Rohlf et Markus, 1993)

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2.3 Contributions de la biométrie

La notion de 'forme'

n'apparait pas explicitement _dans les travaux sur

I'allométrie

de

taille

qui utilisent I'analyse factorielle ou les composantes principales, où elle apparait comme .tout _ce qui n'est pas

taille'.

Dans de nombreux

jeux

de données morphométriques, les variables et les mesu-res de tailles

qui

en sont dérivées sont très corrélées entre elles. Par conséquent,

le choix

d,une mesure de

taille

est essentiel, car

la

'taille'représente souvent une grande fraction de la variation totale observée dans

l'échantillon,

et des variations relativement faibles _de

taille

produisent _des changements proportionnellement grands dans ce

qu'il

reste après

qu'on

ait enlevé

la ,taille'.

La seconde composante, et les suivantes, d'une analyse en composantes principales

(ACp)

_en allo-métrie multivariée, sont souvent interprétées comme représentant

la

variation due à

la

^,forme,.

Cependant, elles ne reflètent aucun concept géométrique de forme, et deux spécimens ne peuvent être considérés comme géométriquement semblables que si le vecteur de

taille

correspondant est isométrique;

I'isométrie signifie

que

la

variation de

taille

et de forme sont statistiquement indé-pendants, sinon des changements allométriques dans

la

forme sont présents

(Bookstein,

_1989).

Des procédures alternatives

d'ACP

ont été proposées pour séparer la

taille

de la forme géométri-que' en essayant

d'éliminer

la variation isométrique (Daroch et Mosimann, 1985; Somers,

l9g6;

Somers, 1989).

L élimination

de

la

variation isométrique de

taille

ne concernera que

la

variation de taille globale, et non pas la variation de forme en relation avec l'âge _{ou la}

taille g.

La

morphométrie géométrique présente un cadre d'étude très différent de

l'allométrie:

I'analyse de Ia forme porte sur les configurations géométriques de points de repère morphologiques (Book-stein,

l99l; Bookstein,lgg6a; Rohlf,

1996b) et non plus sur des vecteurs de mesures de longeurs.

La

variation de

taille

est éliminée des données

par

standardisation

(voir la

section 2.3.6.2

,

^ou Bookstein, 1991; Rohl f , et

aL,

1993), et seule la variation _de forme reste présente dans les analy-ses.

L

allométrie peut-être estimée en combinant les résultats d'analyses de forme avec de

I'infor-mation additionnelle, comme une régression non-linéaire de

I'information

de

'forme'

(comme les résiduels d'une analyse Procruste ou les "relative warps", par exemple) sur une mesure de

taille (Bookstein,l99I; _V/alker,

_1993), par exemple. Ce concept

d'allométrie

est plus proche _de celui adopté par Gould

(1966),

que de celui des relations linéaires enrre log de variables proposé

origi-nellement par

Huxley

(1932).

2.3.3 Les notions de distance _et d'homologie

La

notion de distance est sous-jacente à toute technique d'analyse linéaire multivariée. En effet, les dissimilarités entre objets sont appelées des distances, et sont représentées comme telles sur le papier ou

l'écran d'un

ordinateur. Les distances sont en général issues de

la

modélisation d'une somme des différences au cané d'une liste arbitraire de variables, de manière à être représentées comme des distances géométriques ordinaires dans un espace physique simulé. Les résultats de la plupart des analyses linéaires multivariées peuvent s'exprimer dans un langage géométrique, en

II. Reconnaissance et Percepliort des Visages

termes de vecteurs et d'angles. Les variances sont des carrés de longueurs, les corrélations des cosinus, etc. Dans cette métaphore, les

/,

variables représentent des axes perpendiculaires

d'un

espace Euclidien à n dimensions. La distance est calculée selon I'extension du théorème de Pytha-gore: soit

XçX2,..,

Xn et Y1,Y2,

..,Yn,

^des mesures de cas dans un espace à n dimensions. La dis-tance au carré entre cas s'exprime comme,

(Xr -

^{Yr12 +}

(Xz-Y2)2 + ...

+

(Xn+Yr)2 pourun

espace

àn

dimensions

Dans ces circonstances, les variables et les cas sont décrits par ^des vecteurs orthonormaux

d'iner-tie

liés par une matrice diagonale de valeurs singulières. Les distances entre cas sont dérivées du

produit

croisé de leurs inerties par rapport à cette matrice diagonale, et les covariances des varia-bles sont les produits croisés de leurs poids par rapport ^à cette même matrice. Dans la plupart des applications multivariées,

il n'y

^{a pas} d'autre définition de distance. En psychologie, par exemple, la distance multivariée

ItX, -

^Y

,)'

entre deux sujets est claire: on ne peut pas observer

directe-i

ment de distance entre deux

profils

de comportements différents.

Il n'y

a donc pas de confusion possible entre la notion de 'distance' statistique et la notion de 'distance'physique du monde réel.

La

situation est différente en ce

qui

concerne les données morphométriques: en effet, les objets même de notre étude coexistent avec nous dans I'espace physique.

Il

existe donc une

notion

de distance a

priori.

Les distances physiques utilisées en morphométrie ne correspondent pas à ^des distances entre paires d'organismes entiers, mais expriment davantage les localisations relatives de certaines parties

d'un

organisme par rapport ^à celles

d'un

autre (Bookstein, 1991).

Le

concept

d'homologie

est fondamental

pour I'implémentation

morphométrique de distances physiques dans

un

cadre d'analyse statistique multivariée.

A I'origine, en biologie

théorique,

I'homologie

est une correspondance

formelle

entre parties d'organismes

('le

bras

humain

est homologue de

I'aile du poulet').

Ce concept, sous cette

forme là,

ne

fournit

pas

d'information

géométrique.

Si la

longueur

d'une

structure linéaire, comme

celle d'un

os long, est considérée comme une variable morphométrique en soit, ^les point entre lesquels elle ^est mesurée doivent éga-lement être situés sur des sous-structures homologues.

D'Arcy

Thompson (1917) élargit la notion

d'homologie en biométrie, où les

propriétés

biologiques de l'objet sont mieux

considérées.

L

objet de la mesure est la relation

per

se entre formes, et non la forme uniquement. Pour passer du contexte biologique au contexte biométrique,

il

faut considérer I'homologie comme une fonc-tion de correspondance, de points ^à points, plutôt que de parties à parties. La notion d'homologie, dans ce sens là, peut s'exprimer comme une déformation, au sens mathématique, et être décrite par ses dérivées (Bookstein, 1978). Dans cette nouvelle version de I'homologie, la notion de

'lon-Page

I0l

2.3 Contributiorts de la biométrie

gueur'd'objets

tridimensionnels devient

inutile. Elle

suppose que les points entre lesquel

la

lon-gueur est mesurée sont eux-mêmes déjà homologues. La morphométrie est fondée uniquement sur

un

langage

de

cartographie

de

correspondance

de points,

sans mesures directes

de

variables homologues. Ces variables sont utiles pour I'interprétation des résultats, mais pas pour les calculs.

Pour procéder ainsi,

il faut

échantillonner une série de points discrets correspondants à travers toutes

les

formes de l'ensemble

à

étudier. Ces points sont appelés des coordonnées de points homologues ou poinls-dc-rcperq ("landmarks" voir la section

2.3.4.2).Ils

sont caractérisés par des coordonnées de position en deux (x;

y)

ou

trois

dimensions

(x;y;

_a).

Ils

sont considérés biologi_

quement homologues comme l'étaient les parties et régions mentionnées plus _haut. L'étude

mor-phométrique d'une série d'objets devient l'étude de

descripteurs

de patrons de

covariance

impliquant

des ensembles de points (mathématiques) possédant les mêmes noms.

C'est à

dire,

'Menton: le point le

plus

inférieur

de

la

mandibule',

ou

^'Nasion:

jonction

des soudures fronto-nasales'.

Le

concept d'homologie biologique est inhérant à ces dénominations communes repré-sentées par la correspondance des points ou des ensembles de points.

L'analyse morphométrique _des contours des formes

(voir la

section

2.3.4.I)

suppose I'existence

(implicite)

d'une correspondance entre une courbe observée chez un organisme, et toutes celles des autres organismes de

l'échantillon

considéré.

Afin

que l'analyse soit interprétable _{en termes} d'homologie,

il

faut identifier un certain nombre de points de repère présents sur les contours de toutes les formes.

Le

modèle mathématique d'homologie des contours reposera sur ces points de repère,

et

sera ensuite étendu aux autres points du contour par interpolation; _dans les cas

où il

n'existe

pas de points de repère observables sur les contours considérés,

il n'est plus

possible d'interpréter la conespondance en termes d'homologie biologique (Bookstein,

l99l).

Les points de repère sont les points sur lesquels les explications de processus biologiques se fon-dent.

Il s'agit

de points frontières, entre tissus différents ou entre un tissu et son environnement immédiat, entre organes, ou entre un organisme et son environnement. Les points de repères inter-viennent _dans de nombreuses explications biologiques sur

la

forme.

L'utilisation

de ce

type

de donnée présente I'avantage de

relier

trois concepts jusqu'alors séparés: (a) la géométrie des don-nées, (b) _les mathématiques de leurs déformations, et (c) les explications biologiques (Bookstein,

et al.,

1985). Dans

un

contexte d'analyse multivariée,

un

cas

d'allométrie

de

tailles,

peut être interprété comme une déformation de

la

'moyenne',

ou

peut être

utilisé pour

transformer une forme en une autre. Les manipulations statistiques de données de points de repère mènent à des explications de nature

biologique, qui

sont localisées dans I'espace, alors que

les

données de détourage, traitées par analyse de Fourier, ou autre, ne peuvent pas.

IL Reconnaissance et Perceptiorr des Visages

2.3.4 Les différents types de données

2.3.4.1

Les données de

type contour ("outline

^datau)

Ce type de données est en général utilisé dans les cas où

il

^{n'existe que} peu, ou pas, de points de repère homologues sur une structure donnée,

ou

lorsque

I'on

s'intéresse plus

à la forme

de la courbure

qu'aux

relations entre ensembles de points de repère. Les contours peuvent être com-ple.l6 (fermés) ou ouverts, entre deux points de repère. Le principe consiste à ajuster un certaine

fonction

au

contour en

question,

et à utiliser

^les paramètres

de la fonction

dans une analyse

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