Les "Principal Warps"

Les"principal

warps" sont des vecteurs propres de I'espace tangent de forme défini par les para-mètres non-affine

du"thin-plate

spline".

Ils

sont calculés à partir de la décomposition suivante de la matrice d'énergie de torsion,

Ln-t = E^E' ^t6l

où E est une matrice

p x p

de vecteurs propres et  est la matrice diagonale de valeurs propres

(il s'agit

des énergies de torsion). Les

k+

¹ dernières valeurs propres sont égales àzéro car les vec-teurs propres correspondants se trouvent dans

la

région de l'espace tangent correspondant aux variations affines

(d'échelle infinie).

Les

principal

warps conespondent aux premiers

p-k- I

vecteurs de

E. Les

vecteurs sont orthogonaux car

ils

correspondent aux vecteurs propres issus d'une matrice symétrique réelle.

Les paramètres du

"thin-plate

spline" de chaque spécimen peuvent être exprimés en fonction des

"principal

warps" plutôt qu'en fonction des coordonnées des points de repère originaux.

Il s'agit

des

"parlict!.warry"

(Bookstein, 1989). Les

"partial

warps" correspondent aux

"principal warps"

appliqués séparemment

le long

de chaque axe de coordonnées et redimensionnés de manière ^à conespondre à la partie non-affine de la fonction du thin-plate spline qui transforme les coordon-nées de la référence

X.

en celles

d'un

spécimen particulier X;. Le produit interne de chaque ligne

de V, - X, ^X" parlesp-k- l colonnesdelamatriceEconespondantàdesvaleurspropres

supérieures àzéro,produisent ce que

Rohlf

(1993) appelle

les"partialwarp

scores". Ces valeurs (résultats) expriment les différences non-affines de forme entre la référence et le ième spécimen en termes de nouvelles variables. Elles sont calculées comme,

^ ttl v E I r

"ln

\ry

-a/2

Pagc

II5

2.3 Contributions de la biométrie

où

la division par "l-, "t ^la

soustraction de

X"

servent à

la

description de

la

variation de forme

d'un

échantillon de

n

spécimens.

Le facteu, n-u/Z

permet différentes pondérations des

,,princi-pal

warps" suivant

la

valeur de

ë2.I1

est parfois intéressant de conserver l'ensemble des colon-nes de E afin de préserver toute la variation de X; dans la matrice W;. Les colonnes additionnelles

d" W;

ne sont pas des

"partial

warps" car elles décrivent des différences affines et non des défor-mations locales.

Il

est également possible

d'ajouter

à

la

matrice de

"partial warp

score.r,, une information _{de nature} différente, telle que I'estimation de la composante uniforme _{de forme.}

La

matrice

W;

du ième spécimen possède donc

ftlignes etp

ou

p-k-

¹ colonnes, selon que les ft

+ I

dernières colonnes de

E

^(les principal warps possédant une valeur propre

nulle)

sont conser-vées ou

non.

Si elles ne sont pas conservées, l'équation se simplifie en,

w ^-u/2 _t8l

car

X.E

₌ 0 pour les premières p

- k- l

colonnes de

E

^(les

"principal warps"

orthogonaux à la configuration de référence).

Malgré

que

W,

apparaisse comme une

fonction linéaire

de

X;,

elle décrit la déformation non-linéaire nécessaire pour transformer l'espace physique _de

la

référence de manière à supeqposer ses point de repère à ceux du ième spécimen.

2.3.8.4

Les "Relative ^Warps,,

L'analyse

des

"relative warps" est une

des méthodes

les plus

intéressantes apporté

par

la morphométrie géométrique. Basée sur les transformation"thin-plate spline",

l'analyse

des,,rela-tive

warps"

ajuste une configuration _de points de repère (généralement

la

configuration de réfé-rence)

sur

chaque spécimen étudié.

Les

paramètres

de

ces

"thin-plate splines"

peuvent être utilisés par des analyse statistiques multivariées, comme I'analyse en composantes principales par exemple. _Ces nouvelles variables sont des combinaisons linéaires des valeurs résiduelles de la configuration de référence sur les spécimens. Les résultats peuvent être utilisés pour visualiser les différences de forme grâce à des grilles de déformation ("thin-plate _spline,,).

L'analyse de la variation de forme

d'un

échantillon de n spécimens requière le regroupement des

"partial

warps scores"

(W;)

_{en une} matrice _unique

W.

Cette nouvelle matrice possède

n

lignes

52.

L effet de différentes valeurs de a dans le calcul des "partial wqrps scores",

W

^est de déterminer de

comment la matrice de valeurs propres, L, de la matrice d'énergies de torsion est utilisée pour pondérer les "principal warps". Les valeurs les plus souvent utilisées sont soit 0 (pondération identique des princi-pal warps)' ou

I

(pondération par la réciproque de la racine de la valeur propre, de manière à accorcler davantage de poids aux traits de grande échelle ("large scale featruvs") ^de laréférence). Dès lors, toute analyse multivariée qui utilise W comme matrice d'entrée sera susceptible de générer des résultats numé-riques différents suivant la valeur de a, saufsi I'analyse est invariante aux changements d'échelle.

x iEÀ

I

- Jn

IL Reconnaissance et Perceptiort des Visages

correspondant au ,4 spécimens et des colonnes correspondant aux

"partial

warps scores" de cha-que spécimen (projection en

.r

suivies par les projections en _),,

et

éventuellement en e sur une même

ligne). Il y

aura donc k (p

-

^k

-

1) colonnes,

voir

plus

si

des colonnes additionnelles sont ajoutées.

W

s'exprime donc comme,

* =

irn(Ir@E^

-a/2

) teI

où le symbole

I

désigne le produit direct (Kronecker) des deux matrices,Ip est la matrice

d'iden-tité kxk,

^et

Y

est

la matrice nxkp

des différences entre chaque objet et et

la

référence. Les matrices

À

et

E,

ainsi que le scalaire

o

sont définis dans l'équation (7).

Une analyse des relative warps (Bookstein, 1989; Bookstein, 1991;

Rohll

1993) corespond ^à une analyse en composantes principales (ACP) de

la

variation de forme dans I'espace tangent décrit par la matrice

W.

Si cr

+

0,

il s'agit

une ACP pondérée, dont les poids sont fonctions de

l'échelle

géométrique de chaque composant de la variation de forme. Si

c

= 0, I'analyse ^des relative warps est cohérente avec la métrique Procruste de mesure de différence entre formes.

L'ACP

permet de décrire les tendances principales de variation de forme par un minimum de dimensions statistique-ment orthogonales.

Les vecteurs propres de la matrice

W

sont appelés des"relative

werps".Ils

sont souvent exprimés en termes de déplacement de

points

de repère.

Ils

peuvent également être représentés

par

une

grille

de transformation

illustrant

les déformations de I'espace physique de

la

configuration de référence,

en exprimant

chaque

"relative warp"

^comme

un "thin-plate spline" (Rohlf,

1993;

Rohlf,

1996b).

Page I 17

2.3 Contributions _de la biométrie

Dans le document Approche morphométrique dans l'étude de la perception et de la reconnaissance du visage humain (Page 122-126)