i Lambda Energie VoE Magnitude

pourcentage de l'énergie totale et I'ampleur de déformation sont indiqués. Les trois vecteurs proprespossédantlesvaleursd'énergiedetorsionlesplusélevéessontengras(16, 19,et22).

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4.3 Analyse des composantes du changentent de fornte

Les Tableaux

4-8 et

4-9 présentent les contributions respectives de chaque vecteur propre à la déformation globale

d'une

configuration de référence vers

I'autre ("partial

warps,,).

La

valeur propre lambda (Â) est inversement proportionnelle à I'importance _{de la} déformation induite _{par le} vecteur propre.

Le

vecteur possédant la valeur propre la plus faible correspond à

la

déformation globale la plus importante; et inversement, une valeur propre élévéeindique que le vecteur propre reflète une déformation à petite échelle (localisée) de

I'objet

de référence.

La

magnitude _{est une} mesure de I'importance du vecteur dans l'ajustement _de

I'objet

de référence sur I'autre.

Elle

est égale à

la

somme des carrés des

poids

des

"partial

warps". L'énergie de

torsion

associée à un

"partial warp"

correspond au produit de sa vareur propre par sa magnitude.

Un certain degré de symétrie entre paires de grilles de déformation est observé.

L

image

miroir

de la déformation du premier

"partial

warp"

MAL -r ^UNI

^se retrouve dans le second, le no 7 dans le

9,

alors que d'autres déformations sont uniques, comme les no10, 16

ou

19,

par

exemple. Des illustrations _{de ces} différentes valeurs sont représentées dans les

Figures

4-27

et4-28.

Les trois permiers vecteurs propres

(n'01

à 03), ainsi que les trois vecteurs possédant les énergies de tor-sion les plus grandes (no L9, 16, et 07 pour

MAL,

et no 19, 16, et

22

pour

UNI)

sont représentés pour les deux échantillons.

MAL

(Figure 4-27): Les trois premiers vecteurs propres (a - c) sont associés à des changements à très petite échelle;

ils

sont localisés à

proximité

des points n" 4 - 7

, ^Ig

^-

2I (.sourcils')

et ^g

-

14,

22 -28 ('yeux').

Par contre, les vecteurs possédant les valeurs d'énergie de torsion _les plus gran-des sont intéressants.

On

observe clairement que les déplacements les plus coûteux en énergie sont ceux

qui impliquent

des configurations de points rapprochés, tels que

les 'sourcils' ou

les

'yeux'

(d, _e). Allongement _des 'sourcils' par élongation horizontale des points n" 4 et

6,

IB et 20

(d);

épaississement par déplacement vers

le

haut des points n" 5

et

L9 (e).

La

surface interpolée change de pente plus rapidement dans ces configurations; en conséquence,

l'énergie

_{de torsion} associée _{à ces} changements est plus importante. Les points no 1 et 15 se déplacent vers

I'intérieur

de

la

configuration (d), _ce

qui

a pour conséquence de comprimer

la

configuration au niveau des

'yeux'. En

termes

de

magnitude (ampleur

de

déformation), ces vecteurs occupent

les

4ème, 23ème

et

1lème place. Les points n" 34 - 40

('bouche')

sont peu sollicités par ces

trois

vecteurs.

En revanche, on observe une contraction verticale importante de cette région (vecteur n" 23, non représenté) par le déplacement vers le haut du point n" 39.

IV. Résultats

Vecteurs propres (" partial warps") MAL

ltlr

(a) Vecteur propre n"0l (b) Vecteur propre n'02

(e) Vecteur propre n'16

Figure 4-27 zReprésentation des trois premiers vecteurs propres issus de I'interpolation MAL -+ UNI.

Les trois vecteurs possédant l'énergie de torsion associée la plus élevée sont représentés dans la partie inférieure du tableau.

Page

l9l

4.3 Analyse des conrposantes du changenrent de forme

Vecteurs propres ("partial wa4ps") UNI

-i'-t"1":"-t

(a) Vecteur propre noOl (b) Vecteur propre no02

(e)Vecteurpropre _no16

Les trois vecteurs possédant I'énergie de torsion associée la plus élevée sont représentés dans la partie inférieure du tableau.

IV. Résultats

UNI

(Figure 4-28):

La

situation est

similaire

à celle décrite pour

MAL

concernant les trois per-miers vecteurs propres (a -

c).Les

changements s'opèrent à petite échelle dans les régions des

'sourcils' et

des

'yeux'.

Une expansion verticale dans

la

région de

la

bouche (déplacement de I'extrémité inférieure de la lèvre, point n" 39, vers le bas) est clairement visible en ^(e, J), et ^se

pro-file

déjà

en (c)

par

un

aplatissement des points n" 35 -

37

(conespondant à

un

déplacement du point n" 36 vers le haut). Parmi les déplacements les plus coûteux en énergie, on observe une

con-traction

horizontale des

'sourcils'

par déplacement des points no 6 et 20 vers

la

périphérie de la

configuration (d); un

rapprochement des endocathions

par

déplacement

horizontal

des points

n"

1 1 et 25

(d);

un élargissement de la base

du

'nez' par déplacement des points n" 29 et 30 vers I'extérieur (d); une contraction verticale des 'sourcils' par un rapprochement des points no 5 _, 7, et

19,2I ^(e,J);un

déplacement vers

le

bas de

la

columella,

point n'31 ^(e);

un réhaussement ^des 'paupières'par déplacement vers le haut ^des points

n"

12,13

et26,27

^(e).

Uensemble des représentation des

"partial

warps" pour les deux transformations est disponible dans I'annexe 10.4

4.4 Décomposition géométrique de la variation de forme ("Relative Warps") L'analyse

des

"relative

warps" permet d'étudier

la

variation de

la forme

dans un échantillon de n objets.

Il s'agit

d'une analyse en composantes principales (ACP) de la covariance des coordon-nées de forme dans I'espace tangeant décrit par la matrice

W

des

"partial warps"

de I'ensemble des objets.

Le

but est de décrire les tendances de variation de forme par un nombre minimum de dimensions statistiquement orthogonales, et de les visualiser par des transformations "thin-plate spline" de la configuration consensus.

Les premiers

p -

3 vecteurs propres de la matrice d'énergie de torsion, appelés

"principal

warps"

(Bookstein,

1989), estiment

un

sous-espace sans dimension

affine. Une

analyse des

"partial werps"

transforme ft x

p

coordonnées de points de repères en fr x

(p -3)

variables de forme non-uniformes

("partial

warp score,s"), en projetant les p coordonnées de chaque dimension sur ^les

p

-3

"priicipal warps"

(Bookstein,

I99I; Rohll

1993). Cette projection élimine la variation affine par un critère

qui

minimise l'énergie de torsion.

Il

ne s'agit donc pas

d'un

simple réaruangement ordonné de coordonnées GLS ou GRF en k

x

3 variables. L'analyse des

"partial

warps" est une alternative aux méthodes de superposition affines (GALS et GARF) pour estimer la variation non-uniforme de forme (Walker, 1996).

Les

trois

^premiers vectsurs propres

("relative

warps") expriment plus de 65Vo (composante

uni-forme exclue) de la variance totale des deux échantillons additionnés. Le Tableau 4-10 illustre les valeurs singulières (SV) et les pourcentages de variance exprimée par axe.

L

analyse a été

effec-Page 193

Dans le document Approche morphométrique dans l'étude de la perception et de la reconnaissance du visage humain (Page 196-200)