LA PREMIERE SERIE D’ATELIERS : AAPP 1

Il s’agit de la première série d’Ateliers (septembre-octobre). Pour la préparer, le professeur d’IUFM présente plusieurs situations⁴⁰ aux professeurs-stagiaires (cf. Annexe A.4) Les deux groupes suivis ont choisi de préparer une séquence autour de “la course à vingt”.

1. La course à vingt 1.1. Le jeu

Deux joueurs choisissent alternativement des nombres. Le premier joueur dit 1 ou 2 et chaque joueur n'a le droit d'ajouter que 1 ou 2 au nombre dit par son adversaire. Celui qui arrive à 20 en premier, a gagné la partie.

Ce jeu est une variante du Jeu de Nim⁴¹ dont la version basique utilise un seul tas d'objets.

Chaque joueur à tour de rôle enlève 1, 2 ou 3 objets. Le vainqueur est celui qui joue le dernier. Il existe de nombreuses variantes selon le nombre total d’objets et le nombre d’objets que chacun peut prendre. Le vainqueur peut être soit celui qui prend, soit celui qui ne prend pas le dernier objet.

Dans les jeux de Nim, il y a toujours un vainqueur et un perdant (pas d'égalité possible).

Une stratégie optimale existe. Pour la mettre au point, il faut identifier la suite de décisions qu’un joueur doit prendre pour être sûr de gagner. Pour la course à vingt, la stratégie consiste à jouer le premier et à écrire, à chaque fois un nombre congru à 2 modulo 3, c'est-à-dire : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20.

40 “La course à vingt”, “le nombre le plus grand” et “histoire de comptes”.

41 Nom tiré du radical allemand “ nim” qui signifie prendre.

1.2. La situation d’apprentissage

La course à vingt a été étudiée par Brousseau et observée par une équipe de l'IREM de Bordeaux⁴².

Le jeu se déroule en quatre phases :

- Phase 1 : présentation de la règle du jeu - Phase 2 : jeu à 1 contre 1

- Phase 3 : jeu à une équipe contre une équipe, chacune des deux équipes est représentée par un élève, l'équipe discute de la stratégie que doit appliquer son représentant

- Phase 4 : jeu de la découverte : les enfants énoncent des propositions qui sont discutées.

Brousseau décrit les phases 2, 3 et 4 en faisant référence à la typologie des situations.

Au cours de la phase 2, les élèves jouent 1 contre1, « l’enfant organise ses stratégies, construit une représentation de la situation qui lui sert de modèle et de guide pour prendre ses décisions. Cet ensemble de relations [...] peut rester tout à fait implicite : l'enfant joue selon ce modèle avant d'être capable de le formuler." Il s’agit d’une « dialectique de l’action ».

Le jeu, équipe contre équipe, organisé au cours de la phase 3 contraint les élèves à échanger à propos de leurs stratégies." Pour gagner, il ne suffit pas qu'un élève sache jouer (c'est à dire qu'il ait un modèle implicite) mais il doit indiquer à ses coéquipiers quelle stratégie il propose [...].

Son seul moyen d'action est de formuler ces stratégies." Il s’agit d’une « dialectique de la formulation ».

Enfin, dans la phase 4, les stratégies des élèves vont être discutées. "... déroulement fictif [...]

-on est sûr de gagner si on peut dire 17

- Je ne suis pas d'accord, il y a des fois où on a joué 17 et on n'a pas gagné"

Des arguments vont être échangés afin de valider ou non chacune des propositions. Il s’agit d’une « dialectique de la validation ».

2. Le projet présenté par le professeur d’IUFM

Une semaine avant le début des Ateliers, le professeur d’IUFM présente aux professeurs-stagiaires, la situation de la course à vingt. Nous l’avons interrogé sur ses intentions et sur le déroulement de cette séance de formation. Nous avons, en outre, recueilli les notes prises par les stagiaires.

Le formateur déclare avoir eu deux objectifs.

Le premier était de leur donner un exemple de fiche de préparation. « Cela n’apparaît peut-être pas dans leurs notes mais la fiche a été notée au tableau. »

Le second objectif était de leur montrer « comment se diffuse l’information dans une classe. »

42 Brousseau : Brochure Elem Math III "la division à l'école élémentaire" de l'A.P.M.E.P

Le professeur d’IUFM affirme, en outre, avoir clairement précisé qu’il ne s’agissait pas de mettre en œuvre un projet de séquence introduisant la division. Il explique qu’il s’agissait de leur présenter un exemple de dispositif pour gérer la diffusion de l’information et qu’il n’était pas question de préparer une séquence visant à introduire la division. Il a, d’ailleurs précisé aux stagiaires que la procédure attendue pour trouver la suite gagnante était celle utilisant la soustraction réitérée. Le professeur leur a, en outre, expliqué que la situation de la course à vingt était une situation robuste et que par conséquent, la séance allait se dérouler selon le déroulement indiqué. Son objectif était de donner l’occasion aux stagiaires de réguler la diffusion de l’information. Il ne s’agissait donc pas de proposer aux stagiaires un projet autour de l’introduction de la division mais de leur proposer une situation robuste, une démarche plausible, validée depuis des années par de nombreuses expérimentations.

Nous reproduisons ci-dessous des extraits des notes⁴³ prises par Julie. (cf. Annexe C.1) 2.1. Le professeur d’IUFM présente le jeu et la stratégie gagnante.

Julie écrit : 2 joueurs A et B

Le premier joueur dit 1 ou 2. Le deuxième joueur ajoute 1 ou 2 à ce qu’à dit A et ainsi de suite. Celui qui gagne a dit 20.

21 18 15 12 9 6 3 21= 3 x 7 + 0 20 17 14 11 8 5 2 20= 3 x 6 + 2 19 16 13 10 7 4 1 19= 3 x 6 + 1

A B 1 4 7

2 5 8

Après avoir présenté la règle du jeu et simulé le début d’une partie, le professeur d’IUFM expose la stratégie.

Tout d’abord, à partir des propositions des stagiaires, il modélise le problème posé en considérant la suite des nombres que doit écrire un joueur pour être sûr de gagner. Cette suite est écrite à rebours. Des flèches représentent les soustractions réitérées (-3) à effectuer à partir du nombre que l’on veut atteindre (21, 20 ou 19). Le dernier nombre obtenu est entouré, c’est celui à écrire en premier lorsqu’on débute la partie.

Puis, une autre écriture est utilisée. Dans chacune des égalités notées à droite, le nombre que le joueur doit dire en premier, apparaît comme le reste de la division euclidienne par 3 du nombre à atteindre (21, 20 ou 19).

Julie copie une première généralisation de la procédure pour trouver ce nombre quelque soit le nombre à atteindre.

N= 3 x __ +r

43 Encadrées et en italiques

Pour gagner la course à N, le premier joueur doit dire r (reste de la division de N par 3) Deux cas de figures sont, alors, envisagés.

Si r=0, jouer en deuxième position et dire 3,6,…21

Si r différent de 0, jouer en premier et dire r puis r+3, r+6, r+9

Enfin, le professeur d’IUFM présente une seconde généralisation de la procédure pour trouver le nombre r quelque soient les nombres que chacun des joueurs est autorisé à ajouter au dernier nombre écrit par son adversaire.

N= q (p+1) + r 0 ≤ r < p+1 Ex : 37 = 6 x 6 + 1

Pour gagner la “course à N”, lorsqu’on a le droit d’ajouter au maximum p au dernier nombre écrit par son adversaire, on cherche r, le reste de la division euclidienne de N par p+1.

Nous retenons de l’analyse des notes prises par Julie que le professeur d’IUFM a exposé, pour la course à vingt, deux procédures à utiliser pour déterminer la stratégie gagnante : la soustraction réitérée et la division euclidienne. Puis, suite aux interventions des professeurs-stagiaires, il a proposé une généralisation à la course à N au moyen de la division euclidienne.

Soulignons que Julie ne note pas ce qui justifie de retrancher 3 au nombre à atteindre pour trouver la suite des nombres à écrire. Pourtant le professeur d’IUFM avait invité les professeurs-stagiaires à disputer plusieurs parties afin d’éprouver la stratégie présentée pour la course à vingt et sa généralisation.

2.2.Le professeur d’IUFM décrit, ensuite, une organisation possible de la séquence d’enseignement.

Le PIUFM indique un objectif de cette séquence : « organiser un raisonnement qui approche la division ».⁴⁴

Julie note les indications données pour chacune des cinq phases.