3.3.2.1
Analyse dela matrice d'énergie
detorsionzle"Thin-plate Spline"
Analyse de
la
composante non-uniforme du changement deforme
(de déformation),qui corres-pond à une
certaine énergie physique associéeà la
configuration spatiale des coordonnées de points.La formulation
dela
'distance'est une fonction non-linéaire dépendante dela configura-tion
moyenne des points.Si le
déplacementd'un point
diverge decelui
de ses voisins,il
pèseraplus lourd dans la mesure de la distance entre les deux formes considérées. Plus ces points voisins sont proches, et plus le poids sera important. Les vecteurs propres de la matrice d'énergie de
tor-sion
sont orthogonaux aux distances Procrustes (somme des carrés des déplacement de points dansleur
système de coordonnées-
"leastsquarefit")
ainsiqu'à
l'énergie de torsion62.D" tell"
62. Analogie avec I'analyse en composantes principale: les composantes principales sont orthogonales dans un espace Euclidien à n dimensions, ainsi que par rapport à la matrice de covariance de l'échantillon.
Page I 37
3.3 Méthodes d'analyse
manière que la variance de la somme des composantes principales est égale à
la
somme de leurs variances séparées.Un changement de forme dans une configuration de points de repère possède une partie uniforme et une partie non-uniforme. La partie uniforme correspond à une variation ou à un changement qui s'appliquerait à tous les points de repère de la même manière (transformation affine). Des lignes parallèles resteraient parallèles, tous les points sont déplacés par des multiples
d'un
même vec-teur. Une énergie de torsion ("bending energy") est associée à toute transformation de configura-tion de points de repères. On peut I'imaginer comme l'énergie minimum nécessaire pour plier une plaque de métalinfiniment
mince d'un jeu de coordonnées, de manière à superposer les points de repères homologues sur ceux de I'autrejeu.
Une transformation uniformen'implique
pas de tor-sion (uniquement des rotations ou des inclinaisons de la plaque mince), et possède donc une éner-gie de torsionnulle. La
partie non-uniforme du changement de forme, peut être décomposée en une série de vecteurs propres dela
matrice d'énergie de torsion parpoint
de repère (appelé les"principal
warps").L'énergie
detorsion
peut être considérée comme une mesure de distance (dansun
espace deforme,
"shzpe space"). Des configurations de pointsqui diffèrent
par une transformationuni-forme
sont à une distancezérol'une
de I'autre.La formulation
dela
distance est une fonction non-linéaire dépendante de la configuration moyenne des points. Si le déplacementd'un
point est incompatible (inconsistant) avec celui de ses voisins,il
pèsera plus lourd dans la mesure de la dis-tance entre les deux formes considérées. Plus ces points voisins sont proches, et plus le poids sera important.Lorsqu'une transformation
diffère
d'une autre par une transformation purement uniforme,il
estdifficile
de décider ce que représente la partie'uniforme'du
changement de forme.Il
n'existe pas de consensus à I'heure actuelle sur la question. Selon Bookstein, toute reconfiguration de points de repères en deux dimensions peut s'exprimer comme la somme des transformations uniformes et de vecteurs de déplacements non-linéaires.Leprincipeestlesuivant:
soitZt=(xl!t), Zz=(xllt ), ..., Zt=(xlrilk), ftpointsderepère d'un
espace Euclidien au système de coordonnées cartésien. Soit r,j=
I Zi- zil,
la distance entre deux pointsi etj. A I'origine
de I'analyse du spline se trouve la fonction,z(x:y)= -U(r)=-flogÊ t23l
La
fonction U(r)
est une solution de l'équation de la forme d'une plaque mince surélevée par une fonction z(x; y) au-dessus du plan (x; y). Le signe négatif facilite la lecture de la forme décrite parIIL Matériel et Méthodes
cette
fonction. Le choix
de cette fonction estjustifié
en détails dans Bookstein ( I989;
199 1).
Le déplacement orthogonal par rapport au plan de la plaque mince exprimé par z(x; y) peut être appli-qué directement aux coordonnées.r
ouy du plan
de départ. Nous obtenonsainsi
une fonctiond'interpolation
en deux dimensions qui nous permet calculer les nouvelles coordonnées de (x; y),La
flexion de la plaque requiert de l'énergie; plus la flexion est intense, plus les dérivées secondes dela
surfacez(x;y)
etl'énergie
requise seront grandes.La proximité
des points par lesquels la plaque doit passer sera déterminante dans la quantité d'énergie requise pour la flexion.Il
s'agit dedéfinir
unefonctionf
(x; y) d'interpolation, Soit les matrices,(x;
y) + (x'; y')
= (x, y + z(x, y) )U(rp) U(r1y,) ... U(rs,)
0 U(r4) ...
U(r21,)l24l
12sl
126l
l27l
t28l 0
U(r21)
,kxk
Pk
U(rr,r1 U(r1,) U(r1) ...
0o
I x1lz I x2!z
I
x1,lp
,kx3
E
L
T
ol
'l
k
,k+3xk+3
où, Or est la matrice tranposée de Q, et 0 est une matrice 3
x
3 de zéros.Soit V
=
(vt, ...,
vk) un vecteur detaille k,
etY =(y
I 0 00)trn
vecteur detaille
k + 3. Définissons le vecteur W = (wt,
. .., wk) et les coefficients a1t a1ç, ay par l'équation,L-ty = (Wlara*ar)r
Page
Ij9
3. 3 Métltodes d' analyse
Les éléments de L-tY sont ainsi utilisés pour définir la
fonctionf
@;y) partout dans le plan,k
f (x;y) = a+axx+ayy+ \w,U(lZ,-(x;l)l) l2el
i=l
La fonction/interpole la
correspondance(xi;!) è
vb pourtout i. Si I'on
considère(x;;y;;vi)
comme un
point
entrois
dimensions,la
surface(x;y;f
@;y))
est appeléele"thin-plate
spline", passant par les noeuds(xi;
yii v;). Cette fonction minimise une quantité positive appellée l'énergie de torsion ("bending energy"). Dans le cas où l'énergie estégale àzéro (lorsque tous les compo-sants de I4l sont égaux à zéro), la surface est plate. Le spline calculé devient,f(x;y)=attarx*ar! t30l
La
matrice des valeur d'énergie de torsion correspondant aux changement des coordonnées de points de repère, est égale à la sous matriceL;t
.elte
est donc fonction des points (xi;! ),
trans-formés
par la fonction U.La multiplication de L;\ , et d'un
vecteurV=(v)
de déplacements, donne un scalaire, l'énergie de torsion d'une plaque mince. Vest de la forme d'une matricekx2,
l/=
[:
r
x'z,"
x'r !'z "' !'
t3 1loù chaque
(x'ii!';)
est unpoint
homologue de(xi;yi). La multiplication
deI-l
par la premièreligne de V donne les coefficients a7, ax et ay, ainsi que les valeurs U de
f
*(x;.y) , la coordonnée en abscisse deI'image (x;y) .Il
en est de même pour la seconde ligne deIl
La fonction résultante est de la formef Q;y) = (f *Q;y);T rQ:ù).
chaquepoint (x;y)
est repositionné sur sonhomolo-gue (x';y')
enminimisant l'énergie
nécessaire àla
torsion. Cette procédure est invariante aux translations ou rotationsde (x;y) ou (x';y').
Si les points considérés répondent bien aux condi-tions d'homologie biologique, lafonction/modélise
la comparaison de formes par une déforma-tion.L
énergie de torsion nette d'une reconfiguration de points de repère en deux dimensions est égale à la somme des l'énergies de torsion des composantes.r- et y- séparément. Cette quantité est donc indépendante des rotations du système de coordonnées pour I'une ou I'autre des formes con-sidérée. cette méthodologie est décrite en détails dans Bookstein (1991).L'examen de
la
structure propre de la matrice d'énergies de torsionLtl
permet d'examiner plus précisementla
nature dela
déformation non-linéaire expriméela la fonction d'interpolation
du"thin-plate spline". Cette matrice possède k
+ I
valeurs propres égales àzéro, correspondants auxIIL Matériel et Méthodes
déplacements de
points
de repères issus de transformations affines, etp
- k- |
valeurs propresnon-nulles. Ces vecteurs propres sont orthogonaux car
ils
sont issusd'une
matrice symétrique.Chaque vecteur propre peut être visualisé, et interprêté, comme un
motif
de torsion, ou de défor-mation locale, propre, et représenté sous la forme de la fonctiond'interpolation,
d'un"thin-plate spline"
propre. Ces vecteurs propres de la matrice d'énergies de torsion peuvent être interprêtés comme unecollection
de descripteurs de déformations locales.Ils
sont appelés les"principals warps",
que nouspourrions
traduire maladroitementpar les 'courbures', 'torsures', 'plis',
ou'déformations' principales (Bookstein,
1989).Les "principal warps"
peuventêtre
considérés comme des descripteurs de déformation de niveaux d'énergie de torsion décroissants. La première valeur propre correspondra à unmotif
de déplacement de points de repères relativementpetit
(ou local, les points de repères sont proches), alors que la dernière valeur propre non-nullecorrespon-dra
àun motif
de déplacement relativement grand (entre points de repères éloignés), mais pas encore global (affine). Cela s'explique par lefait
quela
fonction d'interpolation requière davan-tage d'énergiepour 'tordre' la
surface interpolée entre deux points proches, qu'entre des points éloignés.La
pente dela
surface interpolée changera plus rapidement, augmentant ainsila varia-tion
quadratique qui, intégrée àI'infini,
correspondera à la valeur propre du vecteur en question.Autrement
dit,
une'petite'valeur
propre correspond à une déformation à grande échelle, possé-dant un plus grand degré deflexibilité.
Une valeur propre plus forte correspond à une plus granderigidité.
Les vecteurs propres ne sont fonction que de la configuration de points de repères de départ (en général, une forme consensus). En d'autres termes,
ils
sont indépendants de la configurations depoints d'arrivée (le
spécimenparticulier
en lequelle
consensus sera transformé). Ces derniers affectent évidemment les coefficients I4let a de l'équation [29].Les paramètres de la fonction d'interpolation (le "thin-plate spline") de chaque objet peuvent être exprimés en termes de ces vecteurs propres (les
"principal
warps"), plutôt qu'en termes des coor-données des points de repères originaux. Cela revient à appliquer les"principal
warps" séparem-mentle long
des coordonnées de chaque axe, et de les réduire de manière à correspondre à la partie non-affinedu"thin-plate
spline" qui transforme les coordonnéesd'un
objet de référenceX,
en cellesd'un
spécimen particulierX;.
Ces paramètres sont appelés les"partial warps"
(Book-stein,
1989).Le produit
croisé de chaqueligne
deVi=Xi-X,avec lesp-k-l
colonnes de lamatrice des
vecteurspropres non-nuls, s'appelle le "partial warp score" (Rohlf,
1993), et exprime les différences non-affines de forme entre une conf,guration consensus et un ième spéci-men particulier.Il
calculé comme suit,1
r
4n
w v,E^ -a/2 I32l
Page
I4l
3.3 Méthodes d'analyse
où E est la matrice
p
xp
des vecteurs propres, etÀ
la matrice diagonale des valeurs propres issus dela
matrice d'énergies detorsion L;t.La
valeurdu
scalaireadétermine la
manièredont
la matriceÀ
des valeurs propres va pondérer celle des vecteurs propres dansle calcul des,,partial
warps scores" . Ce scalaire est essentiellement utilisé lors d'exploration dejeux
de données. Onlui
attribue généralementla
valeur de0
(pondération identique des vecteurs propres),ou de
1 (les vecteurs propres sont pondérés parla
réciproque dela racine
carrée deleur
valeur propre. Les déformations de grande échelle seront pondérés plus fortement).L'analyse statistique de
la
matriceW
composée de I'ensemble desW;
den
spécimens, permet d'étudier la variation de forme cet échantillon. L'analyse en composantes principales de lavaria-tion
de forme dans l'espace tangeant décrit par la matriceW
s'appelle une"relative
warp analy-,rls", et les vecteurs propres de la matriceW
sont appelés des "relativewarps"
(Bookstein, 1989;Bookstein, 1991;
Rohll
1993). Une telle approche permet de décrire la variation de forme au sein del'échantillon
en unminimum
de dimensions orthogonales. Les"relative warps"
peuvent être visualisés sousla
forme degrilles
de transformation ("thin-platespline") illustrant
des déforma-tions de I'espace physique de la configuration de référence, ou consensus.IV. Résultats
4.L Comparaisonsparsuperposition
Dans le document
Approche morphométrique dans l'étude de la perception et de la reconnaissance du visage humain
(Page 144-150)