DES GRILLES DES TOURS

38 La phrase devient : Le maître doit réinvestir l'activité en insistant sur l'écriture multiplicative associée à un résultat.

ÉCRITURES MULTIPLICATIVES

NOMBRE 4

Calculatrice

3

Nbre de lignes et colonnes

6 2

Ecriture pluscourte

1

Dénombrement

5

ADDITIONS REITEREES

DES GRILLES DES TOURS

en quoi la multiplication nous aide à mieux compter…. » Elle envisage donc que les élèves puissent avoir recours à l’addition réitérée.

Mais, il est aussi possible, que Cécile prévoie une autre façon d'établir ce lien. Elle écrit que la compétence visée par la séance est : « Associer plusieurs écritures multiplicatives ». Peut-être, envisage-t-elle, lorsqu'elle complète sa fiche de préparation, d’amener les élèves à associer deux écritures multiplicatives entre elles, sans avoir recours au nombre, en utilisant notamment la commutativité de la multiplication.

2.3.Modifications mises en évidences

Malgré la richesse des échanges qui ont eu lieu, au cours de l'entretien précédent, autour des problèmes rencontrés par Pierre, la tâche que doit se représenter Cécile est complexe.

En effet, cette séance devant être l'aboutissement du projet préparé au cours de cet Atelier, Cécile doit envisager sa tâche à partir du bilan des apprentissages réalisés précédemment. Or, il est difficile de déceler à travers la multiplicité de remarques et de conseils faits au cours d'un entretien, une analyse fine de la tâche réalisée par les enfants.

De plus, le schéma ci-dessus, montrent que les liens à tisser entre les différentes représentations d’un nombre (son écriture canonique, l'écriture multiplicative ou l'écriture de l'addition réitérée) à partir de différents contextes (ici, la construction de tours ou le dessin de grilles) sont multiples et qu'il est, probablement, difficile pour un enseignant novice, de se les représenter. En outre, la tâche prescrite contenant une part importante d’implicite et rien ne permet d’affirmer que des membres du groupe (formateurs ou formés) attendaient de la part de Cécile de se représenter la tâche à partir d’une analyse comparable à celle que nous faisons ici. Nous faisons donc l’hypothèse que la façon dont Cécile se représente la tâche correspond à la tâche attendue du groupe. Celle-ci se représente l’enjeu de la séance. La tâche attendue et la tâche représentée sont peu précises, définies essentiellement à travers leur but. Quel parcours cognitif proposer aux élèves ? Cécile répond à cette question à travers la redéfinition de la tâche.

3. Etude de la redéfinition de la tâche

Etudions comment Cécile redéfinit la tâche prescrite par le groupe.

3.1. Analyse préalable du projet du groupe

La tâche prescrite par le groupe revêt deux aspects. D'une part, elle exprime un but à atteindre par le maître puisqu'il s'agit d’amener les élèves à prendre conscience de l'aspect numérique de l'écriture multiplicative et d'autre part, elle préconise un moyen de travailler la compétence consistant à mettre en corrélation plusieurs écritures multiplicative d’un même nombre (et en utilisant, pour cela, les étiquettes du fichier Cap Maths). Cécile semble avoir conscience de cette double exigence. La tâche telle qu’elle se la représente apparaît à travers ce qu'elle écrit dans sa fiche de préparation : d'une part, à travers l'objectif qu'elle définit : « investir l'activité en insistant sur l'écriture multiplicative associée à un résultat » qui renvoie à la nécessité de revenir sur les séances précédentes et d'autre part, à travers la compétence visée : « être capable d'associer plusieurs écritures multiplicatives » qui renvoie à l'utilisation de l'activité consistant à associer des étiquettes.

Par conséquent, la redéfinition de la tâche va consister à trouver comment satisfaire cette double exigence et pour cela, elle a, à sa disposition, le guide des activités de Cap Maths.

Examinons le projet de séance décrit dans ce guide.

Au cours de la première séance dont l’objectif est de « familiariser les enfants avec l'écriture multiplicative », le maître introduit le signe “x” à partir de l'élaboration de messages visant à rendre compte des différentes solutions au problème posé, à savoir, quels sont les différentes façons de réaliser des tours de même taille avec 30 cubes.

La deuxième séance conduit des élèves à calculer le nombre de cubes nécessaires pour réaliser, par exemple, 15 tours de 12 cubes.

Parmi les choix faits par les auteurs de Cap Maths pour introduire la multiplication, l'utilisation du mot « fois » apparaît comme fondamentale. Le lien entre le langage oral et l'écriture (qu'elle soit sous forme multiplicative ou additive) est utilisé à plusieurs reprises.

Dans la première séance, il permet d’introduire le signe “x” comme la traduction en langage mathématique du mot “fois”. Dans la deuxième séance, il permet de passer de l'écriture multiplicative à l’addition réitérée : 12 x 15, c’est 15+15+15+15…. 15 est écrit 12 « fois ».

Dans sa troisième séance, les élèves sont contraints d'utiliser ce lien puisque la calculatrice n'est pas autorisée. Les élèves, ne pouvant utiliser ce moyen de calcul, sont contraints à réinvestir «la signification de a x b (en référence aux tours, à l'addition réitérée, au mot « fois ») pour réaliser leur travail. »

Le tableau ci-dessous présente les nombres et les écritures multiplicatives figurant sur les étiquettes de la fiche matériel.

15 16 18 19 28 32 40 50

3x5 2 x 8 1 x 19 2x14 4x8 5x8 25x2

5x3 8 x 2 19 x 1 7x4 8x4 4x10 50x1

15x1 1 x16 16x2 10x4

4 x 4 20x2

Quelle est la tâche attendue des élèves ? Les valeurs numériques choisies permettent aux élèves de calculer facilement le résultat. Différentes procédures peuvent être utilisées :

- Faire référence au mot « fois » et utiliser l'addition réitérée

- Utiliser de manière implicite la commutativité pour trouver immédiatement une autre écriture équivalente

- Combiner les deux procédures précédentes : utiliser la commutativité de manière à faciliter le calcul de l'addition réitérée.

Aucune écriture ne correspond à 18, probablement, pour amener les élèves à prendre conscience qu’il existe d'autres écritures que celles proposées pouvant correspondre aux nombres donnés.

Les auteurs fournissent des indications au lecteur sur la tâche attendue des élèves, dans le bandeau de droite :

La calculette n'est pas disponible, pour que les élèves utilisent la signification de a fois b (référence aux tours, à l'addition réitérée, au mot « fois ») pour réaliser leur travail.

Les cartons sont choisis de telle sorte que les élèves puissent utiliser (de façon implicite ou explicite) quelques propriétés :

- cartons du type 15 x 1 : référence peut être faite à 15 tours de hauteur 1 ou 1 tour de hauteur 15 - cartons du type 3 x 5 et 5 x 3 : certains élèves reconnaîtront sans doute, sans calcul, qu’ils vont dans

la même colonne

- cartons du type 16 x 2 : il est plus facile de « le » calculer avec « 2 fois 16 » qu'avec « 16 fois 2 » Pour préparer la séance, le lecteur peut consulter la liste du matériel nécessaire et la fiche des étiquettes est fournie.

Enfin, une indication peut aider le lecteur à gérer l'hétérogénéité de la classe « Pour des élèves de moins à l'aise avec l'écriture multiplicative ou que l'ampleur de la tâche pourrait dérouter, on peut limiter le nombre de cartons à classer. »

Ainsi, Cécile dispose de différentes ressources à partir desquelles elle doit préparer sa séance. Elle a en mémoire les conseils donnés au cours de la séance de préparation, les paroles échangées au cours de l’entretien à l’issue de la séance menée par Pierre et elle peut consulter le guide pédagogique. Il lui faut à présent opérationnaliser la tâche qui lui a été prescrite. Le but du paragraphe suivant est d’étudier comme elle redéfinit cette tâche.

3.2. Recherche de modifications

Etudions les éventuelles modifications apportées au projet du groupe lorsque Cécile, rédigeant la fiche de préparation, anticipe sur le déroulement de la séance et décide des compétences visées.

3.2.1. À travers le déroulement de la séance

Comme l'a montré l'analyse de la tâche représentée, Cécile doit, en redéfinissant la tâche, trouver comment, à la fois, insister sur l'aspect numérique des écritures multiplicatives et utiliser les étiquettes proposées par Cap Maths. Le découpage de la séance observée met en évidence deux épisodes qui permettent à Cécile de répondre à chacun des aspects de la tâche prescrite. L’épisode n°1 vise à montrer aux élèves que plusieurs écritures multiplicatives peuvent correspondre à un même nombre et l’épisode n°2 les amène à identifier différentes écritures multiplicatives d’un même nombre. Le premier épisode institutionnalise un savoir (plusieurs écritures multiplicatives correspondent à un même nombre) qui justifie la pertinence de la tâche prescrite aux élèves au cours du second.

Ainsi, non seulement, Cécile redéfinit la tâche conformément à la tâche prescrite et représentée mais, de plus, elle prévoit une articulation entre les deux principaux épisodes de la séance comme le prouve la fiche de préparation.

Observons le déroulement de la séance prévu par Cécile. À l'épisode n°1 du découpage correspond la phase n°1 décrite dans la fiche de préparation et à l'épisode n°2 correspondent les phases 2, 3, 4 et 5.

EPISODE N°1 PHASE N°1 : SITUATION DECLENCHANTE EPISODE N°2 PHASE N°2 : FORMULATION DU PROBLEME

PHASE N°3 : RECHERCHE

PHASE N°4 : MISE EN COMMUN DES RESULTATS PHASE N°5 : TRACE ECRITE

Les intitulés de ces phases renvoient à la démarche utilisée dans les disciplines scientifiques. La première phase, grâce à une “SITUATION DECLENCHANTE” permet de faire émerger différentes observations puis de les comparer comme l'on fait “émerger différentes représentations” pour ensuite les “confronter”. « Vous allez vous rendre compte que pour un même nombre, il peut y avoir plusieurs écritures de multiplication différentes. D’accord ? » Au cours de la phase n°2 (épisode n°2.1), Cécile donne la consigne aux élèves : il s’agit de la

“FORMULATION DU PROBLEME” qui sera suivie de la phase de “^RECHERCHE” et de la“MISE EN COMMUN DES RESULTATS”.

La consigne rédigée par Cécile sur la fiche de préparation montre que celle-ci a prévu d’articuler les deux grands épisodes de la séance. « Nous pouvons écrire un même nombre sous différentes formes. 12, c'est 4x3, mais aussi, 2x6, mais aussi… Maintenant, par 2, vous avez essayé de retrouver les écritures multiplicatives qui correspondent à un même nombre et les regrouper en les collant sur la feuille dans une même colonne… »

Ainsi, à travers le déroulement de la séance, Cécile redéfinit la tâche conformément aux prescriptions du groupe mais, de plus, prévoit une façon d’articuler les deux épisodes principaux de la séance.

Montrer qu’il est possible de trouver plusieurs écritures multiplicatives pour un même nombre est un préalable inutile dans le déroulement de la séance du guide Cap Maths. En effet, cela a déjà été mis en évidence au cours de la première séance. Le premier épisode permet donc à Cécile de suppléer à ce manque. La stagiaire ne reprend pas le contexte de la construction de tours utilisé dans Cap Maths. « Alex et Lisa ont fabriqué des tours avec des cubes. Alex a écrit le nombre de cubes sur des cartons blancs et Lisa a écrit les solutions avec le signe x sur d'autres cartons gris. Mais Moustik a tout mélangé. Il faut remettre les cartons qui vont ensemble. Attention, pour un carton blanc, il y a parfois plusieurs cartons gris. » Dans le premier épisode, elle préfère utiliser des grilles, probablement, pour inscrire sa séance dans la continuité de la précédente. En s'appuyant sur le cadre géométrique, elle prouve aux élèves que plusieurs écritures peuvent correspondre à un même nombre. En associant une grille différente à chaque écriture multiplicative, les élèves peuvent visualiser et prendre conscience de cette possibilité. Toutes les grilles ont le même nombre de carreaux et pourtant elles ne sont pas superposables et les écritures multiplicatives associées sont différentes. Ce premier épisode permet aussi à Cécile de revenir sur la commutativité de la multiplication en montrant que l'orientation de la grille ne modifie en rien le nombre de

carreaux qui la composent. Elle choisit de fixer à 12, le nombre de carreaux devant être coloriés. Six écritures multiplicatives sont possibles mais les dimensions du quadrillage proposés sont telles qu’elles ne permettent que 4 grilles possibles : (2 x 6, 6 x 2, 3 x 4, 4 x 3).

Cécile répond aux attentes du groupe mais, de plus, elle veille à proposer aux élèves un parcours cognitif cohérent dans la continuité des séances précédentes.

3.2.2. À travers les compétences visées

Afin de consolider des apprentissages réalisés tout en amenant les élèves à prendre conscience que plusieurs écritures multiplicatives correspondent à un même nombre, Cécile doit répondre à la question matérialisée par la double flèche en pointillée. Pour cela, elle fixe un nombre de carreaux (flèche n°1) auquel - en réinvestissant une compétence acquise durant la séance n°2- les élèves vont associer plusieurs grilles et plusieurs écritures possibles (flèches n°1 et 2). Une alternative apparaît sur le schéma ci-dessous, celle consistant à passer par l’addition réitérée. (Flèches n°3 et 4). L’analyse du protocole de la séance a montré que, même si certains élèves y ont recours, Cécile préfère utiliser le matériel pour valider les égalités entre écriture multiplicative et nombre.

Cependant, rien dans la tâche prescrite par le groupe n’indique qu’il était attendu de Cécile d’amener les élèves à recourir à l’addition réitérée. Par conséquent, la façon dont la stagiaire redéfinit la tâche apparaît comme conforme à la tâche prescrite et représentée.

Cécile parvient à s’acquitter de la tâche prescrite initialement tout en prenant en compte les ajustements apportés par le groupe à l’issue de la séance précédente. L'absence d'écarts importants entre la tâche représentée et la tâche redéfinie semble attester que Cécile adhère à la tâche prescrite par le groupe.

Écritures

multiplicatives

Plusieurs écritures

Nombre

Expliciter les procédures

Réinvestir séance n°2

Fixer le nombre de carreaux : 12 1

2

Comment faire ? 3

Additions

réitérées