement qui approche la division ».

3.2. Redéfinition de la tâche

La tâche prescrite n’est qu’un “modèle imparfait”⁴⁶. Dans le cadre d’un projet autour de la course à vingt, chaque stagiaire sera amené redéfinir la tâche prescrite : planifier la séquence, prévoir les consignes à donner aux élèves, penser l’organisation du jeu par équipe et du jeu des propositions. Cependant, les modifications que le maître est susceptible d’apporter au niveau du déroulement et de l’organisation de la séance ne peuvent avoir une grande incidence sur la tâche de l’élève. En effet, la situation de la course à vingt est potentiellement⁴⁷ très adidactique.

On peut penser, que dès la première phase, les enfants vont s’approprier la situation proposée en cherchant à optimiser la stratégie, tels des “mathématiciens en herbe”

préoccupés par la seule résolution du problème posé. Et durant toute la séquence, notamment grâce au jeu en en équipe et au jeu des propositions, ils devraient poursuivre ce but : trouver “comment faire pour gagner”.

Toutefois, au moment de la validation des propositions des élèves, la façon dont le maître redéfinit sa tâche peut être déterminante quant aux savoirs mobilisés par les élèves.

Il peut, notamment, choisir de modéliser ou non la stratégie par une arborescence représentant les décisions à prendre par chacun des joueurs (figure 1).

Il peut, également, choisir de mettre en évidence ou non le lien avec la division euclidienne.

Par conséquent, il est possible qu’il s’écarte du projet présenté par les formateurs : le maître dispose d’une certaine marge de manœuvre.

46 Selon l’expression utilisée par Leplat (1997)

47 Nous voulons souligner par là que la situation est adidactique à condition que les stagiaires ne s’écartent pas trop du projet.

Pour redéfinir la tâche, le maître devra mobiliser les savoirs nécessaires pour préciser le projet présenté, le planifier, le contextualiser à partir de ses propres choix. Les modifications qu’il pourra apporter au projet seront limitées par la robustesse de la situation. Néanmoins, le maître peut apporter des modifications au projet à travers la redéfinition de la tâche.

3.2.1. Réalisation de la tâche

Au moment de la mise en œuvre du projet, le professeur-stagiaire est susceptible d’apporter d’autres modifications à travers la réalisation de la tâche. Au cours de la première phase, le maître devra exposer la règle du jeu. Le professeur d’IUFM donne des indications pouvant l’aider à s’assurer de la dévolution de la tâche.

« Enoncé par le prof de la règle (+ trace écrite au tableau) de 2 manières différentes mais même énoncé + reformulation des enfants »

« Simulation avec 1 élève + trace écrite au tableau »

Puis, lorsque les élèves joueront par binôme, le maître devra puiser des informations sur l’activité des élèves et sur leurs performances. Là, encore, le professeur d’IUFM anticipe sur la tâche du maître :

« nous : repérer les enfants qui gagnent et ceux qui gagnent plus souvent que les autres (au hasard, ajoute toujours pareil, nbre pair, impair) »

Ensuite, le maître devra gérer les échanges, étayer les formulations des élèves pour mettre en évidence les arguments susceptibles de valider ou d’invalider les “théorèmes“ proposés par les élèves.

Le professeur d’IUFM suggère une formulation type « pour gagner, il faut dire … » ainsi que les moyens à utiliser pour valider les propositions : « en jouant ou en argumentant ».

Ces quelques indications devraient aider le maître au moment de la réalisation de la tâche mais une part importante reste à sa charge, tout particulièrement, lorsqu’il devra, pour conclure, faire la synthèse des propositions des élèves et, selon l’expression notée par Julie, expliciter le « noyau du jeu ».