ANNEAU DE SPIRES 85

5. Les flèches peuvent former des cycles et les spires également : ce qui aboutit à un anneau de spires. Le terme anneau évoque à la fois son apparence graphique et aussi sa structure mathématique. Un anneau de spires est une unité composée ouverte sur l’environnement. Ainsi la structure du lien qui constitue la cohésion est découverte, le monde du Deux se modélise avec les spires.

3.5.1 Anneau de spires et intégration

Le tissu de spires se projette sur une catégorie ; les structures cycliques, formant une unité composite concernent la cohésion. Il s’agit donc en remontant sur les fibres au- dessus des flèches, d’étudier les structures cycliques de spires. Les groupes cycliques finis sont représentés par des racines nièmes de l'unité dans le plan complexe soit exp (2iπ /n), [voir ci-dessus § 3.1.4] qui s'illustre par des rotations de l'angle 2π/n, ce qui est très proche de la figure 3.23.

Figure 3.23. Anneau de spires

Ces rotations montrent que l'on suppose que les spires sont de même "taille", en donnant un sens à ce terme : on admettra que les spires sont de même taille si elles se projettent sur des flèches d’une structure cyclique dans une catégorie. On obtient alors une unité composée, qui équivaut à une seule spire, puisque les spires sont composées. Cet anneau cyclique retourne au Même, il conserve donc une identité.

R3.11 Un anneau de spires a une identité, car il revient au Même

Dans une catégorie, les flèches suivent une loi de composition partielle : toutes ne peuvent s’associer ; et chacune d’elles peut se composer avec plusieurs flèches. On peut en déduire la même loi de composition pour les spires. Ainsi des spires peuvent s’associer, mais les extrémités d’une spire incluse dans une structure cyclique sont disponibles aussi pour d’autres spires. Ces autres spires seront radiales puisqu’elles vont vers ou à partir du centre du l’anneau alors que celles qui composent l’anneau seront dites latérales.

R3.12 Des spires peuvent former un anneau qui montre une unité composée ouverte à d’autres liens.

Un anneau de spires est donc un élément–clé pour rendre compte de la cohésion ; en résumé, c’est une structure cyclique en suspens. Mais nous n’avons pas indiqué comment jouait la tension dans les spires, ni justifié le nom d’anneau de spires.

Origine de la tension

Le tissu de spires est comparable à une structure cellulaire, on peut observer diverses structures cycliques, mais les plus intéressantes sont celles qui entourent le noyau. Lorsque nous aurons défini la notion de pôle (au §4.2 .4), celui-ci assurera le rôle du noyau dans la cellule, et ces anneaux autour du noyau expliqueront la genèse de la cohésion.

Les flèches, basées sur un ternaire, sont supposées avoir leur propre tension interne, qui génère le mouvement ; les spires décrivant une structure basée sur Deux, déploient une tension qui pour l’instant n’est pas située. C’est cette notion de pôle qui situera l’irruption de la tension dans l’espace.

Anneau au sens mathématique ou graphique

Une structure cyclique finie engendre un groupe cyclique de permutations. Le terme anneau en mathématiques décrit une structure algébrique dotée de deux lois de composition. Ici nous avons utilisé le terme anneau pour sa représentation graphique.

Q4 Un anneau (composé de spires) est-il un anneau au sens mathématique ?

Les spires ont une loi de composition associative ; on peut considérer que l’anneau est équivalent à un élément neutre, même s’il n’y a pas d’égalité entre les spires ; les spires n’ont pas d’inverse. Il en résulte que les spires, algébriquement, forment un semi-groupe [Bailly et Longo 06:167]

R3.13 Un anneau graphique de spires a une structure algébrique de semi-groupe.

3.5.2 Perspectives de développement des spires

Recherche d'un théorème basique

Le lemme de Yoneda montre qu'un ensemble de relations est représenté par un objet d'une catégorie, on parle de problème et de solution universels, [selon un cours de Laurent Schwarz en 1969, Mac Lane 98:36], autrement dit, il établit la correspondance

entre les inter relations et les objets ; c’est le théorème caractéristique des catégories. Pour les spires, un théorème basique est à chercher, il doit se baser sur la propriété caractéristique des spires, la suspension ou absence d’extrémités définies. Ce théorème ne peut s'appuyer sur des propositions du passé, en tant que mathématiques de structures formelles, le théorème doit inclure la suspension dans sa démonstration.

La suspension entraîne l‘absence d’extrémités définies, mais ce n’est pas seulement une tendance comme l’est un vecteur ou une direction. La spire explore l’espace des autres possibilités, ce qui est représenté par sa latéralité, comme nous le verrons au § 5.2.2 ; elle a une intériorité qui la distingue des autres spires, dans le registre du Semblable.

Visée

Une spire étant en suspension, elles sont semblables, mais l’égalité leur échappe. Dans la fibre au-dessus d’une flèche, il peut exister des sous-ensembles. On définira au § 4.4.1 la visée, c’est une interface (pôle, flèche). Laissons de côté la notion de pôle (définie au §4.2.4) et supposons-le invariant. La visée concerne donc ce qui se projette sur une flèche. On peut considérer la visée comme un paquetage de spires au sein d’une fibre. Les visées peuvent être égales et se projettent sur une catégorie, la suspension reste incluse dans la visée, mais n’opère pas. Il est donc plus facile de les relier à la théorie des catégories.

Or de nombreux développements s’effectuent actuellement sur les foncteurs, comme l’a montré la théorie catégorielle de la forme par René Guitart (voir plus haut au § 3.1.4). Jean Bénabou a récemment exposé le résultat de ses recherches qu’il a menées depuis des décennies, il mentionne des pré-fibrations [Bénabou 12] (projection d’une catégorie sur une autre catégorie) et des catégories feuilletées.

Développer une « algèbre « de visées est donc la première chose à faire, mais la réussite à long terme viendra de la prise en compte de la suspension, ce qui s’avère plus difficile.

La suspension dans les projets

La suspension est déjà à l’œuvre dans les projets, puisque les bonnes pratiques et les règles peuvent être considérées comme des gestes plutôt que comme des schémas abstraits. Les méthodes agiles vont plus loin puisque le changement est alors au cœur du développement. SCRUM admet le changement de l’expression de besoin, en l’excluant seulement des sprints : “accepter le changement, c’est accepter de n’avoir aucune idée de ce que l’on obtiendra à la fin“. [Bodet 12:12]. Une spire n’a pas d’extrémités définies, elle formalise cette observation.

Plus généralement, l’ouverture au monde est déjà présente dans la capacité de recevoir des messages, dans l’encapsulation des paquetages et dans l’affichage ou l’accessibilité de documents. Le fait de préciser la notion de suspension nous permet de la percevoir déjà dans la pratique actuelle.

Résultats

Dans ce chapitre, les résultats suivants ont été obtenus

1. Une combinatoire d’éléments ne permet pas de montrer ce qui les unit.

2. Un cône catégoriel montre l’existence de l’unité de la base du cône, mais la suppose donnée.

3. Les spires sont obtenues en coupant les arêtes en deux et en dépointant les nœuds du graphe sous-jacent à la catégorie.

4. La suspension se modélise par une spire.

5. Une spire, composée avec une autre, se projette sur une flèche.

6. Une spire n’a pas besoin d’être extérieure à la base d’un cône pour en exprimer l’unité.

7. La forme est un mouvement congelé.

8. Le pourtour de la forme est constitué par des composants en interaction. 9. Une spire, qui se projette sur une boucle identité, décrit un retour au Même.

10. Des spires peuvent former un anneau qui montre une unité composée ouverte à d’autres connexions.

11. Un anneau de spires a une identité, car il revient au Même.

12. Le jugement, comme rapport de perceptions, se modélise par deux ou trois spires. 13. Un anneau graphique de spires a une structure algébrique de semi-groupe.

La théorie des ensembles formalise le champ des notions définies statiques, la systémique y a introduit le mouvement comme transitions entre des états. La suspension fait un pas de plus en intégrant le mouvement en train de se faire. La structuration conceptuelle va se poursuivre en constituant un référentiel de mondes logiques, distingués par la négation.