No início do estudo, os alunos associavam o “raciocínio matemático” ao “ato de pensar”. Não estavam familiarizados com as fases inerentes ao desenvolvimento desta capacidade, porque nunca tinham trabalhado qualquer situação que a envolvesse. Através de tarefas de cunho investigativo, que visavam criar contextos de aprendizagem diversificados proporcionando cenários de investigação (Skovsmose, 2000), os alunos foram convidados a observar, formular questões e a procurar explicações. O mesmo autor evidencia o papel preponderante do professor nestes cenários através de expressões como “o que acontece se...?”, “o que signfica?”, “porque dizes isso?”. Estas questões contribuiram, igualmente, para os alunos se envolverem no processo de investigação e assim compreenderem as etapas dos critérios de avaliação, isto é, o processo de racíocinio matemático. Da mesma forma que os alunos se envolveram nas atividades de investigação, também se empenharam na realização dos descritores da grelha de critérios de avaliação, que serviu de âncora para avaliarem o seu desempenho através dos níveis definidos.
Os alunos tinham conhecimentos prévios das temáticas abordadas, no entanto não transpunham esses conhecimentos para as tarefas de investigação, pois as atividades que são mais exploradas em contexto de sala de aula, como a resolução de exercícios e de problemas, não permitem desenvolver com tanta riqueza o raciocínio matemático. (Santos et al., 2002). No desenvolvimento dessa capacidade, os alunos cruzam o raciocínio indutivo com o dedutivo, pois para uma mesma observação utilizam ambos. Numa primeira fase, recorrem ao raciocínio indutivo, através da observação e do estabelecimento de relações. Quando procuram dar significado matemático às suas conclusões, usam os conhecimentos adquiridos anteriormente, ou seja, o raciocínio dedutivo, como refere Pólya (1990).
Percorrendo as diferentes etapas estabelecidas nos critérios de avaliação, no que respeita à “relação entre objetos”, esta foi a que os alunos evidenciaram em maior número nas suas produções. Isto, porque talvez estivessem mais familiarizado com o tema “Números e Operações”, ao qual se dá particular destaque nos primeiros anos de escolaridade.
No que diz respeito à etapa “formula conjeturas”, houve algumas dificuldades no início do estudo, pois os alunos não atribuiam significado a este conceito, nem sabiam que trabalho deveriam efetuar. Contudo, à medida que as tarefas foram sendo realizadas, esta dificuldade foi ultrapassada. Segundo Fonseca (2000), o processo de formulação de conjeturas é aquele que surge com maior frequência e de uma forma mais espontânea. Efetivamente, depois dos alunos interiorizarem o conceito, este revelou-se o ponto forte, pois tentavam mostrar, testar casos particulares, evidenciar contraexemplos, com o entusiasmo de encontrar uma conjetura. Deste modo, a formulação de conjeturas contribuiu para a descoberta de novos caminhos que permitiram abordar uma situação de diferentes formas e ainda dinamizar a vertente investigativa dos alunos.
O “testar casos” possibilitou-lhes uma maior flexibilidade entre conceitos, assim como interações verbais entre os pares. O explicar aos outros a forma como pensavam contribuiu para uma tomada de consciência dos erros, limitações e impossibilidades patentes nas atividades desenvolvidas. Ao serem questionados pela professora ou pelos colegas, no sentido de contrariarem as suas validações, eram reorientados para novas hipóteses, potenciando desta forma diferentes estratégias (Ponte et al., 1998). Nesta diversidade, surgem oportunidades para uma aprendizagem mais consistente.
A etapa “validação e justificação de conjeturas” foi realizada pelos alunos de formas diferentes e era a que estava menos presente nos seus trabalhos. Todavia, os alunos tiveram oportunidade de desenvolver a linguagem natural, através das conclusões escritas que promoviam a reflexão sobre as suas ideias matemáticas, assim como a linguagem simbólica nas suas variadas representaçõs (pictórica, tabular e esquemas). Na maioria das vezes, os alunos explicam o seu pensamento ao invés de justificar a razão do porquê das situações.
Este estudo apresenta pontos comuns com a investigação de Cañadas e Castro (2007) no que refere à categorização proposta para descrever os processos envolvidos no raciocínio indutivo: (i) observação de casos particulares; (ii) organização de casos particulares; (iii) procura de padrões e regularidades; (iv) formulação de conjeturas; (v) validação das conjeturas; (vi) generalização das conjeturas; e (vii) justificação das conjeturas generalizadas. A partir da análise efetuada, o raciocínio indutivo esteve presente no trabalho dos alunos, pois partiam de casos particulares e tentavam encontrar um padrão geral. Verificou-se, também, que nem todos os alunos seguem as mesmas fases para a resolução da mesma tarefa. A justificação das conjeturas formuladas
permitiu o processo de generalização de forma mais significativa. Neste processo, a linguagem algébrica esteve presente na maioria dos casos, razão pela qual as autoras consideram que as atividades de generalização são essenciais para o estudo da álgebra.
O modo como as tarefas foram apresentadas à turma seguiu o modelo proposto por Ponte et al. (1998), destacando-se a terceira fase “discussão/reflexão final”, como um dos momentos mais significativos das aulas. A troca de ideias e a confrontação de estratégias distintas permitiu enriquecer estes momentos que foram palco de diversos aspetos: (i) o esclarecimento de dúvidas; (ii) a clarificação de aspectos menos conseguidos; (iii) a validação dos resultados; (iv) a formulação de novas conjeturas; (v) a sistematização de conclusões e conceitos fundamentais; e (vi) a autorregulação. A fase de discussão e reflexão sobre o trabalho realizado permitiu o confronto de opiniões, a justificação e a tomada de consciência dos processos seguidos, o que permitiu afirmar que a aprendizagem não resulta só da atividade, mas também da reflexão sobre a atividade (Bishop & Goffree, 1986; Ponte, 2005).
No que respeita aos critérios de avaliação, os alunos utiliziram-nos seguindo a ordem das etapas definidas e para cada uma procuravam seguir a ordem dos níveis, desde o mais elementar ao mais elaborado. Através dos diferentes descritores encontravam o modo para a progressão do trabalho a realizar. À medida que iam desenvolvendo a sua atividade, iam monitorizando os passos seguintes, o que lhes permitia fazer o ponto da situação e aferir entre o que já foi feito e o que se esperava que fizessem.
Os critérios de avaliação vieram sustentar a avaliação reguladora, uma vez que esta se desenvolveu durante o processo de ensino-aprendizagem em tempo real, onde os alunos tiveram a possibilidade de verificar o trabalho que produziram e o que era esperado que produzissem. Contribuiram, ainda, para as atividades desenvolvidas, pois os alunos ao lerem os seus descritores sabiam os passos que tinham de percorrer. Assim, construiu-se aqui uma triangulação entre a construção dos critérios de avaliação, a sua apropriação e a aprendizagem inerente às tarefas. A participação ativa dos alunos na construção dos critérios de avaliação induziu à sua apropriação (Santos & Gomes, 2006), que por seu lado possibilitou o desenvolvimento do raciocínio matemático, através do seu uso continuado e, consequentemente, favoreceu a aprendizagem das temáticas abordadas. Os alunos ao interiorizarem as etapas do processo descritas nos critérios de avaliação, provavelmente criaram um modelo que poderão utilizar em situações similares.
Todavia, os alunos revelaram ter dificuldades em comunicar com detalhe o que pensavam, isto é, o que diziam era quase sempre parcial e insuficiente para que os restantes colegas os entendessem, o que vem confirmar o evidenciado por outros estudos (Boavida et al., 2008). Face a estas dificuldades, o questionamento oral da professora e o papel de mediadora foram fundamentais para trazer à consciência dos alunos aspetos que omitiam nas suas explicações e que eram importantes (Moll, 1996).
Em suma, para desenvolver a capacidade de autorregulação dos alunos em Matemática, importa que estes sejam capazes de refletir sobre o seu trabalho e que não esperem pela aprovação da professora (Santos, 2002).
Através desta experiência de aprendizagem, os alunos constataram que não existia a situação “certo ou errado”, mas que o trabalho era desenvolvido na perspetiva do acrescentar algo ao que já tinha sido realizado, sempre no sentido de o aperfeiçoar.