La couleur en mathématiques 141

Les spires ont été définies abstraitement dans un espace mathématique. Elles sont caractérisées par la reprise à soi (l'aspect boucle) qui permet la projection sur un contenu et par la capacité relationnelle avec les brins indéfinis. Pour leur donner une existence concrète, une effectivité, la question de leur dimension se pose : En quoi une spire peut-elle s'associer à d'autres ? Comment se composent-elles ? Et donc trois dimensions abstraites apparaissent.

Vert.

La premièredimension, longitudinale, peut s'appeler le prolongement ou effectuation.

Il s'agit de la composition des spires, et cette composition est déjà perceptible dans les fonctions et les morphismes de catégories.

y = f(x) z = g (y) ⇒ z = g°f (x)

Ce prolongement peut être continu ou discontinu, puisque la composition est scandée par des cycles élémentaires.

Cette dimension repère le devenir ou l'évolution. Le devenir peut être détermination, inscription dans le même (égalité à soi-même) ou disposition à évoluer [Hegel 71:110 Biard et al 81:79] c'est-à-dire à devenir autre. Mais il s'agit du même être ou unité.

Bleu.

La seconde dimension, latérale, peut s'appeler la latéralité, elle décrit la variance. Il s'agit des spires comparables mais distinctes; en d'autres termes, c'est la variance : en quelle mesure une unité peut différer d'une autre ?

Cette latéralité se perçoit déjà dans les fonctions, une fonction f' donne une image y' de x autre que l'image y= f(x)

Dans les catégories, deux flèches peuvent avoir la même source, mais des buts différents ou avoir même source et même but, mais être distinctes. Comment cette différence se marquera-t-elle ? Dans la composition avec d'autres flèches, dans l'inégalité elle-même des flèches.

Cette dimension repère l'association à d'autres éléments semblables, mais qui ne deviendront jamais l'élément initial. Elle repère l'ouverture à l'autre, le différent dans le semblable. La variance décrit une variété d'éléments semblables, qu'est-ce qui permet de les reconnaître semblables ? C'est qu'ils sont du même type ou du même genre, (le terme espèce a aussi été employé par [Aristote 02:186a19]). Il faut donc une unité conceptuelle pour comparer entre eux des éléments du même genre. C'est une approche en intension, selon un profil, propriété ou caractéristique commune. Dans la diversité des expériences sensibles, la pensée reconnaît la généralité en unifiant. Cette unité préalable au multiple, manifeste-t-elle la cohésion ? Non, car la relation entre les parties (Pr1) n'apparaît pas.

Rouge

La troisième dimension, transverse au support, peut s'appeler sa fondation ; elle fonde l’existence, le type d’objet considéré, sa structure de base.

Les mathématiques traitent d'éléments donnés à l'avance : "Etant donné …" ou supposés "Soit un ensemble …" L'existence des éléments est donc implicite. La dimension d'existence (comme celle de l'unité) est donc masquée dans les fonctions. Dans les catégories, l'existence des sources et buts de flèche est implicite, mais l'identité apparaît, en tant qu'élément neutre pour la composition. Il s'agit donc de faire apparaître cette existence; une voie à explorer est d'étudier des fonctions incohérentes en espérant que cette incohérence fera apparaître en creux la cohésion des "bonnes" fonctions.

Une fonction incohérente ferait ainsi correspondre plusieurs images ou aucune à un même élément. Cela s'appelle une correspondance, et à un élément x correspond un sous-ensemble de l'ensemble image. Une distribution telle que celle de Dirac δx est une

fonction qui opère sur d'autres fonctions et donne un chiffre réel δx (f) = f(x). Une

fonction réelle continue g normée (telle que 1 = ∫ g(x) dx) est une distribution g(f) = ∫ g(f(x)) dx. La distribution de Dirac est donc la limite d'une fonction qui n'a de valeur que sur un très petit intervalle autour de x, mais elle n'a pas de valeur en dehors de x, et une valeur infinie en x, donc en fait ce n'est aucunement une fonction.

L'existence dans une catégorie se montre donc dans les identités des flèches neutres auxquels sont identifiés les sources et buts des flèches. Les catégories utiles décrivent des structures algébriques telles que les ensembles, les ensembles ordonnés, les groupes, les algèbres, les ensembles topologiques … Les catégories utiles décrivent donc une structure générale ou concept, mais s'agit-il de variance (la similarité) ou de son existence ? La catégorie décrit les relations des éléments implémentant ce concept, c'est- à-dire d'une définition en intension au sens mathématique.

On se retrouve donc devant un choix.

- Soit le facteur de l'existence s'applique uniquement au fait de l'unité, qui est le sujet de cette thèse : ce qui existe est d'abord un, puis se retrouve dans un multiple. Cette unité est alors nettement cernée, dans son surgissement ou dans son type conceptuel, mais difficile à concrétiser.

- Soit l'existence concerne toute propriété; l'existence concerne alors la participation à une Idée au sens platonicien ou l'effectivité d'un concept au sens hégélien; l'existence est alors largement répandue, et il faut envisager une arborescence de propriétés dont l'une sera l'unité dont dépend la cohésion.

Cette dernière alternative permet de poser le cadre de la variance ou similarité, ce qui correspond à une vision du pilotage dans un projet qui prévoit une enveloppe et une finalité, puis permet le jeu de relations ensuite dans ce cadre. L'application donc de ces trois dimensions joue bien dans un projet, il s'agit donc d'une preuve par induction.

La réflexion va se développer et retrouver l'intension. Trois aspects dans les morphismes ou fonctions

Une réflexion sur les catégories conduit à distinguer trois aspects - un aspect d’action, de composition des morphismes

- un aspect de variance ou latéralité - un aspect de structure ou fondation.

L’aspect de composition est le plus visible, car il fait se succéder les diverses actions ou morphismes par une loi de composition.

L’aspect de latéralité relie diverses alternatives présentes. Ces possibilités ne sont pas agies ou réalisées, mais elles se sont présentées.

L’aspect de structure est manifeste dans une catégorie, car celles-ci illustrent le plus souvent une structure mathématique, ainsi les morphismes de la catégorie des groupes conserve la structure de groupe, ceux de la catégorie des anneaux préserveront cette structure.

Les deux premiers aspects se discernent déjà dans les fonctions ensemblistes : x  f(x), puis g(f(x) = g°f (x), ceci décrit l’évolution de l’élément x. L’aspect variance décrit le

fait que f(x) aurait pu donner – par une autre fonction f’ une autre image f’(x) = x’ Une injection est intéressante dans le sens où elle respecte la variance initiale et ne réduit pas, mais elle peut l’augmenter puisque certains éléments de l’ensemble image ne proviennent pas de l’ensemble de départ. C’est une bijection qui conserve la variance initiale puisqu’elle ne l’augmente pas et ne la réduit pas. Cette notion si importante se retrouve en théorie des catégories sous le nom d’isomorphisme.

L’aspect fondateur, implicite à ce stade, décrit le fait qu’une fonction fait correspondre à un élément de E, l’ensemble de départ, un seul élément de l’ensemble F d’arrivée. F est une fonction et non une correspondance.

Les systèmes d’information distinguent ces deux aspects puisque la composition donne naissance aux traitements (par des algorithmes) et la variance aux types ou structures de données puisque celles-ci décrivent un ensemble de valeurs variables. Une

ancienne règle du modèle des données (entité-association) précise qu’une propriété a plusieurs valeurs, sinon elle peut être inscrite en dur, soit sur du préimprimé soit sur une ligne de programme. La distinction est encore plus nette au niveau matériel, puisque les données reposent jusqu’à ce jour sur des supports magnétiques, alors que les traitements requièrent du courant électrique pour activer le processeur.