Poser le problème en termes catégoriels 68

Le schéma d'ensemble

Ce schéma décrivant le facteur cohésif de la forme est celui du § 1.3.3 auquel a été ajouté le fond OO

Figure 3.5. Liens entre source et forme

Les sources, formes et flèches du schéma ci-dessus peuvent être interprétées comme des modèles informatiques, mais aussi comme des morphismes de catégories. Les catégories ajoutent, au dessin et aux règles de construction, des lois de composition, des relations d'ordre et des démonstrations.

Le langage des catégories postule donc

M1 : L'action peut être décrite, dans une catégorie, comme une flèche ou relation. M2 : L'identité se décrit comme une flèche ou relation à soi-même.

Cet axiome met en œuvre le principe Pr2.

Ce schéma postule donc que des formes sont liées entre elles, par des morphismes qui respectent leurs propriétés caractéristiques. Ainsi une étape serait de décrire la cohésion comme une relation de parties dans un tout. Mais les interactions entre parties ne suffisent pas à expliquer la cohésion (R1.2), ainsi le recours à une source hors de la catégorie est nécessaire.

M3 : Chaque notion est représentée par une catégorie

C'est simplement un fait que la plupart des catégories intéressantes (infinies) décrivent une structure algébrique particulière. La structure est la définition en intension, la catégorie en extension (avec leurs relations).

La catégorie des sources de cohésion

Les sources de cohésion seraient dans une autre catégorie; les sources ont une relation à elle-même (Pr2) qui est leur identité (élément neutre pour la composition).

M4 : La source de cohésion est représentée par une seule flèche : relation à soi.

Source Source

Forme Forme

O O

L'objet représenté OO est un objet initial, c'est-à-dire que tout objet de la catégorie reçoit une flèche de cet objet. L'objet 1 1 dit objet final reçoit une flèche et une seule de chaque objet. L'idée ici est que l'objet initial représente le fond dont tout émerge.

Les flèches sur ce schéma représentent des foncteurs, des correspondances qui transportent et conservent les relations mutuelles de la catégorie de départ. Ainsi la flèche de OO vers Source décrit la tension fondant cette source.

Arborescence de formes, donc de sources

Les formes contiennent d'autres formes de niveau plus fin, ou de niveaux encore plus fins; ces emboîtements constituent une arborescence, comment les sources et le stimulus se distribuent–ils ?

Le but B1 peut se formuler ainsi : intégrer le stimulus du tout dans la partie.

On peut présenter ce stimulus par des foncteurs précédents entre la catégorie vide O, origine du stimulus fondamental et la catégorie considérée C

M5 : Des foncteurs s'intercalent entre l'origine et la forme.

O

O  AA …  C C  11

Y a-t-il alors assez de foncteurs ou de catégories précédentes entre CC et OO ? On peut aussi s'interroger : quel est le sens d'une catégorie suivante ou finale ?

O

O  … CC  DD …  11

Les catégories succédantes décriraient un niveau plus fin, alors quel est le niveau final, puisque beaucoup de catégories ont un objet final. Les physiciens au siècle dernier, diraient que c'est le niveau atomique, ils diraient aujourd'hui que c'est le niveau des quarks, mais laissons de côté cette correspondance.

La succession de catégories est une question d'homologie, si j'ai bien compris, c'est une branche des mathématiques, ce qui signifie que la question peut être posée avec rigueur et trouver une réponse, avec des hypothèses adéquates.

Source réflexive

Du principe Pr2 "La forme s'entretient, elle renvoie à elle-même", on peut induire que la source de cohésion, à un autre niveau, est réflexive, c'est-à-dire en relation avec elle- même.

H1 : La source est réflexive, elle boucle sur elle-même.

Si cette source est un foncteur, comment marquer que l'action du foncteur OO  CC (de l'origine à l'existant) est réflexive ? En appliquant la réflexivité au foncteur lui-même.

M6 : Un foncteur Source revient sur lui-même.

Alors une catégorie de Foncteurs FonctFonct (ou un équivalent) serait une réponse, les éléments neutres de FonctFonct étant les catégories, ceci rend compte de la réflexivité intensionnelle.

Figure 3.6. Schéma catégoriel avec objet initial des formes

Mais l'interface source – forme n'est pas réflexive, on a parlé de rayonnement pour éviter des mécanismes, donc les sources ne peuvent être des éléments neutres de cette catégorie FonctFonct. Une autre réponse que M6 est

M7 : Les sources sont des objets d'une catégorie CohCoh

Ce qui fait revenir au schéma précédent.

Q3 : Comment décrire l'arborescence des formes incluses les unes dans les autres ?

Simplement par des sous- catégories

M8 : Des sous-catégories de source expliquent l'inclusion de formes.

Source Source

Forme Forme

O O

À la catégorie de formes FormeForme, correspondrait une catégorie de sources de Cohésion Coh

Coh dont certaines sous-catégories maintiendraient des unités composites cohérentes. La boucle entre les formes et les sources serait décrite par une partie de foncteurs adjoints, notion classique en théorie des catégories.

Au total

On aurait ainsi dans Fonct Fonct la catégorie Coh Coh (des sources) qui décrit des relations à soi et, en tant que foncteurs, des relations avec l'objet initial O O (des hologrammes décrivant des sous-catégories).

Dans une catégorie FormeForme, les flèches d'un objet de A dans A décriraient sa structure interne, et la boucle identité le contour de A, le mouvement sur le pourtour de la forme. Enfin, dans une catégorie Temporelle Temporelle décrivant les formes et intégrant le temps, des diagrammes décriraient le passage d’une forme à une autre, comme les diagrammes de Feynman décrivent le passage d'un photon d’une particule à une autre.